专题08 规律探究-2023-2024学年九年级数学上册期末选填解答压轴题必刷专题训练（华师大版）

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根据数阵排列的规律，第n（n是整数，且）行从左向右数第个数是（用含n的代数式表示）（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形；再连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形，使矩形矩形，…，按照此规律作下去．若矩形的面积记作，矩形的面积记作，矩形的面积记作，…，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，△ABC面积为1，第一次操作：分别延长AB，BC，CA至点A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，顺次连接A1，B1，C1，得到△A1B1C1．第二次操作：分别延长A1B1，B1C1，C1A1至点A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，顺次连接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…按此规律，第n次操作后，得到△AnBnCn，要使△AnBnCn的面积超过2022，则至少需要操作（ ）次．
A．6B．5C．4D．3
4．在平面直角坐标系中，正方形的位置如图所示，点A的坐标为，点D的坐标为，延长交x轴于点，作正方形；延长交x轴于点，作正方形…按这样的规律进行下去，正方形的面积为（ ）
A．B．C．D．
5．请先在草稿纸上计算下列四个式子的值:①；②；③；④观察你计算的结果，用你发现的规律得出的值为__________．
6．图是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．若图中的，按此规律继续演化，则线段的长为___________
7．已知如下一元二次方程:
第1个方程: ；
第2个方程: ；
第3个方程: ；
按照上述方程的二次项系数、一次项系数、常数项的排列规律，则第8个方程为________________； 第n(n为正整数)个方程为_____________________，其两个实数根为____________________.
8．如图，在中，已知AB=8，BC=6，AC=7，依次连接的三边中点，得到，再依次连接的三边中点，得到，，按这样的规律下去，的周长为____．
9．已知一列数：，，，，，……，认真观察发现其中的规律，用含有（正整数）的代数式表示第个数是______．
10．如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，且AC边在直线a上，将△ABC绕点A顺时针旋转到①位置可得到点，此时；将①位置的三角形绕点顺时针旋转到②位置，可得到点，此时；将②位置的三角形绕点顺时针旋转到③位置，可得到点P3，此时；…，按此规律旋转，直至得到点为止，则=_______．
11．如图，在边长为的菱形中，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使，连接，再以为边作第三个菱形，使…则的长度是______；按此规律所作的第个菱形的边长是______．
12．如图，直线l的解析式是，点在直线l上，，交x轴于点，轴，交直线l于点，，交x轴于点，按照此规律继续作下去，若，则点的坐标为______．
13．观察下列一组方程：①；②；③；④；…
它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”。若也是“连根一元二次方程”，则的值为________，第个方程为______________．
14．如图，在中，，，．分别是的中点，连接；分别是的中点，连接；……按此规律进行下去，则中最短边的长度为_______．
15．如图，在矩形中，，，连接，以对角线为边，按逆时针方向作矩形的相似矩形，则矩形的面积为______；再连接，以对角线为边作矩形的相似矩形，…，按此规律继续下去，则矩形的面积为________．
16．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，，，分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作；取中点，作，，，分别交，于点，，得到四边形，它的面积记作……照此规律作下去，则______．
17．如图，在平面直角坐标系中，点，，，……在x轴上且，，，……按此规律，过点，，，……作x轴的垂线分别与直线交于点，，，……记，，，……的面积分别为，，，……，则______．
18．如图，中，，，BC边上的高，点、、分别在边AD、AC、CD上，且四边形为正方形，点、、分别在边、、上，且四边形为正方形，…按此规律操作下去，则线段的长度为______．
19．如图，在中，，，分别是，边的中点，，分别是，的中点，，分别是，的中点……按这样的规律下去，的长为_____（为正整数）．
20．如图，在等腰直角三角形中，，，分别连接，，的中点，得到第1个等腰直角三角形；分别连接，，的中点，得到第2个等腰直角三角形……以此规律作下去，得到等腰直角三角形，则的长为______．
21．如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以为位似中心的位似图形，且位似比为，点，，在轴上，延长交射线与点，以为边作正方形；延长交射线与点，以为边作正方形；…按照这样的规律继续下去，若，则正方形的面积为________．
22．在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按下图中的规律摆放．点P从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“……”的路线运动．设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是______________．
23．如图，中，，，边上的高，点分别在边上，且四边形为矩形，，点分别在边上，且四边形为矩形，，…按此规律操作下去，则线段的长度为_________．
24．如图，正方形的边长为1，正方形的边长为2，正方形的边长为4，正方形的边长为8…依次规律继续作正方形，且点，，，，…，在同一条直线上，连接交，于点，连接，交于点，连接，交于点，…记四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，…，四边形的面积为，则________．
25．如图，点在直线上，点的横坐标为2，过点作，交x轴于点，以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长交x轴于点；以为边，向右作正方形，延长的交x轴于点；…；按照这个规律进行下去，则第n个正方形的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）．
26．如图，在矩形OAA1B中，OA=3，AA1=2，连接OA1，以OA1为边，作矩形OA1A2B1使A1A2OA1，连接OA2交A1B于点C；以OA2为边，作矩形OA2A3B2，使A2A3OA2，连接OA3交A2B1于点C1；以OA3为边，作矩形OA3A4B3，使A3A4OA3，连接OA4交A3B2于点C2；…按照这个规律进行下去，则△C2019C2020A2022的面积为________．
27．观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式：______；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的等式表示），并证明．
28．观察下列等式：
①
②
③
(1)根据等式规律写出第④个等式，并验证其正确性：______．
(2)猜想第个等式，并证明．
29．下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第1个图形的周长为4，第2个图形的周长为10，第3个图形的周长为18，…，按此规律排列，回答下列问题：
(1)第5个图形的周长为 ；
(2)第个图形的周长为 ；
(3)若第个图形的周长为180，则 ．
30．小刚按照某种规律写出4个方程：①；②；③；④……
（1）按照此规律，请你写出第100个方程： ；
（2）按此规律写出第n个方程是 ；这个方程是否有实数解？若有，请求出它的解，若没有，请说明理由．