新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学2024届高三上学期第三次月考数学试卷(含答案)

这是一份新疆生产建设兵团第三师图木舒克市第一中学2024届高三上学期第三次月考数学试卷(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、设集合,,则( )
A.B.C.D.
2、已知复数z满足,i为虚数单位,则( )
A.B.C.D.
3、命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
4、已知向量,满足,,则( )
A.-2B.-1C.0D.1
5、如图,在正方体中,异面直线与所成的角为( )
A.B.C.D.
6、已知为递增的等比数列,且满足,,则( )
A.B.1C.16D.32
7、纯电动汽车是以车载电源为动力,用电机驱动车轮行驶,符合道路交通､安全法规各项要求的车辆,它使用存储在电池中的电来发动.因其对环境影响较小,逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向.研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变,1898年Peukert提出铅酸电池的容量C、放电时间t和放电电流I之间关系的经验公式：,其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数）,在电池容量不变的条件下,当放电电流为15A时,放电时间为30h;当放电电流为50A时,放电时间为7.5h,则该蓄电池的Peukert常数约为( )（参考数据：,）
D.5.5
8、已知数列满足,,则数列的前40项和( )
A.B.C.D.
9、如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是( )

A.圆柱的侧面积为
B.圆锥的侧面积为
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为
10、已知函数,则下列说法正确的是( )
A.当时,有两个极值点
B.当时,的图象关于中心对称
C.当,时,有三个零点
D.当在R上单调时,
11、已知函数的图象关于直线对称,则( )
A.
B.函数在上单调递增
C.函数的图象关于点成中心对称
D.若,则的最小值为
12、如图,已知正方体的棱长为2,P为底面ABCD内（包括边界）的动点,则下列结论正确的是( ).
A.三棱锥的体积为定值
B.存在点P,使得
C.若,则P点在正方形底面ABCD内的运动轨迹长为
D.若点P是AD的中点,点Q是的中点,过P,Q作平面平面,则平面截正方体的截面面积为
二、填空题
13、已知向量,,若,则的最小值为__________.
14、底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截,截去一个底面边长为2,高为3的正四棱锥,所得棱台的体积为______.
15、已知直三棱柱的所有顶点都在球O的球面上,,
,,则球的表面积为___________.
16、“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一,他的数学研究几乎遍及所有领域,并且高斯研究出很多数学理论,比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个n阶代数方程必有n个复数解等.若函数,设,
,______.
三、解答题
17、记为等差数列的前n项和,已知,.
（1）求的通项公式;
（2）求,并求的最小值.
18、已知函数,
（1）求的值;
（2）设,,,求的值
19、如图,在四棱锥中,,四边形ABCD是菱形,,
,,E是棱PD上的中点.
（1）证明：平面AEC;
（2）证明：平面ABCD.
20、在中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若
（1）求角A的大小;
（2）若,求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）.
21、已知正项等比数列的前n项和为,,且,,成等差数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）若,求数列的前n项和.
22、已知,设函数,是的导函数.
（1）若,求曲线在点处的切线方程;
（2）若在区间上存在两个不同的零点,.
①求实数a的取值范围;
②证明：.
参考答案
1、答案：A
解析:由题意,,故选：A.
2、答案：B
解析:由,可得,所以
故选：B.
3、答案：A
解析:由全称命题的否定可知：“,”的否定是“,
”.故选：A.
4、答案：B
解析:向量,满足,,
所以.
故选：B.
5、答案：C
解析:正方体中,,
所以与所成的角即异面直线与所成的角,
因为为正三角形,所以与所成的角为,
所以异面直线与所成的角为.
故选：C.
6、答案：C
解析:由题意,,,,
联立,则或
因为是递增的数列,得,,
设等比数列的公比为q,则.
故选：C.
7、答案：B
解析:根据题意可得,两式相除可得,
所以,可得
故选：B.
8、答案：D
解析:由已知,数列满足①,②,
②①得;,
所以,
由递推可得：③,
③②得,
,
所以.
故选：D.
9、答案：BCD
解析:由题意可知,圆柱的底面半径为R,高为2R,
圆锥的底面半径为R,高为2R,
对于A选项,圆柱的侧面积为,A错;
对于B选项,圆锥的母线长为,
所以,圆锥的侧面积为,B对;
对于C选项,球的表面积为,所以圆柱的侧面积与球的表面积相等,C对;
对于D选项,圆柱的体积为,
圆锥的体积为,球的体积为,
因此,圆柱、圆锥、球的体积之比为,D对.
故选：BCD.
10、答案：BCD
解析:对于A选项,当且时,
,则对任意的恒成立,
此时,函数在R上为增函数,无极值点,A错;
对于B选项,当时,,该函数的定义域为R,
且,
所以,当时,的图象关于中心对称,B对;
对于C选项,当,时,则,
该函数的定义域为R,,
由可得,由可得或,
所以,函数的单调递增区间为、,单调递减区间为,
函数的极大值为,极小值为,
又因为,,
则,,,
由零点存在定理可知,函数有三个零点,C对;
对于D选项,因为,则函数的图象开口向上,
所以,若在R上单调,则在R上只可能单调递增,不可能单调递减,
所以,对任意的,,则,可得,D对.
故选：BCD.
11、答案：BD
解析:对于函数的图象关于对称,
故,
由于,所以,所以,
故,所以;
对于A,由于,所以,故A错误;
对于B,由于,故,
故函数在该区间上单调递增,故B正确;
对于C,当时,,故C错误;
对于D：若,则的最小值为,故D正确.
故选：BD.
12、答案：ABD
解析:对于A,由等体积法,三棱锥的高为,
底面积,所以,
所以三棱锥的体积为定值,A正确;
对于B,建立如图所示的空间直角坐标系,
设,,,,,,
,,
若,则,
即,取,,此时点P与点C重合,满足题意,
所以存在点P,使得,B正确;
对于C,,若,
,即,
所以点的轨迹就是线段AC,轨迹长为,C错误;
对于D,如图取AB中点,连接,
由题可得,平面ABCD,
连接BD,因为,平面ABCD,
则,,又,
平面,则平面,
又取中点为,则,
有P,Q,四点共面,则平面即为平面,
又由两平面平行性质可知,,,,
又P,Q,都是中点,故R是中点,是中点,
则平面截正方体的截面为正六边形,
又正方体棱长为2,则,
故截面面积为,D正确.
故选：ABD.
13、答案：
解析:向量,,由,得,
即,又,
因此,
当且仅当时取等号,所以当时,取得最小值.
故答案为：.
14、答案：28
解析:方法一：由于,而截去的正四棱锥的高为3,
所以原正四棱锥的高为6,所以正四棱锥的体积为,
截去的正四棱锥的体积为,所以棱台的体积为.
方法二：棱台的体积为.
故答案为：28.
15、答案：
解析:设和的外心分别为D,E.
由球的性质可得三棱柱的外接球的球心O是线段DE的中点,
连接OC,CD,设外接球的半径为R,的外接圆的半径r,
因为,,
由余弦定理可得,
由正弦定理可得,所以,
而在中,可知,即,
因此三棱柱外接球的表面积为.
故答案为：.
16、答案：46
解析:因为函数的定义域为,
设,是函数图象上的两点,
其中,且,则有,
从而当时,有：,当时,
,,
相加得
所以,又,所以对一切正整数n,有;
故有.
故答案为：46.
17、答案：（1）;
（2）,最小值为–16.
解析:（1）方法一：公式法
设等差数列的公差为d,由得,,
解得,所以.
方法二：函数+待定系数法
设等差数列通项公式为,易得,由,即,
即,解得：,,所以.
（2）方法1：邻项变号法
由可得.当,即,
解得,所以的最小值为,
所以的最小值为-16.
方法2：函数法
由题意知,即,
所以的最小值为,所以的最小值为-16.
18、答案：（1）
（2）
解析:（1）,.
（2）,
,,又,,
19、答案：（1）证明见解析;
（2）证明见解析.
解析:（1）取AC,BD的交点为O,连接OE,如下图所示：
由四边形ABCD是菱形可知,O是AC,BD的中点,
又E是棱PD上的中点,可得OE是BP边的中位线,所以,
又平面AEC,平面AEC,所以平面AEC;
（2）由四边形ABCD是菱形可知,
又,且,AC,PC平面PAC,
所以平面PAC,又平面PAC,所以;
由,可知满足,所以;
易知AB,BD平面ABCD,且,所以平面ABCD.
20、答案：（1）
（2）
解析:（1）因为,由正弦定理可得：,
即,
,
因为,所以,所以,
因为,所以.
（2）由（1）得,则,
所以,即,当且仅当时等号成立,
因为点D是边BC中点,所以,
两边平方可得：,
则,
所以,中线AD长的最大值为.
21、答案：（1）;
（2）.
解析:（1）设的公比为q,,,易知,
由题意,解得(舍去),;
（2）由（1）,,
则,
两式相减得.
所以.
22、答案：（1）
（2）①;②证明见解析
解析:（1）由题设,
则,且,所以,,
则在点处的切线方程为,即.
（2）①当时等价于,
设,则.
当时,单调递减;当时,单调递增;
所以,当时,
因为在上存在两个不同的零点,,则,解得.
当时,取,则,
故,又,
所以在和上各有一个零点,故.
②因为,所以,
结合知：.
设,则,在上,在上,
所以y在上递增,在上递减,故,即,
所以,即,当时取等号,
所以.
由①知,在上单调递增,且,所以,即.
因为在上是减函数,且,
所以,得证.