山东省德州市2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份山东省德州市2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、在空间直角坐标系中,已知点,则点P关于x轴的对称点的坐标是( )
A.B.C.D.
2、已知直线,且,则实数a的值为( )
A.5B.1C.5或-1D.-1
3、电子设备中电平信号用电压的高与低来表示,高电压信号记为数字1,低电压信号记为数字0,一串由0和1组成的不同排列代表不同的电平信号,所用数字只有0和1,例如001100就是一个信息.某电平信号由6个数字构成,已知其中至少有四个0,则满足条件的电平信号种数为( )
A.42B.22C.20D.15
4、已知,,,则=( )
A.B.C.D.
5、已知每门大炮击中目标的概率都是0.5,现有10门大炮同时对某一目标各射击一次.记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分,记10门大炮总得分的期望值为B,则A,B的值分别为( )
A.,5B.,10C.,5D.,10
6、羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）.甲乙两人争夺比赛的冠军.甲在每局比赛中获胜的概率均为,且每局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的条件下,比赛进行了三局的概率为( )
A.B.C.D.
7、3D打印是快速成型技术的一种,通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔筒为3D打印的双曲线型笔筒,该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的,已知该笔筒的上底直径为6cm,下底直径为8cm,高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算）,则笔筒最细处的直径为( )
A.B.C.D.
8、已知,,满足,则的最小值为( )
A.B.4C.D.
二、多项选择题
9、已知方程,其中,则( )
A.时,方程表示椭圆
B.时,方程表示双曲线
C.时,方程表示抛物线
D.时,方程表示焦点在x轴上的椭圆
10、下列四个关系式中,一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.若m,,且,则
11、若随机变量X服从两点分布,其中,,分别为随机变量X的均值与方差,则下列结论正确的是( )
A.B.
C.D.
12、已知正方体中,,P为正方体表面及内部一点,且,其中,,则( )
A.当时,PD的最小值为
B.当时,存在点P,使得
C.当时,直线AP与平面ABCD所成角正切值的取值范围是
D.当时,三棱锥的体积为定值
三、填空题
13、已知随机变量X服从正态分布,且,,则___________.
14、如图是一座抛物线型拱桥,拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽4米.当水位下降,水面宽为6米时,拱顶到水面的距离为_______________米.
15、在正六棱柱中,若底面边长为1,高为3,则BC到平面的距离为________.
四、双空题
16、如图,我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”.,,是相应半椭圆的焦点,则的周长为_________,直线与“果圆”交于A,B两点,且AB中点为M,点M的轨迹方程为____________.
五、解答题
17、已知的展开式中,所有项的系数之和是512.
(1)求展开式中含项的系数；
(2)求的展开式中的常数项.
18、已知抛物线经过点,F为抛物线的焦点,且.
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点的直线l与抛物线C相交于A,B两点,求面积的最小值（O为坐标原点）
19、2022年是共青团建团一百周年,为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀,某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中,甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题,已知甲回答正确的概率为,甲、丙两人都回答正确的概率是,乙、丙两人都回答正确的概率是.每个人回答是否正确互不影响.
(1)若规定三名同学都需要回答这个问题,求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率；
(2)若规定三名同学需要抢答这道题,已知甲抢到答题机会的概率为,乙抢到答题机会的概率为,丙抢到的概率为,求这个问题回答正确的概率.
20、如图,已知直角梯形ABCD,,,,,四边形ACFE为正方形,且平面平面ABCD.
(1)求证：平面ACFE；
(2)点M为线段EF的中点,求直线BF与平面MAB所成角的正弦值.
21、新冠疫情不断反弹,各大商超多措并举确保市民生活货品不断档,超市员工加班加点工作.某大型超市为答谢各位员工一年来的锐意进取和辛勤努力,拟在年会后,通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励,规定：每位员工从一个装有5种面值奖券的箱子中,一次随机摸出2张奖券,奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额.
(1)若箱子中所装的5种面值的奖券中有2张面值为100元,其余3张均为50元,试比较员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率的大小；
(2)公司对奖励总额的预算是7万元,预定箱子中所装的5种面值的奖券有两种方案：第一方案是3张面值30元和2张面值130元；第二方案是3张面值50元和2张面值100元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡,请问选择哪一种方案比较好？并说明理由.
22、已知椭圆的短轴长为4,且过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线与椭圆C相交于P、Q两点,以PQ为直径的圆过点A,求点A到直线l距离的最大值.
参考答案
1、答案：C
解析：根据空间点关于x轴对称,则x轴上坐标不变,y,z轴上坐标取相反数,
故点P关于x轴的对称点的坐标是.
故选：C.
2、答案：D
解析：直线,,由解得或,
当时,直线与重合,不符合题意,
当时,直线与平行,
所以实数a的值为-1.
故选：D.
3、答案：B
解析：依题意,求电平信号种数可以有3类办法,电平信号的6个数字中有4个0,有种,
电平信号的6个数字中有5个0,有种,电平信号的6个数字中有6个0,有种,
由分类加法计数原理得满足条件的电平信号种数为.
故选：B.
4、答案：A
解析：由全概率公式可得：
可得,解得：.
则.
故选：A.
5、答案：B
解析：设10门大炮击中目标的次数为X,则根据题意可得,
10门大炮总得分的期望值为,
,
故选：B.
6、答案：A
解析：由甲获胜的概率为,
而甲获得冠军且比赛进行了三局,对应概率为,
所以在甲获得冠军的条件下,比赛进行了三局的概率为.
故选：A.
7、答案：C
解析：该塔筒的轴截面如图所示,以C为笔筒对应双曲线的实轴端点,
以OC所在直线为x轴,过点O且与OC垂直的直线为y轴,
建立平面直角坐标系,设A与B分别为上,下底面对应点.
由题意可知,,,
设,则,
设双曲线的方程为,因为双曲线的离心率为,
所以,所以方程可化简为,
将A和B的坐标代入式可得,解得,
则笔筒最细处的直径为.
故选：C.
8、答案：D
解析：由得：,整理可得：,
则可令,,,
（其中）,
则当时,.
故选：D.
9、答案：BD
解析：若,则不表示椭圆,故A错误；
若,,则表示焦点在x轴上的双曲线,
若,则表示焦点在y轴上的双曲线,故B正确；
当时,若,则方程表示两条垂直于x轴的直线,若则不表示任何图形,故C错误；
时,,表示焦点在x轴上的椭圆,D正确.
故选：BD.
10、答案：AC
解析：由组合数性质知一定成立,A正确；
,B错；
,C正确；
由组合数性质知且,当时,递增,当时,递减,因此D错.
故选：AC.
11、答案：AB
解析：随机变量X服从两点分布,其中,,
,
,
在A中,,故A正确；
在B中,,故B正确；
在C中,,故C错误；
在D中,,故D错误.
故选：AB.
12、答案：ABD
解析：当时,点P在上,如图,
在中,
时,PD取得最小值为,故A正确；
取AB的中点K,连接,AC,,,
当时,P是上的动点,在正方体中平面,故存在点P为
平面与的交点时,使,故B正确；
如图,
取的中点分别为,当时,点P的轨迹是NM上的动点,易得平面ABCD,故P到平面的距离为定值1,设直线AP与平面ABCD所成角为,当P点在N时AP的投影最小,最大,此时,当点P在M时AP的投影最大,最小,此时,故直线AP与平面ABCD所成角正切值的取值范围是,故C错误；
取AB,的中点G,H,当时,点P的轨迹是GH上的动点,易得,平面,平面,平面,故点P到平面的距离为定值,三棱锥的体积为定值,故D正确.
故选：ABD.
13、答案：0.52
解析：由对称性可知,,故.
故答案为：0.52.
14、答案：4.5
解析：如图,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为,
将代入,得,所以.
设,代入,得.
所以拱桥到水面的距离为.
故答案为：4.5.
15、答案：
解析：在正六棱柱中,取AD,BC,的中点O,M,N,
连接MN,OM,ON,如图,
,平面,平面,则平面,
,平面ABCDEF,则平面ABCDEF,平面ABCDEF,
即,而,即有,,OM,平面OMN,
则平面OMN,又平面,因此平面平面,
在平面OMN内过M作于H,而平面平面,
于是平面,线段MH长即为BC到平面的距离,
,,中,,
所以BC到平面的距离.
故答案为：.
16、答案：,
解析：由,,是相应半椭圆的焦点,
可得,,,
所以,,,
故所求周长为；
设,
联立直线与,得,
即点,
联立直线与,得,
即点,且A,B不重合,即,
又M为AB中点,
所以,
即,,整理可得,,
故答案为：,.
17、答案：(1)27
(2)17
解析：（1）因为的展开式中,所有项的系数之和是512.
所以令,得,所以,
所以的展开式通项公式为,
令,解得,所以展开式中含项为,
所以展开式中含项的系数为27.
（2）由（1）知,,从而,
因为的展开式的通项为,
所以的常数项为,
又的常数项为,
所以的展开式中的常数项为.
18、答案：(1)
(2)16
解析：（1）抛物线的焦点为,准线方程为,
由抛物线经过点,,
可得,即,
又,可得,
解得,,
故抛物线C的标准方程为.
（2）当直线AB的斜率不存在时,直线方程为,
由,解得,此时,所以的面积.
当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为.
由得,.
设,,由根与系数的关系得,,
所以
,
综上所述,面积的最小值为16.
19、答案：(1)
(2)
解析：（1）记甲回答正确为事件A,乙回答正确为事件B,丙回答正确为事件C,
则事件A,B,C相互独立；
由题意知：,,,
,,
则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率.
（2）记该问题回答正确为事件D,甲、乙、丙抢到答题机会分别为事件,,
则,,,,,,
.
20、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）已知直角梯形ABCD,,,
,所以为等腰直角三角形,
可得,,,
所以在中,由余弦定理得,
所以,得.
因为平面平面ABCD,平面平面,平面ABCD,
所以平面ACFE.
（2）根据（1）中所证可得：CA,CB,CF两两垂直,
故以C为坐标原点,CA,CB,CF分别为x,y,z轴建立如图所示空间直角坐标系：
则,,,.
,,,
设为平面MAB的一个法向量,
由,取,则,
故,
设直线BF与平面MAB所成角为,
则.
即直线BF与平面MAB所成角正弦值为.
21、答案：(1)员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率
(2)应选择第二种方案,理由见解析
解析：（1）用X表示员工所获得的奖励额.
因为,,
所以,
故员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率.
（2）第一种方案：设员工所获得的奖励额为,则的分布列为
所以的数学期望为,
的方差为；
第二种方案：设员工所获得的奖励额为,则的分布列为
所以的数学期望为,
的方差为,
又因为（元）,
所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求,但第二种方案的方差比第一种方案的小,
故应选择第二种方案.
22、答案：(1)
(2)
解析：（1）椭圆C的短轴长为4,所以,,
代入点,得,所以
椭圆C的方程为；
（2）法一：
当直线l斜率不存在时,则有、,直线l的方程为：,
因为以PQ直径的圆过点A,所以,
,
又,可得,解得或（舍去）,
当直线l斜率存在时,设直线l的方程为：,
设点,
联立,得,
由韦达定理得,,
,
点点不在直线l上,所以,则有,经检验,此时,满足题意,
所以直线l的方程为,直线过定点
综上,直线l恒过定点,记作
则当时,点A到直线l距离最大,最大值为.
法二：齐次化构造
椭圆的标准方程为,即
变形为,
即,
设直线l的方程为
与椭圆方程联立构造齐次式为
即：
设点,
则,是方程的两个根,
又因为,
所以,即
代入直线方程得：,
故直线l过定点,记作记作
则当时,点A到直线l距离最大,最大值为.
60
160
260
P
100
150
200
P