北京市日坛中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题

这是一份北京市日坛中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题，共15页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：共10小题，每小题5分，共50分.
1. 命题“,”的否定为（ ）
A. , B. , C. , D. ,
【答案】A
【解析】
【分析】
根据含有量词的命题的否定即可得到结论．
【详解】解：命题为全称命题,则命题“,”的否定为：
“,”,
故选：A
【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定,比较基础．
2. 下列函数为偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性,综合即可得答案．
【详解】解：根据题意,依次分析选项：
对于A,,是偶函数,符合题意；
对于B,,是对数函数,不是偶函数,不符合题意；
对于C,,是指数函数,不是偶函数,不符合题意；
对于D,,是幂函数,不是偶函数,不符合题意；
故选：A
【点睛】本题考查函数的奇偶性的判断,关键是掌握常见函数的奇偶性,属于基础题．
3. 已知函数在区间上单调递增，那么区间可以是（ ）更多课件教案等低价滋源(一定远低于各大平台价格)请 家 威杏 MXSJ663 A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
结合正弦函数的单调性即可得出区间.
【详解】解：由正弦函数的性质得
函数的单调增区间为：
,
所以区间可以是.
故选： D
【点睛】本题考查正弦函数的单调性,是基础题.
4. 已知集合，，则图中阴影部分所表示的集合为 （ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，由图像可知阴影部分面积对应的集合为，再由集合的运算，即可得到结果.
【详解】因为，，则，
由图像可知阴影部分面积对应的集合为.
故选：C
5. 若，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用不等式性质的应用和函数的单调性的应用求出结果．
【详解】解：由于,且和的正负号不确定,所以选项ACD都不正确．
对于选项B，由于函数为单调递增函数,且,故正确
故选：B
【点睛】函数的单调性的应用,不等式的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．
6. 设x0是函数的零点，若，则的值满足（ ）
A. B.
C. D. 的符号不确定
【答案】C
【解析】
【分析】先判断函数是单调减函数，进而可得当 时．
【详解】∵x0是函数的零点，∴，
因为是单调递减函数，是单调递增函数，
所以函数是单调减函数，
故当 时，则，
故选：C．
7. “，”是“”的（ ）．
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 即不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】当时，由均值不等式成立．但时，只需要,不能推出．所以是充分而不必要条件．选A.
8. 已知函数，若对任意，且，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先由题意得到函数在给定区间单调递增，再由二次函数的性质，即可求出结果.
【详解】由题意对任意，且，有，所以函数在单调递增，
当时，显然单调递减，不满足题意，
当时，函数为二次函数，
故其开口向上，且对称轴在区间的左侧，
即，解得.
故选：D.
9. 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（ ）
A. 8100B. 900C. 81D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】
利用鲑鱼游速为2m/s时和与静止时建立方程,分别求出耗氧量,再相比即可.
【详解】解：当鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量：
,解得；
当鲑鱼游静止时的耗氧量：
,解得；
所以.
故选：C
【点睛】本题考查利用对数运算解决实际问题.
10. 已知函数，下列命题正确个数有（ ）
①对于任意实数，为偶函数
②对于任意实数，
③存在实数，在上单调递减
④存在实数，使得关于的不等式的解集为
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性、单调性一一判定命题即可.
【详解】易知，所以为偶函数，即①正确；
显然当时，，
由指数函数和二次函数的单调性可知此时单调递增，
又为偶函数，所以在上单调递减，在上单调递增，
则，
当时，，故②错误；
因在上单调递减，所以③正确；
易知，
当时，根据函数的单调性可知，故④正确.
综上正确的命题有3个.
故选：C
二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.
11. 函数的定义域是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据对数的真数大于,解不等式即可．
【详解】解：令,解得,即函数的定义域为．
故答案为：
【点睛】本题考查函数定义域的求法及不等式的求解,属于基础题．
12. 的值为______
【答案】
【解析】
【分析】利用诱导公式直接求解.
【详解】.
故答案为：
13. 函数的值域为，且在定义域内单调递减，则符合要求的函数可以为_____．（写出符合条件的一个函数即可）
【答案】
【解析】
【分析】
由函数值域为,且在定义域内单调递减,即是符合要求的一个函数．
【详解】解：∵函数的值域为,且在定义域内单调递减,
∴函数即是符合要求的一个函数,
故答案为：
【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性和值域,是基础题．
14. 学校举办运动会，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，则只参加游泳比赛的人数是______，只参加田径一项比赛的人数是______.
【答案】 ①. 9 ②. 2
【解析】
【分析】结合韦恩图，利用集合的基本运算求解.
详解】如图所示：
设U={参加比赛的学生}，A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}，
依题意，，，
于是，解得，
所以只参加游泳比赛的人数为，
只参加田径比赛的人数.
故答案为：9，2
15. 已知函数，则_____；若，则实数_____．
【答案】 ①. ②. 或
【解析】
【分析】
结合已知函数解析式,把代入即可求解,结合已知函数解析式及,对进行分类讨论分别求解．
【详解】,
则；
,
①当 时,可得,即,
②当时,可得,即,
综上可得或．
故答案为：；或
【点睛】本题考查了求分段函数的函数值的问题,解题时应对自变量进行分析,是基础题．
16. 某池塘中原有一块浮草，浮草蔓延后的面积（平方米）与时间（月）之间的函数关系式是且，它的图象如图所示，给出以下命题：①池塘中原有浮草的面积是平方米；②第个月浮草的面积超过平方米；③浮草每月增加的面积都相等；④若浮草面积达到平方米，平方米，平方米所经过的时间分别为，则．其中正确命题的序号有_____．（注：请写出所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】
直接利用函数的图象求出函数的解析式,进一步利用函数的额关系式再利用函数的性质的应用求出结果．
【详解】解：浮草蔓延后的面积（平方米）与时间（月）之间的函数关系式是且,函数的图象经过
所以 ,解得．
①当时,故选项A正确．
②当第个月时,,故②正确．
③当时,,增加,当时,,增加,故每月的增加不相等,故③错误．
④根据函数的解析式,解得,
同理,,
所以,
所以则．故④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用,定义性函数的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型．
三、解答题：共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
17. 已知全集为实数集，集合，.
（1）若，求图中阴影部分的集合；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由图可知阴影部分表示的是，从而可求得结果，
（2）分和两种情况求解即可
【小问1详解】
当时，，
因为全集为实数集，集合，
所以或，
由图可知阴影部分表示的是，
所以，
【小问2详解】
当时，成立，此时，解得，
当时，因为，
所以，解得，
综上，，即实数的取值范围为
18. 在平面直角坐标系中，角，的顶点与坐标原点重合，始边为轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于两点，两点的纵坐标分别为，.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据三角函数的定义结合同角三角函数的关系计算即可；
（2）根据诱导公式计算即可.
【小问1详解】
根据题意可知，
又，所以，则；
【小问2详解】
根据题意可知，
又，所以，
根据诱导公式可知.
19. 已知函数（）.在下面两个条件中选择其中一个，完成下面两个问题：
条件①：在图象上相邻的两个对称中心的距离为；
条件②：的一条对称轴为.
（1）求和对称中心；
（2）将的图象向右平移个单位（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在上的值域.
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）选①，利用对称中心与周期的关系可求，从而结合三角函数的对称中心公式计算即可，选②，直接代入计算可求，从而结合三角函数的对称中心公式计算即可；
（2）利用三角函数的图像变换结合三角函数的性质计算即可.
【小问1详解】
若选①，则可知的最小正周期，
即，
令，即的对称中心为；
若选②，将代入可得，
因为，所以，，
即，
令，即的对称中心为；
【小问2详解】
将的图象向右平移个单位（纵坐标不变），
得到函数，
由，
根据三角函数的性质可知，此时，
，此时，
故在上的值域为.
20. 已知函数
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）判断的单调性并说明理由；
（3）若对任意恒成立,求的取值范围．
【答案】（1）奇函数,证明见解析；（2）增函数,理由见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）求出的定义域,再计算与比较,即可判断奇偶性；
（2）对函数求导，判断导函数大于，即可的的单调性；
（3）利用函数的奇偶性和单调性和将转化为，再分情况讨论即可得出的取值范围．
【详解】解（1）判断：奇函数.
证明：因为,定义域为,
所以是奇函数；
（2）判断：在上是增函数.
证明：因为
所以
所以在上是增函数.
（3）若对任意恒成立,求的取值范围．
因为所以,
由（1）知是奇函数,则
又由（2）知在上是增函数,则
对任意恒成立,
①当 时,,符合题意；
②当 时,,
因为，无最小值,所以不合题意；
③当 时,,
则,解得,所以，符合题意；
综上所述：.
故若对任意恒成立，的取值范围为．
【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性的判断和证明,以及利用函数的奇偶性、单调性解不等式,是基础题.
21. 对于集合，定义函数
对于两个集合，，定义运算．
（1）若，，写出与的值，并求出；
（2）证明：；
（3）证明：运算具有交换律和结合律，即，．
【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由新定义的元素即可求出与的值,再分情况求出；
（2）对x是否属于集合,分情况讨论,即可证明出；
（3）利用（2）的结论即可证明出*运算具有交换律和结合律．
【详解】解：（1）,,
,,
；
（2）①当且时,,
所以 ．所以,
所以,
②当且时,,,
所以．所以,
所以,
③当且时,,．
所以．所以．
所以．
综上,；
④当且时, ．
所以．所以．
所以．
（3）因为, ,
所以．
因为,
,
所以．
【点睛】本题主要考查了集合的基本运算,考查了新定义问题,是难题．