山东省烟台市中英文学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学模拟试卷(含答案)

这是一份山东省烟台市中英文学校2023-2024学年高一上学期期中考试数学模拟试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合,则( )
A.B.
C.D.
2、若a,,下列命题正确的是( )
A.若,则B.,若,则
C.若,则D.,,若,则
3、已知,则“成立”是“成立”的________条件( )
A.充分不必要B.必要不充分
C.充分必要D.既不充分也不必要
4、我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观,形缺数时难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中,常用函数的图象来研究函数的性质,也常用函数的解析式来研究函数图象的特征.我们从这个商标 中抽象出一个图象如图,其对应的函数可能是( )
A.B.
C.D.
5、现有以下结论：
①函数的最小值是2;
②若a、且,则;
③的最小值是2;
④函数的最小值为.
其中,正确的有_______个( )
A.0B.1C.2D.3
6、设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则( )
A.B.C.D.
7、设函数,若,则实数a的值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
8、若定义在上的函数同时满足：①为奇函数;②对任意的,且,都有,则称函数具有性质P.已知函数具有性质P,则不等式的解集为( )
A.B.
C.D.
9、给定函数,,表示,中的较小者,记为,则( )
A.B.函数的定义域为
C.函数的值域为D.函数的单调区间有3个
10、德国数学家狄里克雷（,,）在1837年时提出：“如果对于x的每一个值,y总有一个完全确定的值与之对应,那么y是x的函数.”这个定义较清楚地说明了函数的内涵.只要有一个法则,使得取值范围中的每一个,有一个确定的y和它对应就行了,不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示,例如狄里克雷函数,即：当自变量取有理数时,函数值为1;当自变量取无理数时,函数值为0.下列关于狄里克雷函数的性质表述正确的是( )
A.B.的值域为
C.为奇函数D.
11、对于一个非空集合B,如果满足以下四个条件：
①
②,
③,若且,则
④,b,若且,则
就称集合B为集合A的一个“偏序关系”,以下说法正确的是( )
A.设,则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合B共有4个
B.设,则集合是集合A的一个“偏序关系”
C.设,则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个
D.是实数集R的一个“偏序关系
12、把定义域为且同时满足以下两个条件的函数称为“函数”：（1）对任意的,总有;（2）若,则有成立.下列说法错误的是( )
A.若为“函数”,则
B.若为“函数”,则一定是增函数
C.函数在上是“函数”
D.函数在上是“函数”（表示不大于x的最大整数）
三、填空题
13、已知,,若成立的一个必要不充分条件是,则实数m的取值范围是_____________.
14、已知正数a,b满足,则的最小值是____________.
四、双空题
15、若函数是定义在R上的偶函数,当时,.则当时,__________,若,则实数m的取值范围是___________.
16、已知函数
①若的最大值为,则a的一个取值为______________.
②记函数的最大值为,则的值域为______________.
五、解答题
17、设命题,.
(1)若,判断p是q的充分条件还是必要条件;
(2)若是的____________,求m的取值集合.
从①充分不必要条件,②必要不充分条件,这两个条件中任选一个,补充在第（2）问中的横线上,并给予解答.
18、已知二次函数,且满足,.
(1)求函数的解析式;
(2)当时,求函数的最小值（用t表示）.
19、函数对定义域D上任意x,y满足：.
（1）求的值;
（2）设D关于原点对称,判断并证明的奇偶性;
（3）当时,,证明在上是增函数.
20、小张在淘宝网上开一家商店,他以10元每条的价格购进某品牌积压围巾2000条.定价前,小张先搜索了淘宝网上的其它网店,发现：A商店以30元每条的价格销售,平均每日销售量为10条;B商店以25元每条的价格销售,平均每日销售量为20条.假定这种围巾的销售量t（条）是售价x（元）的一次函数,且各个商店间的售价、销售量等方面不会互相影响.
（1）试写出围巾销售每日的毛利润y（元）关于售价x（元）的函数关系式（不必写出定义域）,并帮助小张定价,使得每日的毛利润最高（每日的毛利润为每日卖出商品的进货价与销售价之间的差价）;
（2）考虑到这批围巾的管理、仓储等费用为200元/天（只要围巾没有售完,均须支付200元/天,管理、仓储等费用与围巾数量无关）,试问小张应该如何定价,使这批围巾的总利润最高（总利润=总毛利润-总管理、仓储等费用）？
21、已知函数,其中实数.
(1)当时,的最小值为2,求实数a的值.
(2)记,设,若恒有解,求实数a的取值范围.
22、已知函数,,.若不等式的解集为.
(1)求a,b的值及;
(2)判断函数在区间上的单调性,并利用定义证明你的结论;
(3)已知,且,若.试证：.
参考答案
1、答案：C
解析：由,
,
所以.
故选：C.
2、答案：C
解析：对于A,当时,,故A错误;
对于B,当时,,故B错误;
对于C,若,则,故C正确;
对于D,当时,,故D错误,
故选：C.
3、答案：C
解析：充分性：若,则,
,
必要性：若,又,
,
由绝对值的性质：若,则,
,
所以“成立”是“成立”的充要条件,
故选：C.
4、答案：B
解析：由图知的定义域为,排除选项A、D,
又因为当时,,不符合图象,所以排除选项C,
故选：B.
5、答案：B
解析：对于①,当时,,①错误;
对于②,若a,且,说明,,则,当且仅当时取等号,显然成立,②正确;
对于③,,
当且仅时取等号,即,显然这样的x不存在,所以结论不正确,③错误;
对于④,因为,所以,
函数的最大值为,所以结论不正确,④错误.
故选：B.
6、答案：D
解析：[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②.
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以.
思路一：从定义入手.
所以.
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②.
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以.
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期.
所以.
故选：D.
7、答案：B
解析：令,,则
,时,,则无解.
,时,,,
时,,则;时,无解
综上：.
故选：B.
8、答案：C
解析：因为对任意的,且,都有,
即对任意两个不相等的正实数,不妨设,
都有,
所以有,
所以函数是上的减函数,
又因为为奇函数,即有,有,
所以有,
所以为偶函数,
所以在上单调递增.
当,即时,有,
由,得,
所以,解得,此时无解;
当,即时,由,得,
所以,解得或.
综上所述,不等式的解集为.
故选：C.
9、答案：ABD
解析：当时,,故,A正确;
作出函数,的图象,可得到的图象如图：（实线部分）
函数的定义域为,B正确;
函数的值域为,故C错误;
函数的单调区间有,,故D正确.
故选：ABD.
10、答案：ABD
解析：由题得,则,A正确;
由解析式得的值域为,B正确;
因为,所以,为偶函数,C不正确;
因为,所以,D正确.
故选：ABD.
11、答案：BCD
解析：对于A,因为,所以由“偏序关系”可知集合,
或,或,共3个,所以A错误,
对于B,因为,所以由“偏序关系”可知集合是集合A的一个“偏序关系”,所以B正确,
对于C,由②可知集合B中必须含有,,
由③可知与,与,与不能同时出现,
所以再从,,,,,中取一个,共6个,即含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个,所以C正确,
对于D,满足①②,
因为,,,所以满足③,
因为,,,所以,所以,满足④,
所以是实数集R的一个“偏序关系,所以D正确,
故选：BCD.
12、答案：BC
解析：对于A,若函数为“函数”,则由条件（1）得.由条件（2）,得当时,,所以,故A说法正确;
对于B,若,,则满足条件（1）（2）,但不是增函数,故B说法错误;
对于C,当,时,,,,,不满足条件（2）,所以不是“函数”,故C说法错误;
对于D,在上的最小值是0,显然符合条件（1）.设上的每一个数均由整数部分和小数部分构成,设x的整数部分是m,小数部分是n,即,则.设y的整数部分是a,小数部分是b,即,则.当时,,当时,,所以,所以函数满足条件（2）,所以在上是“函数”,故D说法正确.
故选：BC.
13、答案：
解析：因为成立的一个必要不充分条件是,所以推不出,且可推出,故集合B是集合A的真子集.
当时即,集合A的真子集,符合题意;
当时即,要使集合B是集合A的真子集,
则需,即,故;
综上,实数m的取值范围是.
故答案为：.
14、答案：9
解析：因为,则,
设,则,
由,
当且仅当即时等号成立,
由即,解得：或（舍）
所以,的最小值是9,
故答案为：9.
15、答案：,
解析：因函数是定义在R上的偶函数,且当时,,
则当时,,,
所以当时,;
依题意,在上单调递增,
则,解得,
所以实数m的取值范围是.
故答案为：;.
16、答案：,
解析：由解析式可知是定义域为R的奇函数,且当时,,当且仅当时等号成立;
,两函数如下图所示：
由图可知,当时,的最大值为,
当时,的最大值为在区间的最大值,即为,,
当时,的最大值为;
①若满足,当时,,不符题意;
当时,,解得或（舍去）
当时,,不符题意;
②综上所述,根据函数图象可知函数的最大值为.
故答案为：①;②
17、答案：(1)p是q的充分条件
(2)答案见解析
解析：（1）记集合,
.
当时,,由于,
p是q的充分条件.
（2）选①,若是的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件,则.
,
①当时,,不成立;
②当时,,由,得.
（2）选②,若是的必要不充分条件,等价于p是q的充分不必要条件,则.
①当时,,不可能;
②当时,,由,得.
综上,m的取值集合为.
18、答案：(1)
(2)
解析：（1）由,得
由,得,
即
所以,解得
因此.
（2）因为的图象是以直线为对称轴,且开口向上的抛物线,
当时,在上单调递增,则;
当,即时,在上单调递减,
则;
当,即时,,
综上.
19、答案：（1）0;
（2）奇函数;证明见解析;
（3）证明见解析.
解析：(1)令,
,
,
,
;
(2)由题意知：关于原点对称,
令,
,
,
即对定义域D内的任意实数都成立,
是定义域D内奇函数;
(3)设 ,


,
又,,,
,,,
,
即,
在上递增.
20、答案：（1）;定价为22元或23元
（2）25元
解析：（1）设, ,解得,,.
,
,围巾定价为22元或23元时,每日的利润最高.
（2）设售价x（元）时总利润为z（元）,
,
元,
当时,即时,取得等号,
小张的这批围巾定价为25元时,这批围巾的总利润最高.
21、答案：(1)
(2)
解析：（1）由题意得：,
故在单调递增,在单调递减,
当时,的最小值为2,
当时,,
解得;
当时,,
此时无解,
综上;
（2）在上恒有解,只需要;
当,即时,不成立,
当,即时, ,
①当,即,,
解得,因此;
②当,,,
解得,因此,
综上.
22、答案：(1),;;
(2)函数在区间上单调递增,证明见解析;
(3)证明见解析.
解析：（1）,即,
因为不等式解集为,所以,解得： ,
所以;
（2）函数在区间上单调递增,证明如下：
在上任取,且,
则,
因为,所以,
又,,
所以,
即当时,,
所以函数在区间上单调递增;
（3）先证在单调递减：
在上任取,且,
则
因为,故,
又,,
故
即当时,,
故在单调递减;
结合（2）中所证：函数在区间上单调递增,在区间上的单调递减,
因为,且,,,
所以,,
证明,即证明,即证明,
因为,所以即证明,
也就是证明,即,
令,
因为在区间上的单调递增,
根据复合函数单调性可知,在区间上的单调递减,
所以,单调递增,
又,所以在区间上恒成立,
即,得证：.