初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数课时训练

这是一份初中数学人教版九年级上册22.1.1 二次函数课时训练，共18页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列函数是二次函数的是（）
A．B．C．D．
2．将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线为（ ）
A． B．
C． D．
3．抛物线与轴的一个交点坐标是，那么它与轴的另一个交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．对称轴为B．时，y随x的增大而减小
C．函数的最大值是D．函数图象与x轴有两个交点
5．将抛物线的图象位于直线上方的部分向下翻折，得到新的图象，若直线与新图象只有四个交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．二次函数的图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
7．根据下列表格的对应值：
由此可判断方程必有一个根满足（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在同一平面直角坐标系中，关于的二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题
9．对于抛物线，当时 ，的取值范围为 ．
10．设抛物线，其中为实数．若抛物线经过点，则 ．
11．已知二次函数，则函数y的最小值为 ．
12．已知都在抛物线上，则与之间的大小关系是： ．
13．若抛物线（，，是常数，且）可由抛物线平移得到，且经过点和，则该抛物线的函数表达式为 ．
14．已知抛物线，将绕它的原点旋转得抛物线，则抛物线的解析式为 ．
15．定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，则正确的结论有 ．（填写序号）
①点，都是点的“倍增点”；
②若直线上的点是点的“倍增点”，则点的坐标为；
③抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
16．如图，己知抛物线开口向上且顶点D在y轴的负半轴上，由先绕顶点旋转180°，再平移得到，它们与x轴的交点为A、B、C且，则抛物线的顶点E的坐标是 ；若过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等，则这条直线的解析式为
三、解答题
17．求抛物线的对称轴和顶点坐标．
18．已知抛物线的顶点坐标为，它与x轴的一个交点的横坐标为．
(1)求抛物线的解析式．
(2)写出它的开口方向以及与y轴的交点坐标．
19．某次商品交易会上，某商人成批购进纪念品的单价是22元，调查发现：销售单价是32元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件纪念品售价不能高于40元．设每件纪念品的销售单价上涨了元时（为正整数），月销售利润为元．
(1)求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围．
(2)每件纪念品的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
(3)每件纪念品的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大利润是多少？
20．一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以为原点建立如图所示直角坐标系．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．
21．中秋国庆双节期间，东莞市中心广场的音乐喷泉对公众表演．如图，圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点．已知雕塑高为米，水柱在与的水平距离为米处达到最高点，落水点、之间的距离为米．
(1)求：喷出水柱的最大高度为多少米？
(2)若需要在线段上的点处竖立另一座雕塑，，，．问：雕塑顶部是否会碰到水柱？请通过计算说明理由．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．
根据二次函数的定义；形如为常数且，逐一判断即可解答．
【详解】A、，是二次函数，故A符合题意；
B、，不是二次函数，故B不符合题意；
C、，不是二次函数，故C不符合题意；
D、，不是二次函数，故D不符合题意；
故选；A．
2．A
【分析】本题考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握“左加右减，上加下减”的平移方法．据此求解即可．
【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得的抛物线表达式为；
故选：A．
3．D
【分析】本题考查二次函数的图象与性质、先求得对称轴为直线，进而根据对称性，即可求解．
【详解】解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
故选：D．
4．C
【分析】本题考查了二次函数的性质及图像，熟记二次函数的对称轴，最值，增减性是解题关键．由二次函数解析式可求解．
【详解】解：A、二次函数对称轴为，故不符合题意；
B、当时，y随x的增大而增大，故不符合题意；
C、二次函数开口向下有最大值是，故符合题意；
D、二次函数图象与x轴没有交点，故不符合题意；
故选：C．
5．A
【分析】此题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质、函数图象交点以及根据值域确定二次函数参数取值范围的问题，综合性强，难度较大．根据函数图象，可发现，若直线与新函数有3个交点，可以有两种情况：①直线经过点A（即左边的对折点），可将A点坐标代入直线的解析式中，即可求出m的值；②若直线与新函数图象有三个交点，那么当直线与该二次函数只有一个交点时，恰好满足这一条件，那么联立直线与该二次函数的解析式，可化为一个关于x的一元二次方程，那么该方程的判别式，根据这一条件可确定m的取值．
【详解】解：如图：
令，则
解得或，
∴，
平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点．
①当直线位于时，此时过点，
∴，即．
②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点，
∴，
即有两个相等实根，
∴，
即．
若直线与新图象只有四个交点，则的取值范围是,
故选：A．
6．C
【分析】本题考查了考查了图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断，解题的关键是熟练掌握图象与二次函数系数之间的关系．
【详解】解：由图象可知：二次函数图象开口向上，与轴交点在轴上方，
∴，故正确，，
又图象与轴只有一个交点，
∴，故选项判断正确；
∵对称轴在轴右侧，
∴，
∴，
∴，故选项正确，选项错误；
故选：．
7．C
【分析】本题考查了一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个根满足．
【详解】解：时，，
时，，
∴时，有一个根满足，
即方程必有一个解x满足．
故选：C．
8．D
【分析】考查了抛物线和直线的图象；可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数图象相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线，可知图象开口向下，对称轴，可知，则，由直线可知，图象过一，三，四象限，，故此选项不符合题意；
B、由抛物线，可知图象开口向下，对称轴，可知，则，由直线可知，图象过一，二，四象限，，，故此选项不符合题意；
C、由抛物线，可知图象开口向下，对称轴，可知，，由直线可知，图象过二，三，四象限，，，故此选项不符合题意；
D、由抛物线，可知图象开口向下，对称轴，可知，，由直线可知，图象过一，三，四象限，，，故此选项符合题意；
故选：D．
9．或
【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，求出时，的值，再结合二次函数的图象，即可得到取值范围，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【详解】解：当时，可得，
解得，
，
抛物线的开口向下，
当时 ，的取值范围为或，
故答案为：或．
10．0
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，把代入，化简即可作答．
【详解】解：∵抛物线，其中为实数．若抛物线经过点，
∴把代入，
得，
故答案为：0．
11．
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．把二次函数解析式化为顶点式，即可求解．
【详解】解：
，
∴该二次函数的顶点坐标为，
∵，
∴该二次函数的最小值为．
故答案为：
12．
【分析】本题考查的是求解二次函数值，比较二次函数值的大小，本题先求解，，再比较大小即可，选择合适的方法比较函数值的大小是解本题的关键．
【详解】解：∵都在抛物线上，
∴，，
∴；
故答案为：
13．
【分析】本题考查二次函数图象平移，待定系数法求二次函数解析式，先根据二次函数平移规律，求得，则，再把和代入，求得b、c值，即可求解．
【详解】解：∵抛物线可由抛物线平移得到，
∴，则，
把和代入，得
，
解得：
∴该抛物线的函数表达式为，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了抛物线的性质，关于原点对称图形的性质，根据得出开口向上，顶点坐标为，再根据中心对称的性质得出开口向下，顶点坐标为，即可解答．
【详解】解：∵，
∴开口向上，顶点坐标为，
∵绕它的原点旋转得抛物线，
∴开口向下，顶点坐标为，
∴.
故答案为：．
15．①③
【分析】本题主要考查了二次函数图像上的点的坐标、一次函数图像上的点的坐标，解题的关键是正确理解题目所给“倍增点”定义．依据题意，由“倍增点”的意义进行计算进而判断①；设满足题意的“倍增点”为，从而可以求得，进而可以判断②；设抛物线上的“倍增点”为，从而建立方程求得解，可以判断③．
【详解】解：，，
点，都是点的“倍增点”，故①正确；
对于②，由题意，可设满足题意的“倍增点”A为，
，解得，
，故②错误；
对于③，可设抛物线上的“倍增点”为，
，
解得：，，
此时满足题意的“倍增点”有，两个，故③正确．
故答案为：①③．
16．
【分析】（1）由，可以求出、、、四点的坐标，将（或）、代入，即可求出的表达式，将、代入，即可求出的表达式，再利用顶点横坐标代入即可求出点E的坐标；
（2）设过定点的直线表达式为，将代入可得 ，
设过定点的直线被抛物线、所截得的线段端点横坐标分别为、、、，
联立与，整理得，由韦达定理可得：，，由完全平方公式可得并代入化简，同理：联立与，整理得：，由韦达定理及完全平方公式代入化简，利用过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等，可得，建立等量关系求解即可；
【详解】解：∵抛物线开口向上且顶点D在y轴的负半轴上，
∴设表达式为，
∵，且，
∴，，，，
即：，，，，
将，代入
，解得：
∵由先绕顶点旋转180°，再平移得到，与x轴的交点为B、C，
∴设表达式为
将，代入得：
，解得：
∴
当时，
∴；
故答案为
设过定点的直线表达式为，
将代入得：，即：
∴，
设过定点的直线被抛物线、所截得的线段端点横坐标分别为、、、，
∵过定点的直线被抛物线、所截得的线段长相等，
∴，即：
与联立得：
整理得：
，
∴
与联立得：
整理得：
，
∴
∵
即：，
整理得：
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查了求函数表达式，二次函数的顶点坐标，函数求交点坐标，韦达定理，完全平方公式等知识点，掌握利用点的坐标求出表达式，联立关系式求交点等基本的函数思路，重点是利用截线段相等转化出交点横坐标差的绝对值相等，并利用韦达定理及完全平方公式将数形结合是解题的关键．
17．对称轴为直线，顶点坐标为．
【分析】本题考查了二次函数的性质．把函数解析式整理成顶点形式，然后写出对称轴和顶点坐标即可．
【详解】解：∵

∴对称轴为直线，顶点坐标为．
18．(1)
(2)开口向下，与y轴交点坐标为
【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，抛物线与y轴交点坐标及抛物线的性质；
（1）设抛物线的解析式为，把点代入解析式中可求得a的值，从而确定函数解析式；
（2）由（1）即可确定开口方向，令，求得y的值，可得抛物线与y轴的交点坐标．
【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，
∵抛物线与x轴的一个交点的横坐标为，
∴抛物线与x轴的一个交点的坐标为，
把点代入得：，
即，
∴抛物线解析式为，化为一般式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的开口向下；
令，则，
∴抛物线与y轴交点坐标为．
19．(1)，且为正整数
(2)每件纪念品的售价定为34元时，月销售利润为2520元
(3)每件纪念品的售价定为38元或39元时，每个月可获得最大利润，最大月利润为2720元
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意找出等量关系，列出关系式，以及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据总利润=单件利润×数量，即可列出函数关系式；
（2）把代入（1）中得出的函数关系式，算出自变量的值，即可解答；
（3）将（1）中的关系式化为顶点式，再根据二次函数的性质，结合自变量取值范围，即可解答．
【详解】（1）解：由题意得，
∵每件纪念品售价不能高于40元，且为正整数，
∴自变量的取值范围为，且为正整数．
（2）解：当时，，
解得（不合题意，舎去）．
则（元），
答：每件纪念品的售价定为34元时，月销售利润为2520元．
（3）解：由题意得，
∵，且m为正整数，
当时，，
当时，，
答：每件纪念品的售价定为38元或39元时，每个月可获得最大利润，最大月利润为2720元．
20．(1)抛物线的解析式为
(2)球不能射进球门
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的应用，根据题意求出二次函数解析式是解此题的关键．
（1）由题意得出抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，将代入抛物线解析式得：，求出的值即可；
（2）当时，，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：，
抛物线的顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将代入抛物线解析式得：，
解得：，
抛物线的解析式为：；
（2）解：当时，，
球不能射进球门．
21．(1)米
(2)雕塑顶部会碰到水柱．理由见解答
【分析】本题考查二次函数的应用，能够理解题意求出二次函数解析式是解题关键．
（1）根据题意得到，，，，对称轴，用待定系数法求出函数表达式，即可得到喷出水柱的最大高度；
（2）求出时，函数的对应值，并与比较即可作出判断．
【详解】（1）解：与水平距离米处为水柱最高点，
抛物线的对称轴为，
可设第一象限抛物线的解析式为
雕塑高为米，
点的坐标为，，
点、之间的距离为米，
点的坐标为，，
将，，，代入解析式，
得，
解得，
第一象限抛物线的解析式为，
，当时，最大值为
喷出水柱的最大高度为米；
（2）雕塑顶部会碰到水柱．
理由如下：当时，
，
雕塑顶部会碰到水柱．
x
1
1.1
1.2
1.3
0.84
2.29