石家庄市第十八中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份石家庄市第十八中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、双曲线的焦点坐标是( )
A.,B.,
C.,D.,
2、如果方程表示焦点在轴上的椭圆,则实数m的取值范围是( )
A.B.C.D.
3、已知正项等比数列前n项和为,且,,则等比数列的公比为( )
A.B.2C.D.3
4、已知抛物线的焦点为F,是C上一点,,则( )
A.1B.2C.4D.8
5、已知等差数列前n项和为,,,则当取得最小值时,n的值为( )
A.5B.6C.7D.8
6、如图,在直三棱柱中,,,,M为AB的中点.则A1到平面的距离为( )
A.B.C.D.
7、已知,是椭圆的左,右焦点,过且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,若是锐角三角形,则该椭圆离心率e的取值范围是( )
A.B.C.D.
8、已知MN是正方体内切球的一条直径,点Р在正方体表面上运动,正方体的棱长是2,则的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、下列利用方向向量,法向量判断线,面位置关系结论中,正确的是( )
A.若两条不重合的直线,的方向向量分别是,,则
B.若直线l的方向向量是,平面的法向量是,则
C.若直线l的方向向量是,平面的法向量是,则
D.若两个不同的平面,的法向量分别是,,则
10、设,分别是双曲线的左右焦点,过作x轴的垂线与C交于A,B两点,若为正三角形,则下列结论正确的是( )
A.B.C的焦距是C.C的离心率为D.的面积为
11、南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法商功》中出现了如图所示的形状,后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三次有6个球,…,以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列,则( )
A.B.C.D.
12、已知数列的前n项和为,且,则( )
A.B.
C.数列等差数列D.n为奇数时,
三、填空题
13、已知直线与直线平行,则_______.
14、在数列中,若,,则数列的通项公式为_________.
15、设数列的前n项和为,已知,,则_________.
16、已知,为双曲线的左,右焦点,过作的垂线分别交双曲线的左,右两支于B,C两点(如图).若,则双曲线的渐近线方程为______
四、解答题
17、已知圆C的圆心坐标为,且点在圆C上.
（1）求圆C的标准方程;
（2）若直线与圆相交于A､B两点,当k变化时,线段AB的最小值为6,求m的值.
18、已知公差不为0的等差数列满足,且,,成等比数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,为的前n项和,求证:.
19、如图,平面平面ABC,,,D,O分别为PA,AC的中点,,.
（1）设平面平面,判断直线l与PC的位置关系,并证明;
（2）求直线PB与平面BOD所成角的正弦值.
20、在①;
②,,这两个条件中任选一个,补充在下面问题中,并解答问题.
已知正项数列的前项和为,,,数列满足________.
（1）求数列的通项公式;
（2）求数列前n项和.
21、如图,在三棱锥中,,,O为AC的中点.
（1）证明:平面ABC;
（2）若点M在棱BC上,,且二面角为,求的值.
22、椭圆:的焦点到直线的距离为,离心率为.抛物线的焦点与椭圆E的焦点重合,斜率为k的直线l过G的焦点与E交于A,B,与G交于C,D.
（1）求椭圆E及抛物线G方程;
（2）是否存在常数,使得为常数?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
参考答案
1、答案：B
解析：因为双曲线方程为,所以焦点坐标可设为,
因为,,所以焦点坐标为,选B.
2、答案：D
解析：由椭圆方程可知,.
故选:D
3、答案：A
解析：因为,
所以
设公比为q,可得:,
两式相除得:
故选:A
4、答案：B
解析：由抛物线可得,
准线方程,
是C上一点,,.
,
解得.
故选:B.
5、答案：C
解析：由等差数列的性质和前n项和公式,
可得,所以,
,所以,
则等差数列中满足,,可得,
数列为递增数列,且当时,,当时,,
所以当取得最小值时,n的值为.
故选:C.
6、答案：D
解析：如图,分别以CA,CB,所在直线为x,y,z轴建立直角坐标系,则,,,,.
则有,,
设平面的法向量为,
则,即.
令,得平面的一个法向量为,又,
所以A1到平面的距离.
故选:D.
7、答案：C
解析：试题分析:依题意可知,,即,,,两边除以得,解得.
选C
8、答案：B
解析：设正方体内切球的球心为O,则,
,
因为MN是正方体内切球的一条直径,
所以,,
所以,
又点Р在正方体表面上运动,
所以当Р为正方体顶点时,最大,且最大值为;
当Р为内切球与正方体的切点时,最小,且最小为1;
所以,
所以的取值范围为,
故选:B
9、答案：AD
解析：对于A,因为,所以,故A正确;
对于B,因为,所以或,故B错误;
对于C,因为,所以,故C错误;
对于D,因为,所以,故D正确.
故选:AD.
10、答案：ACD
解析：设,则,,离心率,选项C正确,
,,选项A正确,
,选项B错误,
设,将代入得,
的面积为,选项D正确,
故选:ACD
11、答案：BC
解析：根据题意,可知,且,故A错误,B正确,
因为,所以
,
所以,C正确;
因为,故D错误.
故选:BC
12、答案：ABD
解析：对于A选项,,A对;
对于B选项,因,则,
对任意的,由可得,
上述两个等式作差可得,
所以,数列中的奇数项成以1为首项,公差为2的等差数列,
数列中的偶数项成以1为首项,公差为2的等差数列,
当n为奇数时,设,则,
当n为偶数时,设,则,
综上所述,,B对;
对于C选项,,故数列不是等差数列,C错;
对于D选项,当n为奇数时,设,则,
则
,D对.
故选:ABD.
13、答案：
解析：由于直线与直线平行,
所以,,解得.
故答案为:.
14、答案：
解析：,,
数列是以为首项,为公差的等差数列,
,
.
故答案为:
15、答案：960
解析：由,
当n为奇数时,有;当n为偶数时,,
数列的偶数项构成以2为首项,以2为公差的等差数列,
则
,
故答案为:960.
16、答案：
解析：,则,由双曲线的定义及C在右支上,
,又B在左支上,则,则,在中,由余弦定理,,而图中渐近线,于是,得,于是,不妨令,化简得,解得,渐近线就为:.
故答案为:.
17、答案：（1）
（2）或.
解析：（1）由题意得
圆的标准方程为.
（2）若,可知圆心到直线的距离为4,
而圆心到直线的距离,
当时,线段AB的最小值为6,此时,
或.
18、答案：
解析：（1）设等差数列的公差为d,因为,,成等比数列,所以,则,即,所以,又,所以,所以,即
（2）由（1）可得,所以,所以数列的前n项和为
,即得证.
19、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）D,O分别为PA,AC的中点,在中,,
平面BOD,平面BOD,平面BOD,
平面PBC,平面平面,根据线面平行的性质定理可知;
（2）,O是AC中点,,
平面平面ABC,平面平面,平面ABC,
平面APC,同理,,PO垂直平面ABC,
故OB,OC,OP三线两两垂直,故可以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.
由题可知,,,,
则,,,,
则,,,
设平面BOD的法向量为,
则,取,则,则,
,
直线PB与平面BOD所成角的正弦值.
20、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）当时,,即,解得或(舍).
当时,由可得,
上述两个等式作差可得,即,
,,则,
所以,数列为等差数列,且该数列的首项为2,公差为1,
因此,.
（2）若选①,则,则,
所以,,
上述两个等式作差可得
,
因此,;
若选②,,
所以,.
21、答案：（1）见解析
（2）
解析：（1）证明:连接BO,,且O为AC的中点且
又,且
又平面ABC
（2）如图,以点O为原点,分别以OB,OC,OP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系.
则,,,,
,,
,点M在棱BC上,
设平面PAM的法向量
则即
令,则
取平面PAC的法向量
二面角为
解得或(舍)
故:
22、答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）设椭圆焦点,由题意得,
解得,即椭圆焦点为,
所以抛物线G的焦点为,所以,解得,
所以抛物线G的方程为,
又椭圆E得离心率为,所以,得.
又,得
所以椭圆E的方程为.
（2）由题意得,直线l不与x轴平行,
设直线的方程为,并设,,,,
联立与,消去x,整理得,
,,,
所以,
所以,
联立与,消去x,整理得,
,,
所以,
得,
当,即时,为常数.
故存在,使为常数.