专题12 选择题压轴题-2023-2024学年九年级数学上册期末选填解答压轴题必刷专题训练（华师大版）

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A．B．C．D．
【答案】D
【详解】∵菱形ABCD位于第一象限，且对角线AC、BD所在的直线与坐标轴垂直，点A的坐标为，点D的坐标为．
∴设点B的坐标为，点C的坐标为．
∴AC中点坐标为，BD中点坐标为，
∵AC、BD互相平分，
∴，解得，
∴点B的坐标为，点C的坐标为．
当双曲线过D点时，，，
当双曲线过B点时，，，
当双曲线与直线BC只有一个交点时，
∵点B的坐标为，点C的坐标为，
∴直线BC解析式为：，
联立，整理得，
∴，解得，
此时交点坐标为在线段BC上，
∴若双曲线与菱形ABCD有公共点，则k的取值范围为．
故选：D．
2．如图，点A的坐标是（－4，0），C为OB的中点，将△ABC绕点B逆时针旋转后得到△．若反比例函数的图象恰好经过的中点D，则点B的坐标是（ ）
A．（0，6）B．（0，8）C．（0，10）D．（0，12）
【答案】B
【详解】解：作轴于H．
结合题意可得：，
∴，∠ABO+∠BAO=90°，
∴，
∵，
∴（AAS），
∴OA=BH，OB=，
设 而为的中点，
则
∵点A的坐标是，


为的中点，

∵反比例函数的图象经过点D，
∴
解得：或

，
则
故选：B．
3．对于一元二次方程，下列说法：
①若，则；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
②若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ）
A．只有①②④B．只有①②③C．①②③④D．只有①②
【答案】A
【详解】①当x=1时，a×12+b×1+c=a+b+c=0，那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根或有两个相等的实数根，此时b2-4ac≥0成立，那么①一定正确．
②方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则-4ac＞0，那么b2-4ac＞0，故方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有两个不相等的实根，进而推断出②正确．
③由c是方程ax2+bx+c=0的一个根，得ac2+bc+c=0．当c≠0，则ac+b+1=0；当c=0，则ac+b+1不一定等于0，那么③不一定正确．
④(2ax0+b)2＝4a2x02+b2+4abx0，由b2-4ac=4a2x02+b2+4abx0，得ax02+bx0+c＝0．由x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则ax02+bx0+c＝0成立，那么④正确．
综上：正确的有①②④，共3个．
故选：A．
4．如图，…是分别以…为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点…均在反比例函数（x＞0）的图象上，则的值为（ ）

A．B．20C．D．
【答案】B
【详解】解：过分别作x轴的垂线，垂足分别为

其斜边的中点在反比例函数上
∴，即
∴
设，则，此时，带入
解得：，
同理
……
故选：B．
5．如图，反比例函数的图象经过点，过A作轴于点B，连，直线，交x轴于点C，交y轴于点D，若点B关于直线的对称点恰好落在该反比例函数图像上，则D点纵坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴直线OA的解析式为，
∵，
∴设直线CD的解析式为，
则，
设点B关于直线的对称点，
则①，
且，
即，解得，
代入①可得，
故选：A．
6．抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（），下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【详解】解：抛物线开口向下
把，代入得
①，故①正确；
②，故②正确；
③，故③正确；；
④若方程有两个不相等的实数根，
即
，故④正确，即正确结论的个数是4，
故选：A．
7．一个矩形内放入两个边长分别为和的小正方形纸片，按照图①放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分（黑色阴影部分）的面积为，按照图②放置，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为，若把两张正方形纸片按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：设矩形的长为，宽为，
依题意，得：，
②①，得：，
③．
将③代入②，得：，
整理，得：，
解得：，（舍去），
．
按图③放置时，矩形纸片没有被两个正方形纸片覆盖的部分的面积为．
故选：B．
8．如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数y＝的图象在第一象限的分支交AB于点P，交BC于点E，直线PE交y轴于点D，交x轴于点F，连接AC．则下列结论：
①S四边形ACFP＝k；
②四边形ADEC为平行四边形；
③若＝，则＝；
④若S△CEF＝1，S△PBE＝4，则k＝6．
其中正确的是（ ）
A．①②④B．①②C．②④D．①③
【答案】A
【详解】设点B的坐标为(b,a)，
∵四边形ABCD为矩形，
∴A(0,a)，C(b,0)，
∵点P，E在反比例函数图形上，
∴P，E ，
∴直线PE的解析式为，
令y＝0，则，
∴x＝，
∴F(,0)，
∴CF＝+b﹣b＝，
∵P(，a)，
∴AP＝，
∴AP＝CF，
∵四边形OABC是矩形，
∴，
∴四边形ACFP是平行四边形，
∴S四边形ACFP＝CF•OA＝•a＝k，故①正确；
∵四边形ACFP是平行四边形，
∴AC∥DF，
∵OA∥BC，
∴四边形ADEC是平行四边形，故②正确；
∵，
∴，
∵B(b,a)，
∴OB＝b，
∵P(,a)，
∴AP＝，
∴，
∴ab＝4k，
∵直线PE的解析式为，
∴D，
∵A(0,a)，
∴AD＝+a﹣a＝，
∴＝＝＝，故③错误；
∵S△CEF＝1，
∴＝1，
∴＝2，
∵S△PBE＝4，
∴(b﹣)•(a﹣)＝4，
∴ab﹣k﹣k+＝8，
∴k2﹣2k﹣6＝0，
∴k＝﹣2（舍）或k＝6，故④正确，
∴正确的有①②④，
故选：A．
9．多项式的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】2x2﹣2xy+5y2+12x﹣24y+51
=x2﹣4xy+4y2+12x﹣24y+36+x2+2xy+y2+15
=(x﹣2y)2+12(x﹣2y)+36+(x+y)2+15
=(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15
∵(x﹣2y+6)2≥0，(x+y)2≥0，
∴(x﹣2y+6)2+(x+y)2+15≥15．
故选：C．
10．已知，则等于（ ）
A．或B．6或1C．或1D．2或3
【答案】A
【详解】∵
∴
∴
∴=或.
故选A.
11．若实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，则的值是（ ）
A．﹣20B．2C．2或﹣20D．
【答案】C
【详解】解：①当a=b时，原式=2；
②当a≠b时，根据实数a、b满足a2﹣8a+5=0，b2﹣8b+5=0，即可看成a、b是方程x2﹣8x+5=0的解，
∴a+b=8，ab=5．
则=
=，
把a+b=8，ab=5代入得：
=
=﹣20．
综上可得：的值为2或﹣20．
故选C．
12．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）
A．﹣1B．2C．22D．30
【答案】D
【详解】解：∵α方程x2-2x-4=0的实根,
∴α2-2α-4=0,即α2=2α+4,
∴α3=2α2+4α=2（2α+4）+4α=8α+8,
∴原式=8α+8+8β+6
=8（α+β）+14,
∵α,β是方程x2-2x-4=0的两实根,
∴α+β=2,
∴原式=8×2+14
=30,
故选D.
13．已知下面三个关于的一元二次方程，，恰好有一个相同的实数根，则的值为（ ）
A．0B．1C．3D．不确定
【答案】A
【详解】把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：a•a2+ba+c=0，ba2+ca+a=0，ca2+a•a+b=0，相加得：（a+b+c）a2+（b+c+a）a+（a+b+c）=0，
∴（a+b+c）（a2+a+1）=0．
∵a2+a+1=（a+）2+＞0，
∴a+b+c=0．
故选A．
14．已知，则m2+n2的值是（ ）
A．3B．3或-2C．2或-3D．2
【答案】A
【详解】解：，，，，∴或（舍去）．故选A．
15．如图，平面直角坐标系中是原点，▱的顶点的坐标分别是，点把线段三等分，延长分别交于点，连结，则下列结论：①是的中点；②与相似；③四边形的面积是；④，其中正确的结论个数是（ ）
A．个B．个C．个D．个
【答案】A
【详解】解：①∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵为的三等分点，
∴，
∴
∴
∴是的中点，故①结论正确；
②如图，连接，延长交轴于，
由知：，，
∴，即，
∵
∴，
∴，则，
∵，
∴，则，
∴在中，，则，
又,
∴不成立，故②错误；
③由①知：为的中点，
同理得：是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∵，
∴即，
如图，过作于，
∵
∴，则，
∵，
，
，
∴,
∵
∴
∴
∴
∴，故③错误；
④在中，由勾股定理得：，
，故④错误，
综上，只有①正确，
故选：A．
16．如图，在正方形中，以为边作等边，延长，分别交于点E，F，连接、，与相交于点H，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③④B．②③C．①②④D．①③④
【答案】A
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
在正方形中，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在 中，，
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴＝，
∵，在中，，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故④正确；
∵，
∴，故③正确；
∴正确的有①②③④，
故选：A．
17．如图，菱形中，，与交于点O，E为延长线上一点，且，连结，分别交于点F，G，连结， ①②③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；④中正确的结论是（ ）
A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
【答案】D
【详解】∵四边形为菱形，与交于点O，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
即点G是、的中点，
∴由中位线定理得，且，
故①正确；
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴四边形是菱形，
故③正确；
∵G是的中点，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故④正确，
故全部正确．
故选：D．
18．如图，在中，，，是中点，，交于，交于，若，则下面结论：①；②；③；④；正确的是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②④D．①②③④
【答案】C
【详解】解：①，，
，
，故①正确；
②设的中点为，连接，
是中点，是的中点，
是的中位线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故②正确；
③设，，
则，
,
，
，
显然，故③错误；
④由②知，
，故④正确；
故选：C．
19．如图，在矩形中，是边的中点，垂足为点F，连接，有下列四个结论：①；②；③④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，
∴
∵于点F，
∴
∴，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确；
如图，过D作交于N，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵于点F，，
∴，
∴垂直平分，
∴，故③正确；
，
，
设，
，，，，
故④正确；
正确的个数为4，
故选：D．
20．如图，在矩形中，．对角线与相交于点O，过点D作的垂线，交于点E，．则的值为（ ）
A．4B．2C．D．4
【答案】C
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴ ，
∵
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
21．如图，在中，，．现分别作的内接矩形，，，设这三个内接矩形的周长分别为、、，则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：过点作于，
，，
，，
，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
同理：．
．
故选：D．
22．已知点D在的边上，联结，如果与相似，那么下列四个说法：①；②；③；④．一定成立的是（ ）．
A．②④B．①③C．①②③D．②③④
【答案】A
【详解】因为三角形外角大于不相邻的任何一个内角，
所以，
所以或，
当时，
所以，，
所以，
所以，，
当时，
所以，，，
所以，，，
所以
所以，
所以一定成立的是②④，
故选A．
23．如图，分别是边长为3和2的正方形，G在上，三点在同一直线上，连接DE交GF于M，连接BG并延长交DE于H，下列四个结论：
① ② ③ ④
其中正确的结论个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】∵分别是边长为3和2的正方形，
∴
，
，
，
在和中，
；
故①正确；
∵
∴，
又∵ ，
，
故②正确；
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
故③错误；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故④正确；
综上所述，①②④正确，
故选：C．
24．如图，在正方形中，点E，G分别在，边上，且，，连接、，平分，过点C作于点F，连接，若正方形的边长为4，则的长度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图：延长交于H，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，∴，
∴，，
而，
∴，
∵，正方形的边长为4，
∴，，，
在中，，
在中，，
∴，
∴．
故选：C．
25．如图，中，，，，是斜边的中点，过作于，连接交于；过作于，连接交于；过作于，…，如此继续，可以依次得到点、、…、，分别记、、、…、的面积为、、、…、．则的大小为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】∵中，，，，
∴AB=2BC=，
∴由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴与同底同高，面积相等，
∵是斜边的中点，
∴，，
∴，
∴在中，为其重心，
∴，
∴，，
，
∴，，
，…，
∴；
∴．
故选：C．
26．如图，点是双曲线上的动点，连接并延长交双曲线于点，将线段绕顺时针旋转得到线段，点在双曲线上运动，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】双曲线关于原点对称，
点与点关于原点对称．
．
连接，，如图所示．
将线段绕顺时针旋转得到线段，
是等边三角形，，
，，
，
．
过点作轴，垂足为，过点作轴，垂足为，
，，，
，，
∽．
．
，
，．
设点坐标为，
点在第一象限，
，．
，
点在双曲线上，
．
，
设点坐标为，
点在第四象限，
，．
．
．
点在双曲线上，
．
故选：D
27．如图，在△ABC中，DC平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为（ ）
A．5B．C．3D．
【答案】B
【详解】解：延长BD交AC于点E，如图，
∵DC平分，于点D，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴BD=ED=1，
∵，
∴AE=BE=2，
∵AC=7
∴CE=AC-AE=5，
∴，
∴．
故选：B．
28．如图，菱形的边长为4，、分别是、上的点，连接、、，与相交于点，若，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】作EM⊥DA延长线于M，过点E作交AC于点N，如图，
∵∠BAD＝120°，
∴，
∵菱形ABCD的边长为4，BE＝1，
∴，
在中，
∴，
在 中，，
∵，
∴则，
∵，
∴，
∴△AEN是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵△AFG与△AEG同高，
∴，即，
故选：B．
29．如图，点E、F分别为正方形ABCD中AB、BC边的中点，连接AF、DE相交于点G，连接CG，则cs∠CGD=（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：把G延长交AB于H，
由题意可得△ADE≌△BAF，则∠FAB=∠EDA
∵∠FAB+∠DAG=90°，
∴∠EDA+∠DAG=90°，
∴AF⊥DE，
∴△AEG∽△DAG∽△DEA，
∵AE：AD=1：2，
∴EG：DG=1：4，
∵AB∥CD，
∴△HEG∽△CDG，
∴HE：CD=HG：CG=EG：DG=1：4，
∵CD=AB=2AE，
∴HE：AE=1：2，
∴H为AE的中点，
∴在Rt△AGE中，HG=AE，∠HEG=∠HE
∴∠HEG=∠HGE=∠DGC
设AB=a 则AE=,DE=
又EG：DG=1：4，，则EG=
cs∠CGD=cs∠AEG=
30．为庆祝抗日战争胜利70周年，某公司要在如图所示的五角星（∠A=∠D=∠H=∠G=∠E=36°，AB=AC=CE=EF=FG=GI=HI=HK=DK=DB）中，沿边每隔25厘米装一盏闪光灯，若BC=（-1）米，则需要安装闪光灯（ ）
A．79盏B．80盏C．81盏D．82盏
【答案】B
【详解】如图：
∵∠ABC是△BHE的外角，
∴∠E+∠H=∠ABC，
∵∠ABC=2∠E，∠ACB=2∠D，∠A=∠D，
则：5∠A=180°，∠A=36°，∠ABC=72°．
∴AB=÷cs72°=2，
∴AB+BE+EF+FH+HK+KJ+JG+GD+DC+CA=20m=2000cm，
则需安装闪光灯：2000÷25=80盏．
故选B．