吉林省实验中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题

这是一份吉林省实验中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题，共17页。试卷主要包含了 已知，，则， 在等比数列中，，，则等于， 某物体的运动方程为， 给出下列命题，其中正确命题是等内容，欢迎下载使用。

数学
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I卷1至3页，第Ⅱ卷4至5页.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.并在规定位置粘贴考试用条形码.
2.请认真阅读答题卡上的注意事项，在答题卡上与题号相对应的答题区域内答题，写在试卷、草稿纸上或答题卡非题号对应答题区域的答案一律无效.不得在答题卡上做任何标记.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
4.考试结束后，答题卡要交回，试卷由考生自行保存.
第I卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 若,,且,为共线向量,则的值为（ ）
A. 2B. C. 6D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】由,为共线向量,建立等式,解出即可.
【详解】解:由题知,,为共线向量,
因为,,
所以有,
解得,
故.
故选:A
2. 已知数列为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（ ）
A. 3B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过已知条件得出，即可由等差数列通项得出答案.
【详解】数列为等差数列，其前项和为，
，
，
，
，
解得，
故选：D.
3. 若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】A选项，求导后得到，为奇函数，A错误；B选项，求导后，为非奇非偶函数，错误；C选项，求导后，不是偶函数，舍去；D选项，求导后为偶函数，满足题意.
【详解】A选项，定义域为R，且，故为奇函数，关于原点对称，A错误；
B选项，，定义域为R，由于，故不关于轴对称，B错误；
C选项，，定义域为R，由于，故不关于轴对称，C错误；
D选项，，定义域为R，则，故关于轴对称，D正确.
故选：D
4. 圆与轴相切于，与轴正半轴交于两点，，且，则圆的标准方程为
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【详解】设圆心，则有，因此圆C的标准方程为，选A.
5. 已知，，则（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用导数法则及基本初等函数的导数公式，结合函数导数值即可求解.
详解】由，得，
又因为，
所以，解得.
故选：B.
6. 在等比数列中，，，则等于（ ）
A. 1B. C. 1或D. 或3
【答案】A
【解析】
【分析】设公比为，而，由求出，再由求出，即可求出得解.
【详解】设公比为，，
当时，，
当时，同号，故舍去.
故选：A.
7. 如图所示，在三棱柱中，底面，，，点，分别是棱，的中点，则直线和所成的角是（ ）
A. 45°B. 60°C. 90°D. 120°
【答案】B
【解析】
【分析】利用空间向量的坐标运算，求异面直线所成角的余弦值即可求解.
【详解】因为底面，底面,所以，
且，所以以为坐标原点，为轴建系如图，
则,
所以,
设直线和所成的角为，
则,
因为，所以，
故选:B.
8. 设是椭圆上一点，，分别是两圆和上的点，则的最小值、最大值分别为（ ）
A. 8，11B. 8，12C. 6，10D. 6，11
【答案】C
【解析】
【分析】求出两圆圆心和半径，得到圆心和刚好为椭圆的两个焦点，从而利用椭圆定义求出，可得的最大值为，的最小值为，求出答案.
【详解】的圆心为，的圆心为，两圆半径均为，
由于，，所以椭圆的两个焦点分别为和，
由椭圆定义可知：，
所以的最大值为，的最小值为.
故选：C
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 某物体的运动方程为（位移单位：m，时间单位：s），若，则下列说法中错误的是（ ）
A. 18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度
B. 18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度
C. 18m/s是物体从3s到s这段时间内某一时刻的速度
D. 18m/s是物体从3s到s这段时间内的平均速度
【答案】ACD
【解析】
【分析】由瞬时速度定义可得答案.
【详解】因表示秒这一时刻的瞬时速度，则表示在3s这一时刻的瞬时速度，故不选B，选ACD.
故选：ACD
10. 给出下列命题，其中正确命题是（ ）
A. 垂直于同一平面的两直线平行B. 平行于同一平面的两直线平行
C. 平行于同一直线的两直线平行D. 空间中不相交的两直线平行
【答案】AC
【解析】
【分析】根据线线、线面位置关系有关知识确定正确选项.
【详解】A选项，垂直于同一平面的两直线平行，A正确，
B选项，平行于同一平面的两直线可能相交、异面、平行，B错误.
C选项，平行于同一直线的两直线平行，C正确.
D选项，空间中不相交的两直线可能是异面或平行，D错误.
故选:AC
11. 已知抛物线：的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则
B. 以为直径的圆与轴相切
C. 设，则
D. 过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条
【答案】AC
【解析】
【分析】已知抛物线方程，利用抛物线的性质，焦点弦的性质，数形结合判断各选项．
【详解】取中点，在上的投影为，在的投影为，如图所示：
对于选项A，因为，所以，故A正确；
对于选项B， 根据抛物线的性质，，为梯形的中位线，
故，以为直径的圆与准线相切，故B不正确；
对于选项C，因为，所以，故C正确；
对于选项D，显然直线，与抛物线只有一个公共点，
设过的直线方程为，联立可得，
令，解得，所以直线与抛物线也只有一个公共点，
此时有三条直线符合题意，故D错误.
故选：AC.
12. 若数列满足，，，则称数列为斐波那契数列，斐波那契数列被誉为是最美的数列．则下列关于斐波那契数列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由递推公式，利用累加法得到AB选项，计算出前6项，从而判断CD选项.
【详解】当时，由可得，，…，．
又由，，可得，即，
累加可得，
， 故A正确；
又，，，…，，
累加可得
，故B错误；
∵，，，
所以，，，，
所以C正确；
又，
所以D正确；
故选：ACD．
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 曲线在点处的切线方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】求导后代入切点的值得出切线的斜率，即可由点斜式得出切线方程.
【详解】，
，
当时，，
又切点为，
所求的切线方程为，
故答案为：.
14. 平面直角坐标系中直线y＝2x＋1关于点(1,1)对称的直线方程是________．
【答案】y＝2x－3
【解析】
【分析】
首先在直线上任取两个点，，分别求出两点关于的对称点，的坐标，再用两点式即可求出对称的直线方程.
【详解】在直线上任取两个点，，
则点关于点对称的点为，
点关于点对称的点为.
由两点式求出对称直线的方程为，即.
故答案为：
【点睛】本题主要考查直线关于点的对称问题，同时考查了点关于点的对称问题，属于简单题.
15. 若曲线存在与直线平行的切线，则实数的最大值为________.
【答案】3
【解析】
【分析】首先求导，根据题意得到在有解，再设，，根据求解即可.
【详解】，
因为曲线存在与直线平行的切线，
所以在有解.即在有解.
设，，
则，
当且仅当，即时等号成立，即.
所以，即的最大值为.
故答案：3
16. 已知点是双曲线的左右焦点，若双曲线左支上存在点与点关于直线对称，则该双曲线的离心率为___________
【答案】
【解析】
【分析】结合已知条件，利用对称关系表示出点坐标，然后将其代入双曲线方程即可求解.
【详解】过焦点且垂直渐近线的直线方程为，即
联立渐近线方程与，可得，，
故对称中心的点坐标为，
由中点坐标公式可得对称点，
将其代入双曲线的方程可得，
即：，故，,
故.
故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 设直线的方程为.
（1）求直线所过定点的坐标；
（2）若在两坐标轴上的截距相等，求的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）将方程变形为，解方程组，就可得到直线所过的定点坐标.
（2）首先根据直线方程求出过原点时，满足题意的的值；再根据它在两坐标轴上的截距相等(不过原点时)，求出的值，进而分别得出直线的方程.
【小问1详解】
因直线的方程为，
可得，，
解得，即直线所过定点的坐标为.
【小问2详解】
直线过原点时，在轴和轴上的截距为零.
符合题意，∴，方程即为.
当直线不过原点时，由截距存在且均不为，
∴，即.
∴，方程即为.
因此直线的方程为或.
18. 已知数列是等差数列，是等比数列，，，，.
（1）求、的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）由可求得数列的公比，由等比数列通项公式可得，进而得到；由可求得数列的公差，由等差数列通项公式可得；
（2）由（1）可得，采用分组求和法，结合等差、等比数列求和公式可得.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，则，；
又，，设等差数列的公差为，则，
.
【小问2详解】
由（1）得：；
19. 已知圆经过，，圆心在直线上，过点且斜率为的直线与圆有公共点.
（1）求圆的方程；
（2）求直线的斜率的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设圆的方程为把，代入方程，圆心代入，列方程求解.
(2)直线与圆相交满足圆心到直线的距离小于半径.
【小问1详解】
设圆的方程为，则依题意，得
解得，
∴圆的方程为.
【小问2详解】
依题意可知，直线的方程为，圆心到直线的距离为，
，
解得
20. 如图，四棱锥中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，，E为PC中点．
（1）求证：DE⊥平面PCB；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据条件先证BC⊥平面PCD，得到BC⊥DE，再由DEPC，即可证明DE⊥平面PCB.
（2）以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面BDE，平面PDB的法向量，即可求得二面角的余弦值.
【小问1详解】
证明:PD⊥平面ABCD，
∴PD⊥BC，
又∵正方形ABCD中，CDBC，PDCD＝D，
∴BC⊥平面PCD，
又∵DE平面PCD，
∴BC⊥DE，
∵PD＝CD，E是PC的中点，DEPC，PCBC＝C，
且面，面
∴DE⊥平面PCB
【小问2详解】
以点D为坐标原点，分别以直线DA，DC，DP为x轴，y轴，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：
则，
设平面BDE的法向量为，
则，
令，得到，
又，则，且AC⊥平面PDB，
∴平面PDB的一个法向量为，
设二面角的平面角为，
则，
所以二面角的余弦值为．
21. 已知数列的前项和，数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，可得，后可得的通项公式；
（2）由（1）可得，后可由错位相减法求数列的前项和.
【小问1详解】
当时，，
当时，，
又满足上式，∴，
∴.
【小问2详解】
由（1）得，，，∴，
∴，
∴，①
①×2得，②
①②得，
∴.
22. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆交于，两点，且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求面积的最大值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
【详解】（Ⅰ）因为椭圆上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为，
所以，
又椭圆的离心率为，即，所以，
所以，.
所以，椭圆的方程为.
（Ⅱ）不妨设直线的方程.
由消去得，
设，，
则有，. ①
因为以为直径的圆过点，所以.
由，
得.
将代入上式，
得.
将 ① 代入上式，解得或（舍）.
所以（此时直线经过定点，与椭圆有两个交点），
所以
.
设，
则.
所以当时，取得最大值.