江苏省连云港市2022-2023学年高二上学期期末数学试题

这是一份江苏省连云港市2022-2023学年高二上学期期末数学试题，共15页。试卷主要包含了请用2B铅笔和0， 圆与圆的位置关系为， 设是等比数列，则等内容，欢迎下载使用。

注意事项：
1.考试时间120分钟，试卷满分150分.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.
3.请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设为实数，已知过两点，的直线的斜率为，则的值为（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】C
【解析】
分析】根据斜率公式计算可得.
【详解】解：因为过两点，的直线的斜率为，
所以，解得.
故选：C
2. 过点且与直线垂直的直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题知，所求直线的斜率为，进而根据点斜式求解即可.
【详解】解：因为直线的斜率为，
所以，过点且与直线垂直的直线的斜率为，
所以，所求直线方程为.
故选：A
3. 设为实数，若直线与圆相切，则点与圆的位置关系是（ ）
A. 在圆上B. 在圆外C. 在圆内D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，由点到直线的距离公式可得，从而得到点在圆上.
【详解】因为圆的圆心为，半径为，且直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，即，
所以点坐标满足圆的方程，
所以点在圆上，
故选:A
4. 圆与圆的位置关系为（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
【答案】C
【解析】
【分析】利用配方法，求出圆心和半径，根据两圆心之间的距离与两半径的关系判断圆与圆的位置关系．
【详解】由题意可知圆，其圆心，半径，
圆，其圆心，半径，
又，所以圆和圆的位置关系是相交，
故选：C．
5. 设k为实数，若双曲线的一个焦点坐标为，则k的值为（ ）．
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】将双曲线方程化为标准式，由于双曲线的一个焦点为，可得，解出即可
【详解】根据焦点坐标可判断双曲线焦点在纵轴上，则双曲线化为，
双曲线的一个焦点为，
，解得．
故选：B．
6. 若抛物线上一点到拋物线焦点的距离为，则点到原点的距离为（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，由抛物线定义列式求得，即可依次求，即点到原点的距离.
【详解】由题得焦点坐标为，则准线方程为
设，根据抛物线定义有有，∴，
∴点到原点的距离为.
故选：D.
7. 已知等差数列的公差不为0，若成等比数列，则这个等比数列的公比是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意，由等比中项列出方程即可得到与的关系，从而得到结果.
【详解】由题意可得，所以，且
则，所以
所以等比数列的公比为
故选:B
8. 设为实数，若关于的方程有两个解，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】令，由导数法求出，原命题转化为与有两个交点，可得答案.
【详解】令，则时，；时，.
，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴.
∵关于的方程有两个解，即与有两个交点，
∴，故的取值范围为.
故选：C.
二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9. 设是等比数列，则（ ）
A. 是等比数列B. 是等比数列
C. 是等比数列D. 是等比数列
【答案】AC
【解析】
【分析】利用等比数列定义可判断A、C、，令，可判断B，取可判断D.
【详解】因为是等比数列，所以设其公比为，即．
因为，所以是等比数列，所以A选项正确；
因为，所以是等比数列，所以C选项正确；
当时，，所以此时不是等比数列，所以B选项错误；
不妨取等比数列为，则，此时不是等比数列，所以D选项错误.
故选：AC
10. 设为实数，则直线能作为下列函数图象的切线的有（ ）
A B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】分别求得各个函数的导数，若有解，则直线能作为该函数图象的切线，若无解，则不满足题意，即可得答案.
【详解】对于A：，故无论x取何值，不可能等于2，故A错误；
对于B：，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切线；
对于C：，令，解得，所以直线能作为该函数图象的切线；
对于D：，故无论x取何值，不可能等于2，故D错误；
故选：BC
11. 设为实数，若方程表示圆，则（ ）
A.
B. 该圆必过定点
C. 若直线被该圆截得的弦长为2，则或
D. 当时，该圆上的点到直线的距离的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，方程化为圆的标准式，令等式右侧部分大于0，求解即可判断；
对B，点代入方程即可判断；
对C，结合点线距离公式，由几何法根据弦长列方程即可求解；
对D，结合点线距离公式，由几何法可得圆上的点到直线距离的最小值.
【详解】对A，，由方程表示圆，则有，A错；
对B，将代入方程，符合，B对；
对C，圆心为，则圆心到直线的距离为，故直线被该圆截得的弦长为或，C对；
对D，，则圆半径为1，圆心到直线的距离为，故该圆上的点到直线的距离的最小值为，D对.
故选：BCD.
12. 已知椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，则（ ）
A. 若点的横坐标为2，则
B. 的最大值为9
C. 若为直角，则的面积为9
D. 若为钝角，则点的横坐标的取值范围为
【答案】BCD
【解析】
【分析】对A，可直接解出点P坐标，求两点距离；
对B，最大值为
对C，设，则，列勾股定理等式，可求面积；
对D，所求点在以原点为圆心，为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标即可判断.
【详解】椭圆的长半轴为，半焦距为，∴
对A，时，代入椭圆方程得，，，A错；
对B，的最大值为，B对；
对C，为直角，设，则，则有，
则的面积为，C对；
对D，以原点为圆心，为半径作圆，则为圆的直径，则点P在圆内时，为钝角，联立，消y得，故点的横坐标的取值范围为，D对.
故选：BCD
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数，则______.
【答案】0
【解析】
【分析】求出导函数，代入求值即可
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：0
14. 经过两点的椭圆的标准方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】由待定系数法求方程即可.
【详解】设椭圆为，代入两点得，解得.
故椭圆的标准方程为.
故答案为：.
15. 求和：______.
【答案】84
【解析】
【分析】由等比数列及等差数列分组求和即可.
【详解】
故答案为：84
16. 已知点在椭圆上，为椭圆的右焦点，直线与圆相切，且（为原点），则椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】如图，左焦点为，由几何性质得，即可由相似求得，即可由勾股定理，及椭圆定义建立齐次式，从而求得离心率.
【详解】如图所示，左焦点为，设圆的圆心为，切圆C于A，则半径.
∵，∴，
则，∴，
∴，化简得.
∴ 椭圆的离心率为.
故答案为：.
四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
17. 已知等差数列的前项和为.
（1）求数列的通项公式；
（2）求和：.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由求和公式列方程组解得基本量，即可求通项公式；
（2）使用错位相减法求和.
【小问1详解】
设等差数列的公差为，由，得，
解得，所以.
【小问2详解】
设，由（1）可知
则
两式相减，得
所以
18. 已知圆经过两点，且圆心在直线上.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点作圆的切线，求该切线的方程.
【答案】（1）
（2）或.
【解析】
【分析】（1）圆心在线段的垂直平分线上，利用两线交点求得圆心坐标、进而求出半径，写出标准方程；
（2）分别讨论切线斜率存在与否，其中斜率存在时，由点线距离列式可解得斜率.
【小问1详解】
由题意，，圆心在线段的垂直平分线，即上.
由，解得，即，从而，
所以圆的标准方程为.
小问2详解】
i.当切线的斜率不存在时，即，满足题意；
ii.当切线的斜率存在时，设切线的方程为，即，
则，解得，所以切线方程为.
综上所述，该切线方程为或.
19. 已知某种圆柱形饮料罐的容积为定值，设底面半径为.
（1）试把饮料罐的表面积表示为的函数；
（2）求为多少时饮料罐的用料最省？
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由体积公式、面积公式消h即可；
（2）由导数法求最小值.
【小问1详解】
由题意知，，即，
，即.
【小问2详解】
，令，解得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增.
因此，当时，取得最小值，用料最省
20. 设为实数，已知双曲线，直线.
（1）若直线与双曲线有且仅有一个公共点，求的值；
（2）若直线与双曲线相交于两点，且以为直径的圆经过坐标原点，求的值.
【答案】（1）的值为
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线有且仅有一个公共点列出方程即可得到结果；
（2）根据题意，由直线与双曲线相交于两点列出方程，再由即可解得的值.
【小问1详解】
，消去得
当时，，成立；
当时，，得
综上：的值为
【小问2详解】
设由（1）知有两个不同的实根，
则，由韦达定理可得
解得
由题意知，即
，其中
即
,将韦达定理代入得，
解得，成立.
21. 若数列满足：，对任意的正整数，都有.
（1）证明：数列是等比数列；
（2）求数列的通项公式.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，由可得，从而即可证明；
（2）根据题意，由（1）可得，从而求得数列的通项公式.
【小问1详解】
由得，
又由，得，所以数列是以2为首项，公比为3的等比数列
【小问2详解】
由（1）可知，即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以，即
22. 设为实数，已知函数.
（1）当时，求的极值；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；
（2）答案见解析
【解析】
【分析】(1)对求导， 令得，，讨论单调性确定极值点并求极值；
(2) 讨论在上的单调性，求此区间上的极值与端点值，当有两个值都有可能为最大值时，讨论它们的大小确定最大值.
【小问1详解】
当时，，
令得，，
当变化时，的变化如下表：
由上表知，当时，；当时，则.
【小问2详解】
，
当时，
当时，在上单调递增，所以，
当上单调递减，所以，
当时，在上有两个不相等的实根，令，
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增，
而，
当时，，，故，此时，，
当时，，，
所以，此时，，
当时，，，
所以，此时，，
综上：当时，，
当时，.
当时，.
【点睛】用导数研究函数在区间上最值步骤:
(1)对原函数求导，然后令导数等于0，得出此区间上的极值点，
(2)然后通过判断导数的正负来判断单调性，求出极值，
(3)然后再计算端点值，比较极值与端点值的大小，不能确定大小时要分类讨论，它们中的最大就是函数的最大值，最小就是函数的最小值.
1
0
0
递增
极大值9
递减
极小值
递增