专题05 线段垂直平分线的四种应用-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

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求线段长度
1．（2022•通州区期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC的垂直平分线EF交AB于点D，连接CD，如果CD＝6，那么AB的长为（ ）
A．6B．3C．12D．4.5
解：∵EF是边BC的垂直平分线，CD＝6，
∴BD＝CD＝6，
∴∠DCB＝∠B，
∵∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°，
∴∠A＝∠ACD，
∴AD＝CD＝6，
∴AB＝AD+BD＝12，
答案：C．
2．（2022•东城区期末）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于 10 cm．
解：∵AB的垂直平分线交AB于点D
∴AE＝BE
∴AE+CE＝BE+CE
∵△BCE的周长等于18cm，BC＝8cm
∴BE+CE+BC＝18，
∴AE+CE+BC＝18，
∴AC+BC＝18，
∴AC+8＝18，
∴AC＝10cm
答案：10．
3．（2022•大兴区期末）已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E、F．若AB＝8，AC＝4，则AE＝ 6 ．
解：连接PB，PC，
∵点P在BC的垂直平分线上，
∴PB＝PC，
∵AC平分∠BAC，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴PE＝PF，∠PEB＝∠PFC＝90°，
∴∠APE＝∠APF，
∴AE＝AF，
在Rt△PBE和Rt△PCF中，
PB=PCPE=PF，
∴Rt△PBE≌Rt△PCF（HL），
∴BE＝CF，
∵AB＝AE+BE，AF＝AC+CF，
∴AB＝AC+CF+BE，
∵AB＝8，AC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴AE＝AC+CF＝6．
答案：6．
4．（2022•西城区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．
（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．
（2）求证：BF＝AC．
（3）试说明CE=12BF．
解：（1）△DBC是等腰直角三角形，
理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，
∴∠BCD＝45°，
∴BD＝CD，
∴△DBC是等腰直角三角形；
（2）∵BE⊥AC，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°，
∵∠BFD＝∠CFE，
∴∠DBF＝∠ACD，
在△BDF与△CDA中，
∠BDC=∠ADC=90°∠DBF=∠DCABD=CD，
∴△BDF≌△CDA（AAS），
∴BF＝AC；
（3）∵BE是AC的垂直平分线，
∴CE=12AC，
∴CE=12BF．
求角度
5．（2022•海淀区期末）如图，在△ABC中，PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，若∠PAQ＝40°，则∠BAC的度数是（ ）
A．110°B．100°C．120°D．70°
解：∵PM、QN分别是线段AB、AC的垂直平分线，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠PAB＝∠B，∠QAC＝∠C，
∴∠PAB+∠QAC＝∠B+∠C，
∵∠PAB+∠B+∠PAQ+∠QAC+∠C＝180°，
∴∠PAB+∠QAC＝70°，
∴∠BAC＝∠PAB+∠QAC+∠PAQ＝110°，
答案：A．
6．（2022秋•路北区校级期末）如图，DP所在直线是BC的垂直平分线，垂足是点P，DP与∠BAC的平分线相交于点D，若∠BAC＝86°，则∠BDC＝ 94 度．
解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BOC的平分线，
∴DE＝DF，
∵DP是BC的垂直平分线，
∴BD＝CD，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
DB=DCDE=DF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．
∴∠BDE＝∠CDF，
∴∠BDC＝∠EDF，
∵∠DEB＝∠DFC＝90°，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∵∠BAC＝86°，
∴∠BDC＝∠EDF＝94°，
答案：94．
7．（2022•顺义区期末）已知，如图，AD是△ABC的高线，AD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F．
（1）若∠B＝40°，求∠AEF的度数；
（2）求证：∠B=12∠AED．
（1）解：∵EF是AD的垂直平分线，
∴EF⊥AD，
∵BC⊥AD，
∴EF∥BC，
∴∠AEF＝∠B＝40°；
（2）证明：∵EF是AD的垂直平分线，
∴EA＝ED，EF⊥AD，
∴∠AEE＝∠DEF，
由（1）可知，∠AEF＝∠B，
∴∠B=12∠AED．
8．（2022•昌平区期末）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A＝60°，∠ABD＝24°，求∠ACF的度数．
解：∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠ABD＝24°，
∵∠A＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣60°﹣24°×2＝72°，
∵BC的中垂线交BC于点E，
∴BF＝CF，
∴∠FCB＝24°，
∴∠ACF＝72°﹣24°＝48°．
实际应用
9．（2022•通州区期末）某地兴建的幸福小区的三个出口A、B、C的位置如图所示，物业公司计划在不妨碍小区规划的建设下，想在小区内修建一个电动车充电桩，以方便业主，要求到三个出口的距离都相等，则充电桩应该在△ABC（ ）
A．三条高线的交点处
B．三条中线的交点处
C．三个角的平分线的交点处
D．三条边的垂直平分线的交点处
解：∵电动车充电桩到三个出口的距离都相等，
∴充电桩应该在△ABC三条边的垂直平分线的交点处，
答案：D．
10．（2022•密云区期末）如图，电信部门要在公路l旁修建一座移动信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇M，N的距离必须相等，则发射塔应该建在（ ）
A．A处B．B处C．C处D．D处
解：
根据作图可知：EF是线段MN的垂直平分线，
所以EF上的点到M、N的距离相等，
即发射塔应该建在C处，
答案：C．
11．（2022•房山区期末）如图，电信部门要在S区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条高速公路m和n的距离也必须相等．发射塔应该修建在（ ）
A．∠1的平分线和线段AB的交点处
B．∠1的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处
C．∠2的平分线和线段AB的交点处
D．∠2的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处
解：要两个城镇A，B的距离，发射塔必须建在线段AB的垂直平分线上，要到两条高速公路m和n的距离相等需要建在∠1的平分线上，
∴发射塔应该修建在∠1的平分线和线段AB的垂直平分线的交点处．
答案：B．
12．（2022•怀柔区期末）在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点Q
解：观察图形可知点M在∠AOB的角平分线上，
∴点M到∠AOB两边距离相等．
答案：A．
综合应用
13．（2022•门头沟区期末）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE＝CE，OE＝OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD＝OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB＝60°，
∴∠AOE＝∠BOE＝30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE＝2DE，∠ODF＝∠OED＝60°，
∴∠EDF＝30°，
∴DE＝2EF，
∴OE＝4EF．
14．（2022•东城区期末）在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交BC的延长线于M，∠A＝40度．
（1）求∠M的度数；
（2）若将∠A的度数改为80°，其余条件不变，再求∠M的大小；
（3）你发现了怎样的规律？试证明；
（4）将（1）中的∠A改为钝角，（3）中的规律仍成立吗？若不成立，应怎样修改．
解：（1）∵∠B=12（180°﹣∠A）＝70°
∴∠M＝20°
（2）同理得∠M＝40°
（3）规律是：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半，
证明：设∠A＝α，
则有∠B=12（180°﹣α）
∠M＝90°−12（180°﹣α）=12α
（4）成立，
此时上述规律为：等腰三角形一腰的垂直平分线与底边相交所成的锐角等于顶角的一半．
15．（2022•海淀区期末）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB＝15cm；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
16．（2022•密云区期末）在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝9cm，AB的垂直平分线交BC于M，交AB于E，AC的垂直平分线交BC于N，交AC于F，
（1）求证：BM＝MN＝NC．
（2）求MN的长度．
解：（1）证明：连接AM、AN，
在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
又∵ME、NF分别垂直平分AB、AC，
∴AM＝BM，AN＝NC，
∴∠MBA＝∠MAB＝30°，∠NAC＝∠NCA＝30°，
∴∠MAN＝60°，
在△ABM和△ANC中
∠B=∠CAB=AC∠BAM=∠CAN，
∴△ABM≌△ANC，
∴AM＝AN，
△AMN为等边三角形，
∴AM＝MN＝AN，
∴BM＝MN＝NC．
（2）由（1）知：MN=13BC＝3（cm），
答：MN的长度是3cm．