河北省邢台市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷

这是一份河北省邢台市2022-2023学年高二上学期期末考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了0分， 已知点P，抛物线C等内容，欢迎下载使用。
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知双曲线C：y26−x2b2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为 2，则双曲线C的离心率为( )
A. 3B. 2 33C. 3 34D. 43
2. 已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn=3n+1+λ，则λ=( )
A. 3B. 1C. −1D. −3
3. 平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，若AC1=xAB+2yBC−3zCC1，则x+y+z=( )
A. 1B. 76C. 56D. 23
4. 某地全域旅游地图如图所示，它的外轮廓线是椭圆，根据图中的数据可得该椭圆的焦距为( )
A. 2 22
B. 8 22
C. 4 22
D. 6 22
5. 在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AD=AA1=3，AB=2，则BD1⋅AD=( )
A. 3B. 13C. 4D. 9
6. 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)、(2)、(3)、(4)为四个简单的图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形个数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律(小正方形的摆放规律相同)摆放，设第n个图形包含f(n)个小正方形，则f(10)=( )
A. 192B. 181C. 175D. 203
7. 已知点P(0,3)，抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，射线FP与抛物线C相交于点M，与其准线交于点N，若|FM||MN|= 55，则p=( )
A. 1B. 2C. 32D. 3
8. 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式.所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，它的前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，数列1，3，6，10被称为二阶等差数列.已知数列{an}，a1=1，a2=4，且an−1+an=2(an+1)(n≥2)，则下列结论中不正确的是( )
A. 数列{an}为二阶等差数列
B. an=n2
C. 数列{an+1−ananan+1}为二阶等差数列
D. 数列{an+1−ananan+1}的前n项和为1−1(n+1)2
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知⊙O的圆心在直线y=x+2上，且⊙O过点A(1,0)，B(2,1)，直线l：ax−y−3a+1=0，则下列结论中正确的是( )
A. ⊙O的方程为x2+(y−2)2=5
B. 圆心O到直线l的距离的最大值为 5
C. 若直线l与⊙O相切，则a=−2或a=12
D. 若直线l被⊙O所截得的弦长为4，则a=−34
10. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，∠ABC=π2，AB=PA=12CD=2，BC=2 2，M为PD的中点，则( )
A. 直线CM与AD所成角的余弦值为16B. |BM|=2 3
C. BM⊥PCD. 点M到直线BC的距离为 10
11. 已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F，过F作x轴的垂线交椭圆C于点P(P在第一象限)，直线OP(O是坐标原点)与椭圆C另交于点A，直线AF与椭圆C另交于点B，若PA⊥PB，直线PA，PB，AB的斜率分别记为kPA，kPB，kAB，椭圆C的离心率为e，则( )
A. kPA=2kABB. kPB⋅kAB=−12C. e=12D. e= 22
12. 若正整数m，n只有1为公约数，则称m，n互质.对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数.函数φ(n)以其首名研究者欧拉命名，被称为欧拉函数，例如φ(3)=2，φ(7)=6，φ(9)=6，则( )
A. φ(5)，φ(9)，φ(15)成等差数列
B. 数列{φ(3n)}(n∈N*)是等比数列
C. 数列{φ(2n)ϕ(3n)}的前n项和为Sn，则存在n∈N*，使Sn=2成立
D. 数列{nϕ(2n)}的前n项和为Tn，则对任意n∈N*，Tnb>0)于点P(P在第一象限)，
直线OP(O是坐标原点)与椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)另交于点A，
可得P(c,b2a)，A(−c,−b2a)，设B(x0,y0)
因为PA⊥PB，所以kPA⋅kPB=−1.因为kPA=b2ac，所以kPB=−acb2．
因为A，F，B共线，所以kAB=kAF=b22ac，
所以kPA=2kAB，kPB⋅kAB=−12，故A，B正确．
因为kPB⋅kAB=y0−b2ax0−c⋅y0+b2ax0+c=y02−b4a2x02−c2，且x02a2+y02b2=1，
所以kPB⋅kAB=b2−b2a2x02−b4a2x02−c2=b2a2(c2−x02)x02−c2=−b2a2=−12，
所以e= 1−b2a2= 22，故C错误，D正确．
故选：ABD．
根据已知条件写出点F(c,0)，P(c,b2a)，A(−c,−b2a)，设出点B(x0,y0)，再由PA⊥PB，找到斜率间关系，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了椭圆的性质，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】解：因为φ(5)=4，φ(9)=6，φ(15)=8，则2×6=8+4，
所以φ(5)=4，φ(9)=6，φ(15)=8成等差数列，所以A正确；
因为2为质数，在不超过2n的正整数中，
所有偶数的个数为2n−1，
所以φ(2n)=2n−2n−1=2n−1，
因为3为质数，在不超过3n的正整数中，
所有能被3整除的正整数的个数为3n−1，
所以φ(3n)=3n−3n−1=2×3n−1(n∈N*)，
则{φ(3n)}(n∈N*)是公比为3的等比数列，故B正确，
因为φ(2n)ϕ(3n)=2n−12×3n−1=12×(23)n−1，
所以{φ(2n)ϕ(3n)}是以公比为23的等比数列，
所以Sn=12[1−(23)n]1−23=32[1−(23)n]=32−(23)n−1∈[12,32)，故C错误．
因为nϕ(2n)=n2n−1，
所以Tn=120+221+322+⋅⋅⋅+n2n−1，
所以12Tn=121+222+⋅⋅⋅+n−12n−1+n2n，
两式相减得：12Tn=1+12+122+⋅⋅⋅+12n−1−n2n=1−12n1−12−n2n=2−n+22n，
所以Tn=4−n+22n−1