专题08 分式方程的五种应用-【好题汇编】备战2023-2024学年八年级数学上学期期末真题分类汇编（北京专用）

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工程问题
1．（2022•东城区期末）某公司一工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，甲施工队施工一天需付工程款1.5万元，单独施工20天完成；乙工程队每天需付工程款1.1万元；如果甲乙两队合作施工4天后，剩余的工程由乙队单独做16天正好如期完成．
（1）求乙工程队单独完成该工程所需的天数；
（2）若延期完成，超出工期的时间，公司则每天要损失0.4万元，你认为单独找哪一个工程队更实惠？
解：（1）设乙队单独完成要x天，则每天完成1x，
根据题意得：(120+1x)×4+1x×16=1，
15+20x=1，
解得x＝25，
经检验x＝25是原方程的解，
故乙队单独完成要25天；
（2）∵两队合作4天，乙队又用了16天如期完工，
∴工期为20天，
甲队单独完成费用为：1.5×20＝30（万元）；
乙队单独完成费用为：1.1×25+0.4×（25﹣20）＝29.5（万元）；
故乙队更实惠．
2．（2022•朝阳区期末）某政府计划对全县中小学多媒体教室进行安装改造，现安排两个安装公司共同完成．已知甲公司安装工效是乙公司安装工效的1.5倍，乙公司安装96间教室比甲公司安装同样数量的教室多用8天．
（1）求甲、乙两个公司每天各安装多少间教室？
（2）已知甲公司安装费每天1400元，乙公司安装费每天800元，现需安装教室100间，若想尽快完成安装工作且安装总费用不超过22600元，则最多安排甲公司工作多少天？
解：（1）设乙公司每天安装x间教室，则甲公司每天安装1.5x间教室，
根据题意得：96x−961.5x=8，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是所列方程的解，且符合题意，
∴1.5x＝1.5×4＝6．
答：甲公司每天安装6间教室，乙公司每天安装4间教室；
（2）设安排甲公司工作y天，则乙公司工作100−6y4天，
根据题意得：1400y+100−6y4×800≤22600，
解得：y≤13，
∴y的最大值为13．
答：最多安排甲公司工作13天．
3．（2022•顺义区期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：
（1x+13x）×15+10x=1．
解得：x＝30．
经检验x＝30是原分式方程的解．
答：这项工程的规定时间是30天．
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（130+130×3）＝22.5（天），
则该工程施工费用是：22.5×（6500+3500）＝225000（元）．
答：该工程的费用为225000元．
行程问题
4．（2022•房山区期末）远大中学组织同学到离学校15km的郊区进行社会调查．一部分同学骑自行车前往，另一部分同学在骑自行车的同学出发40min后，乘汽车沿相同路线行进，结果骑自行车的与乘汽车的同学同时到达目的地，已知汽车速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度．
解：设自行车的速度为x km/h，则汽车的速度为3x km/h，
由题意得：15x−153x=4060，
解得：x＝15，
经检验，x＝15是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝3×15＝45，
答：自行车的速度为15km/h，汽车的速度为45km/h．
5．（2022•西城区期末）列方程解应用题：
小东一家自驾车去某地旅游，手机导航系统为他们推荐了两条路线方案，方案一全程75km，方案二全程90km．汽车在方案二行驶的平均速度是在方案一行驶的平均速度的1.8倍，预计在方案二行驶的时间比方案一行驶的时间少半小时，求汽车在方案一行驶的平均速度．
解：设汽车在方案一行驶的平均速度为x km/h，则在方案二行驶的平均速度为1.8x km/h，
由题意得：75x=901.8x+12，
解得x＝50，
经检验，x＝50是原方程的根，
答：汽车在方案一行驶的平均速度为50km/h．
6．（2022•怀柔区期末）八年级某同学在“五一”小长假中，随父母驾车去蜀南竹海观光旅游．去时走高等级公路，全程90千米；返回时，走高速公路，全程120千米．返回时的平均速度是去时平均速度的1.6倍，所用时间比去时少用了18分钟．求返回时的平均速度是多少千米每小时？
解：设去时的平均速度是x千米/小时，则返回时的平均速度为1.6x千米/小时，
根据题意得：90x−1201.6x=1860，
解得：x＝50，
经检验，x＝50是原方程的解，
∴1.6x＝80．
答：返回时的平均速度是80千米/小时．
方案问题
7．（2022•丰台区期末）为了贯彻双减要求，丰富校园文化生活，增强班级团队凝聚力，某校八年级今年计划举办一场主题为“缤纷六月，篮出梦想”的首届“校BA“班际篮球赛．该校计划为班际篮球赛购置若干个篮球，经过与某体育用品店经销商沟通，A型号篮球的单价比B型号的篮球单价多40元，且用1200元购买A型号篮球个数与用600元购买B型号篮球的个数相等．
（1）求A型号篮球和B型号篮球的单价分别是多少元？
（2）该体育用品店给出了两种让利活动，购买时只能选择其中一种方案；
方案一：所有商品打9折销售；
方案二：买3个A型号篮球，免费赠送1个B型号篮球（不足3个不赠送）；
若该校需要购买15个A型号篮球和x（x≥5）个B型号篮球，则上述两种购买方案中，哪一种方案更省钱，并说明理由．
解：（1）设A型号篮球单价为m元，则B型号篮球的单价为（m﹣40）元，
根据题意得：1200m=600m−40，
解得m＝80，
经检验，m＝80是原方程的解，也符合题意，
∴m﹣40＝80﹣40＝40，
∴A型号篮球单价为80元，B型号篮球的单价为40元；
（2）设购买所需费用为y元，
方案一：y＝80×0.9×15+40×0.9x＝36x+1080，
方案二：y＝80×15+40（x−153）＝40x+1000；
①当36x+1080＜40x+1000时，解得x＞20，
∴当x＞20时，方案一更省钱；
②当36x+1080＝40x+1000时，解得x＝20，
∴当x＝20时，两种方案费用相同；
③当36x+1080＞40x+1000时，解得x＜20，
∴当x＜20时，方案二更省钱；
综上所述，当x＞20时，方案一更省钱；当x＝20时，两种方案费用相同；当x＜20时，方案二更省钱．
8．（2022•昌平区期末）为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买A，B两种型号的充电桩．已知A型充电桩比B型充电桩的单价少0.3万元，且用12万元购买A型充电桩与用18万元购买B型充电桩的数量相等．
（1）A，B两种型号充电桩的单价各是多少？
（2）该停车场计划共购买20个A，B型充电桩，购买总费用不超过15万元，且A型充电桩购买数量不超过12个．问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
解：（1）设A型充电桩的单价为x万元，则B型充电桩的单价（x+0.3）万元，
根据题意得：12x=18x+0.3，
解得：x＝0.6，
经检验，x＝0.6是所列方程的解，且符合题意，
∴x+0.3＝0.6+0.3＝0.9．
答：A型充电桩的单价为0.6万元，B型充电桩的单价为0.9万元；
（2）设购买A型充电桩m个，则购买B型充电桩（20﹣m）个，
根据题意得：0.6m+0.9（20﹣m）≤15，
解得：m≥10，
∵m≤12，且m为整数，
∴m＝10，11，12，
∴该停车场共有3种购买方案：
方案一：购买10个A型充电桩、10个B型充电桩；
方案二：购买11个A型充电桩、9个B型充电桩；
方案三：购买12个A型充电桩、8个B型充电桩；
∵A型充电桩的单价低于B型充电桩的单价，
∴购买方案三总费用最少，最少费用＝12×0.6+8×0.9＝14.4（万元），
答：共有3种购买方案，购买12个A型充电桩、8个B型充电桩，所需购买总费用最少．
9．（2022•密云区期末）现有A、B两种商品，已知买一件A商品要比买一件B商品少30元，用160元全部购买A商品的数量与用400元全部购买B商品的数量相同．
（1）求A、B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A、B两种商品共10件，总费用不超过380元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
解：（1）设A商品每件x元，则B商品每件（30+x）元，
根据题意，得：160x=40030+x，
解得：x＝20，
经检验：x＝20是原方程的解，
所以A商品每件20元，则B商品每件50元．
（2）设购买A商品a件，则购买B商品共（10﹣a）件，
列不等式组：300≤20•a+50•（10﹣a）≤380，
解得：4≤a≤203，
a取整数：4，5，6．
有三种方案：
①A商品4件，则购买B商品6件；费用：4×20+6×50＝380，
②A商品5件，则购买B商品5件；费用：5×20+5×50＝350，
③A商品6件，则购买B商品4件；费用：6×20+4×50＝320，
所以方案③费用最低．
利润问题
10．（2022•石景山区期末）山地自行车越来越受中学生的喜爱一家店经营的某型号山地自行车，今年七月份销售额为22500元，八月份每辆车售价比七月份每辆车售价提高100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是25000元．
（1）求八月份每辆车售价是多少元？
（2）为了促销，九月份每辆车售价比八月份每辆车售价降低了15%销售，该店仍可获利25%，求每辆山地自行车的进价是多少元？
解：（1）设八月份每辆车的售价是x元，由题意得：
22500x−100=25000x，
解得：x＝1000．
经检验x＝1000是原方程的解．
答：八月份每辆车的售价是1000元；
（2）设每辆山地自行车的进价是y元，由题意得：
1000×(1−15%)−yy×100%=25%，
解得：y＝680．
经检验y＝680 是原方程的解．
答：每辆山地自行车的进价是680元．
11．（2022•通州区期末）习总书记在党的第二十次全国代表大会上，报告指出：“积极稳妥推进碳达峰碳中和”．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源A型和B型两款汽车，已知每辆A型汽车进价是每辆B型汽车进价的1.5倍，现公司用1500万元购进A型汽车的数量比1200万元购进B型汽车的数量少20辆．
（1）求每辆B型汽车进价是多少万元？
（2）A型汽车利润率为5%，B型汽车利润率为8%，那么该公司出售完此批汽车后总利润是多少元？
解：（1）设每辆B型汽车进价是x万元，则每辆A型汽车进价是1.5x万元，
根据题意得：1200x−15001.5x=20，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是所列方程的解，且符合题意．
答：每辆B型汽车进价是10万元；
（2）1500×5%+1200×8%＝171（万元）＝1710000（元），
答：该公司出售完此批汽车后总利润是1710000元．
12．（2022•门头沟区期末）某商店准备购进甲、乙两款篮球进行销售，若一个甲款篮球的进价比一个乙款篮球的进价多30元．
（1）若商店用6000元购进甲款篮球的数量是用2400元购进乙款篮球的数量的2倍．求每个甲款篮球，每个乙款篮球的进价分别为多少元？
（2）若商店购进乙款篮球的数量比购进甲款篮球的数量的2倍少10个，且乙款篮球的数量不高于甲款篮球的数量；商店销售甲款篮球每个获利30元，商店销售乙款篮球每个获利为20元，购进甲款篮球的数量为多少时，商店获利最大？
解：（1）设每个乙款篮球的进价为x元，则每个甲款篮球的进价为（x+30）元，
根据题意得：6000x+30=2400x×2，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是所列方程的解，且符合题意，
∴x+30＝120+30＝150，
答：每个甲款篮球的进价为150元，每个乙款篮球的进价为120元；
（2）设该商店本次购进甲款篮球m个，则购进乙款篮球 （2m﹣10）个，
根据题意得：2m﹣10≤m，
解得：m≤10，
设商店共获利w元，
则w＝30m+20（2m﹣10）＝70m﹣200，
即w＝70m﹣200，
∵70＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝10时，w取得最大值，
答：购进甲款篮球的数量为10个时，商店获利最大．
作和差倍分问题
13．（2022•大兴区期末）某生态示范村种植基地计划种植一批葡萄，原计划总产量要达到36万斤．为了满足市场需求，现决定改良葡萄品种．改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了8万斤，种植亩数减少了20亩，则原计划平均每亩产量是多少万斤？
解：设原计划每亩产量x万斤，改良后每亩产量1.5x万斤，
36x−36+81.5x=20，
解得，x=13，
经检验，x=13是原分式方程的解，
∴1.5x＝0.5，
答：原计划平均每亩产量是13万斤．
14．（2022•西城区期末）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的15倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部600兆的公益片，小明比小强所用的时间快140秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒15x兆，
由题意得：600x−60015x=140，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原分式方程的解，且符合题意，
15×4＝60，
答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是每秒60兆．
15．（2022•海淀区期末）列方程解应用题：
“绿色环保，健康出行”新能源汽车越来越占领汽车市场，以“北汽”和“北汽新能源EV500“为例，分别在某加油站和某充电站加油和充电的电费均为300元，而续航里程之比则为1：4，经计算新能源汽车相比燃油车节约0.6元/公里．
（1）分别求出燃油车和新能源汽车的续航单价（每公里费用）；
（2）随着更多新能源车进入千家万户，有条件的小区及用户将享受0.48元/度的优惠专用电费，以新能源EV500为例，充电55度可续航400公里，试计算每公里所需电费，并求出与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比．
解：（1）设燃油车的续航里程为x公里，则新能源汽车的续航里程为4x公里，
由题意得：300x−3004x=0.6，
解得：x＝375，
经检验，x＝375是原方程的解，
则燃油车的续航单价为：300÷375＝0.8（元/公里），
新能源汽车的续航单价为：300\÷（4×375）＝0.2（元/公里），
答：燃油车的续航单价为0.8元/公里，新能源汽车的续航单价为0.2元/公里；
（2）新能源EV500续航400公里所需费用为：0.48×55＝26.4（元），
∴新能源EV500每公里所需电费为：26.4÷400＝0.066（元），
则0.066÷0.8＝8.25%，
答：新能源EV500每公里所需电费为0.066元，与燃油车相同里程下的所需费用（油电）百分比为8.25%．