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江西省上饶市2022-2023学年高二上学期期末教学质量测试数学试题
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这是一份江西省上饶市2022-2023学年高二上学期期末教学质量测试数学试题，共20页。试卷主要包含了本试卷分第Ⅰ卷两部分， 某一地区的患有癌症的人占0，16B， 下列说法中正确的是等内容，欢迎下载使用。
命题人：俞 振 王渠佳 张 丽 董乐华
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.
4.本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题1：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列与直线平行的直线的方程是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行直线斜率相等，截距不等可得答案.
【详解】直线斜率为，纵截距为，
A选项：直线斜率为，纵截距为，符合；
B选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；
C选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；
D选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；
故选：A.
2. 展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 20D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】直接由二项式定理求解即可.
【详解】由二项式定理直接可得展开式中的系数为
故选：D.
3. 在平面直角坐标系中，圆与圆，则两圆的位置关系是（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
【答案】B
【解析】
【分析】求出两圆的圆心和半径，通过计算两圆心的距离与半径和或差的大小来判断两圆的位置关系.
【详解】圆，圆心，半径，
圆，
即，圆心，半径，
所以两圆心距离，
故两圆的位置关系是外切
故选：B.
4. 为进一步强化学校育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，上饶市某校开设了传统文化、思维拓展、趣味体育、建筑美育、劳动教育五门选修课程，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，则甲同学选修劳动教育的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据古典概型概率计算公式以及排列数、组合数的计算求得正确答案.
【详解】6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，
基本事件有种，
由于选修劳动教育的人数可能是人或人，
所以甲选修劳动教育包括的基本事件有，
所以甲同学选修劳动教育的概率为.
故选：B
5. 已知双曲线的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，求出即可得渐近线方程.
【详解】由已知可得，则，
所以双曲线的渐近线方程为，即.
故选：C.
6. “堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术.商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角线斜解（图1）.得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若某长方体的长为4，宽为2，高为2，记该长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合长方体、锥体体积公式求得正确答案.
【详解】，A选项正确.
，B选项正确.
，C选项正确.
，D选项不正确.
故选：D
7. 某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（ ）
A. 0.16B. 0.32C. 0.42D. 0.84
【答案】A
【解析】
【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案.
【详解】此人是癌症患者的概率为.
故选：A
8. 是抛物线上一点，点，是圆关于直线对称曲线上的一点，则的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的定义、线对称的性质、圆的性质，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】由题意可知曲线是半径为1的圆，设圆心，圆的圆心坐标为，
则有，显然是抛物线的焦点，
该抛物线的准线方程为，过作准线的垂线，垂足为，
当在线段上时，有最小值，最小值为，
所以当在线段上时，如下图所示：有最小值， 最小值为，
故选：C
【点睛】关键点睛：利用抛物线的性质通过转化思想进行求解是解题的关键.
二、选择题2：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 事件为必然事件，则事件、是互为对立事件
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为0.6，乙射中的概率为0.8，则恰有1人射中的概率为0.12
【答案】AC
【解析】
【分析】根据组合数的性质可判断选项；根据互斥事件与对立事件的定义可判断选项；由正态分布的性质可判断选项；由相互独立事件和对立事件的概率计算可判断选项.
【详解】对于，由组合数的性质可得：，故选项正确；
对于，事件为必然事件，若互斥，则事件是对立事件；若不互斥，则事件不是互为对立事件，故选项错误；
对于，设随机变量服从正态分布，若，则正态分布曲线关于直线对称，则，故选项正确；
对于，甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为0.6，乙射中的概率为0.8，恰有1人射中包括甲中乙不中，乙中甲不中，由相互独立事件和对立事件的概率计算可得：恰有1人射中的概率为，故选项错误，
故选：.
10. 在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 该正方体的内切球的表面积为
C.
D. 平面截正方体所得的截面是五边形
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据线线垂直（线面垂直）、线线平行、内切球、正方体的截面等知识求得正确答案.
【详解】A选项，设是的中点，连接，
由于，所以，
所以，即，
根据正方体的性质可知，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，A选项正确.
B选项，正方体内切球的半径为，表面积为，B选项正确.
C选项，根据正方体的性质可知，，
所以与不平行，C选项错误.
D选项，延长，交的延长线于，连接，交于，连接，
延长，交的延长线于，连接，交于，连接，
由此得到的五边形，即时平面截正方体所得图象，所以D选项正确.
故选：ABD
11. 2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的可能取值为0，1，2，3B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意分析服从参数为10，4，3的超几何分布，根据超几何分布的性质运算即可对选项一一验证得出答案.
【详解】由题意可得的可能取值为0，1，2，3，故A正确；
分析可得服从参数为10，4，3的超几何分布，
其分布列为，
则，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：ACD.
12. 若，，点满足，记点的轨迹为曲线，直线，为上的动点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 直线恒过定点
C. 的最小值为0
D. 当最小时，直线的方程为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题知，点的轨迹曲线为，对于A，即可判断；对于B，设，根据条件得到直线，由，得，即可判断；对于C，根据条件得到，为全等的等腰直角三角形，得，即可判断；对于D，求出四边形的面积，得到A和B的坐标,即可判断.
【详解】设，因为，，点满足，
所以，
即，化简得，
所以点的轨迹曲线为，圆心为，半径.
对于A，因为直线，为上的动点，
过点作曲线的两条切线，，切点为，，
设圆心到直线l的距离为d,
所以，故A正确；
对于B，设，则，
所以，
以为圆心，为半径的圆的方程为
，①
因为为，②
由①，②相减,得直线，即，
由，得，所以直线恒过定点，故B正确；
对于C，因为，，
根据几何性质可知，，
在中，，
因为，所以，
所以此时，为全等的等腰直角三角形，
所以，，即有，
所以，所以的最小值为0，故C正确；
对于D，因为四边形的面积为
，
此时四边形为正方形，，
所以直线的方程为，故D错误.
故选：ABC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，向量，若，则实数为______.
【答案】
【解析】
【分析】直接由数量积为零列方程求解.
【详解】,
，解得.
故答案为：.
14. 共6人站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么6人的排列方法种数共有______种（请用数字作答）.
【答案】
【解析】
【分析】利用捆绑法并且内部不排序，直接全排列解答即可.
【详解】必须相邻且在右边,可将捆绑在一起并且不用排序，
则6人的排列方法种数共有种.
故答案为：.
15. 已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据已知条件求得正四棱锥的底面边长和高，结合线面角的知识求得正确答案.
【详解】如图所示正四棱锥，，则平面.
设正四棱锥外接球的半径为，则，
设正四棱锥底面边长，高为，则①，
由整理得②，
由①②解得，
由于平面，所以正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，
.
故答案为：
16. 已知直线与椭圆在第二象限交于两点,且与轴、轴分别交于两点,若,,则的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】设出点坐标,根据直线与椭圆交于第二象限,可得坐标的正负,过点向轴作垂线,垂足为,过点向轴作垂线,垂足为,由可得,将坐标代入可得,用点差法将上式及斜率公式代入即可得,又有,可得,两式联立即可得两点坐标,进而求出直线方程即可.
【详解】解:由题知,
设,,,
所以直线的斜率为,
过点向轴作垂线,垂足为,
过点向轴作垂线,垂足为,如图所示:
因为,轴,轴,
所以,
所以有,
即,解得:,
因为在上,
所以,两式相减可得:
即,
两边同时除以,将代入可得:
,即①,
因为,所以②,
①②联立可得: ,
因为,所以,
即,
根据截距式直线方程可得:
,化简可得:.
故答案为：.
【点睛】思路点睛:该题考查直线与椭圆的综合问题,属于难题,关于解析几何中有关中点和直线斜率的题的一般思路为:
(1)设出点的坐标;
(2)根据中点坐标和斜率公式建立等式;
(3)将点分别代入圆锥曲线中,两式相减;
(4)将中点坐标及斜率代入,化简即可得到等式.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 求下列问题的排列数:
（1）3名男生和3名女生排成一排,男生甲和女生乙不能相邻;
（2）3名男生和3名女生排成一排,男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾.
【答案】（1）480 （2）504
【解析】
【分析】(1)先将另4人进行全排列,再将甲乙插空排列即可;
(2)甲不排排头,先让乙排排头,则甲和另4人无限制,全排有种,当乙不排排头,乙不排排尾,先给乙找位置,再给甲找位置,另4人全排,根据分步和分类的加法乘法原则,计算结果即可.
【小问1详解】
解:由题知共6人,除去男生甲和女生乙外,还有4人,
将4人全排共种,
4人排好后留下5个位置,将这5个位置分给甲乙,有种,
所以男生甲和女生乙不能相邻共种
【小问2详解】
由于男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾,
当乙排排头时,甲没有限制,此时排列数为种,
当乙不排排头,因为乙不能排排尾,
所以乙只能排中间4个位置中,共种,
因为甲不能排排头,除去排头位置和已经排好的乙外,
还有4个位置,选一个位置给甲,有种,
此时还有另4人,没有限制,全排列有种,
故当乙不排派头时有种,
所以男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾共计:
种.
18. 已知圆过点，，.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设出圆的一般方程，代入已知点列方程组求解即可；
（2）设出直线方程，利用垂径定理列方程求解即可.
【小问1详解】
设圆的方程为，
则，解得，
所以圆的方程为，
即；
【小问2详解】
当过点的直线斜率不存在时，此时，弦长为，不符合题意；
当过点的直线斜率存在时，
设直线l的方程为，即，
所以，解得或，
所以直线的方程为或，
即或.
19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的平面角的余弦值.
【小问1详解】
因为PA⊥平面ABCD，且BD平面ABCD，所以，
又因为底面是正方形，所以，
且，平面，平面.
所以BD⊥平面PAC ．
【小问2详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知得：，，，，
所以，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，得，取，
，得，取，
所以，
由图可知二面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为.
20. 已知为原点，线段的端点在圆上运动.
（1）求线段长度的取值范围；
（2）点在线段上，且，求动点的轨迹方程.
【答案】（1）|OA|
（2）
【解析】
【分析】（1）根据点和圆的位置关系求得正确答案.
（2）设出的坐标，然后利用代入法求得的轨迹方程.
【小问1详解】
圆的圆心为，半径，
则，
由于，
所以||；
【小问2详解】
设,,由点在线段上，且，可得，
则有可得，
因为点在圆上，代入得，
整理可得点的轨迹方程为.
21. 伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富，公共服务体系日趋完善．据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上．健身之于个人是一种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一．小王每天17∶00—18∶00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球两种．已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表所示：
（1）已知小王第一天打篮球，则他第三天做哪项运动的可能性较大？
（2）已知小王参加这两种体育运动一小时的能量消耗如下表所示：
问：要让小王前三天参加体育运动能量消耗总数的期望较大，小王第一天该参加哪项体育运动？（请用数据说明）
【答案】（1）打篮球 （2）打篮球
【解析】
【分析】（1）根据小王第一天打篮球，先求出第二天分别参加运动项目的概率，再由此分别计算第三天分别参加运动项目的概率，再通过比较大小，即可求解；
（2）分两种情况讨论，小王第一天打篮球或打羽毛球，确定前三天的运动项目安排方法，写出运动能量消耗总数的所有可能取值，分别求出对应的概率，再结合期望公式，通过比较大小，即可求解．
【小问1详解】
设分别表示打篮球，打羽毛球运动项目，分别表示第天进行运动项目的概率，
小王第一天打篮球，
小王第二天所做运动项目的概率分别为：，
小王第三天所做运动项目的概率分别为：，
，
，故小王第三天打篮球的可能性较大．
【小问2详解】
若小王第一天打篮球，前三天的运动项目安排有：共4种，运动能量消耗总数用表示，所有可能取值为1500，1400，1300，
，
，
，
故(卡)；
若小王第一天打羽毛球，前三天的运动项目安排有：共4种，运动能量消耗总数用表示，所有可能取值为1400，1300，1200，
，
，
，
故(卡)，
，故小王第一天应该参加打篮球体育运动．
22. 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）点，在椭圆上，且.证明：直线过定点，并求出该定点坐标.
【答案】（1）
（2）证明详见解析，定点坐标
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得，从而求得椭圆的方程.
（2）根据直线的斜率进行分类讨论，结合根与系数关系以及求得定点坐标.
【小问1详解】
由题意可得：，解得：
故椭圆方程为：.
【小问2详解】
设点，
若直线斜率存在时，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去并整理得：，
可得，，
因为，所以，即，
根据
有
整理可得：
，
所以，
整理化简得，
则有，
得或，
若，则直线MN的方程为：，恒过，
若，则直线MN的方程为：，过A点，舍去.
所以直线MN过定点P，
当直线MN的斜率不存在时，可得，
由得：，
得，结合，
解得： 或（舍去），此时直线MN方程为,过点P.
综上，直线MN过定点P.
前一天
当天
篮球
羽毛球
篮球
0.4
0.6
羽毛球
0.6
0.4
运动项目
篮球
羽毛球
能量消耗（卡）
500
400
命题人：俞 振 王渠佳 张 丽 董乐华
注意事项：
1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.
3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效.
4.本试卷共22题，总分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题1：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列与直线平行的直线的方程是（ ）.
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行直线斜率相等，截距不等可得答案.
【详解】直线斜率为，纵截距为，
A选项：直线斜率为，纵截距为，符合；
B选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；
C选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；
D选项：直线斜率为，纵截距为，不符合；
故选：A.
2. 展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 20D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】直接由二项式定理求解即可.
【详解】由二项式定理直接可得展开式中的系数为
故选：D.
3. 在平面直角坐标系中，圆与圆，则两圆的位置关系是（ ）
A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切
【答案】B
【解析】
【分析】求出两圆的圆心和半径，通过计算两圆心的距离与半径和或差的大小来判断两圆的位置关系.
【详解】圆，圆心，半径，
圆，
即，圆心，半径，
所以两圆心距离，
故两圆的位置关系是外切
故选：B.
4. 为进一步强化学校育人功能，构建“五育并举”的全面培养的教育体系，上饶市某校开设了传统文化、思维拓展、趣味体育、建筑美育、劳动教育五门选修课程，该校某班级有6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，则甲同学选修劳动教育的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据古典概型概率计算公式以及排列数、组合数的计算求得正确答案.
【详解】6名同学分别选修其中的一门课程，每门课程至少有一位同学选修，
基本事件有种，
由于选修劳动教育的人数可能是人或人，
所以甲选修劳动教育包括的基本事件有，
所以甲同学选修劳动教育的概率为.
故选：B
5. 已知双曲线的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，求出即可得渐近线方程.
【详解】由已知可得，则，
所以双曲线的渐近线方程为，即.
故选：C.
6. “堑堵”“阳马”和“鳖臑”是我国古代对一些特殊几何体的称谓.《九章算术.商功》：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，其一为鳖臑”，即一个长方体沿对角线斜解（图1）.得到一模一样的两个堑堵，再沿一个堑堵的一个顶点和相对的棱斜解（图2），得一个四棱锥称为阳马（图3），一个三棱锥称为鳖臑（图4）.若某长方体的长为4，宽为2，高为2，记该长方体的体积为，由该长方体斜解所得到的堑堵、阳马和鳖臑的体积分别为，，，则下列选项不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】结合长方体、锥体体积公式求得正确答案.
【详解】，A选项正确.
，B选项正确.
，C选项正确.
，D选项不正确.
故选：D
7. 某一地区的患有癌症的人占0.004，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.02.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率约为（ ）
A. 0.16B. 0.32C. 0.42D. 0.84
【答案】A
【解析】
【分析】根据贝叶斯公式求得正确答案.
【详解】此人是癌症患者的概率为.
故选：A
8. 是抛物线上一点，点，是圆关于直线对称曲线上的一点，则的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】根据抛物线的定义、线对称的性质、圆的性质，结合两点间线段最短进行求解即可.
【详解】由题意可知曲线是半径为1的圆，设圆心，圆的圆心坐标为，
则有，显然是抛物线的焦点，
该抛物线的准线方程为，过作准线的垂线，垂足为，
当在线段上时，有最小值，最小值为，
所以当在线段上时，如下图所示：有最小值， 最小值为，
故选：C
【点睛】关键点睛：利用抛物线的性质通过转化思想进行求解是解题的关键.
二、选择题2：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 事件为必然事件，则事件、是互为对立事件
C. 设随机变量服从正态分布，若，则
D. 甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为0.6，乙射中的概率为0.8，则恰有1人射中的概率为0.12
【答案】AC
【解析】
【分析】根据组合数的性质可判断选项；根据互斥事件与对立事件的定义可判断选项；由正态分布的性质可判断选项；由相互独立事件和对立事件的概率计算可判断选项.
【详解】对于，由组合数的性质可得：，故选项正确；
对于，事件为必然事件，若互斥，则事件是对立事件；若不互斥，则事件不是互为对立事件，故选项错误；
对于，设随机变量服从正态分布，若，则正态分布曲线关于直线对称，则，故选项正确；
对于，甲、乙两名运动员分别对同一目标各射击一次，甲射中的概率为0.6，乙射中的概率为0.8，恰有1人射中包括甲中乙不中，乙中甲不中，由相互独立事件和对立事件的概率计算可得：恰有1人射中的概率为，故选项错误，
故选：.
10. 在棱长为2的正方体中，点，分别是棱，的中点，则下列说法中正确的是（ ）
A.
B. 该正方体的内切球的表面积为
C.
D. 平面截正方体所得的截面是五边形
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据线线垂直（线面垂直）、线线平行、内切球、正方体的截面等知识求得正确答案.
【详解】A选项，设是的中点，连接，
由于，所以，
所以，即，
根据正方体的性质可知，
由于平面，所以平面，
由于平面，所以，A选项正确.
B选项，正方体内切球的半径为，表面积为，B选项正确.
C选项，根据正方体的性质可知，，
所以与不平行，C选项错误.
D选项，延长，交的延长线于，连接，交于，连接，
延长，交的延长线于，连接，交于，连接，
由此得到的五边形，即时平面截正方体所得图象，所以D选项正确.
故选：ABD
11. 2022年冬奥会在北京举办，为了弘扬奥林匹克精神，上饶市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况，在本市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学，10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示：
若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动，记为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校所数，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的可能取值为0，1，2，3B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据题意分析服从参数为10，4，3的超几何分布，根据超几何分布的性质运算即可对选项一一验证得出答案.
【详解】由题意可得的可能取值为0，1，2，3，故A正确；
分析可得服从参数为10，4，3的超几何分布，
其分布列为，
则，故B错误；
，故C正确；
，故D正确；
故选：ACD.
12. 若，，点满足，记点的轨迹为曲线，直线，为上的动点，过点作曲线的两条切线，，切点为，，则下列说法中正确的是（ ）
A. 的最小值为
B. 直线恒过定点
C. 的最小值为0
D. 当最小时，直线的方程为
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题知，点的轨迹曲线为，对于A，即可判断；对于B，设，根据条件得到直线，由，得，即可判断；对于C，根据条件得到，为全等的等腰直角三角形，得，即可判断；对于D，求出四边形的面积，得到A和B的坐标,即可判断.
【详解】设，因为，，点满足，
所以，
即，化简得，
所以点的轨迹曲线为，圆心为，半径.
对于A，因为直线，为上的动点，
过点作曲线的两条切线，，切点为，，
设圆心到直线l的距离为d,
所以，故A正确；
对于B，设，则，
所以，
以为圆心，为半径的圆的方程为
，①
因为为，②
由①，②相减,得直线，即，
由，得，所以直线恒过定点，故B正确；
对于C，因为，，
根据几何性质可知，，
在中，，
因为，所以，
所以此时，为全等的等腰直角三角形，
所以，，即有，
所以，所以的最小值为0，故C正确；
对于D，因为四边形的面积为
，
此时四边形为正方形，，
所以直线的方程为，故D错误.
故选：ABC.
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量，向量，若，则实数为______.
【答案】
【解析】
【分析】直接由数量积为零列方程求解.
【详解】,
，解得.
故答案为：.
14. 共6人站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么6人的排列方法种数共有______种（请用数字作答）.
【答案】
【解析】
【分析】利用捆绑法并且内部不排序，直接全排列解答即可.
【详解】必须相邻且在右边,可将捆绑在一起并且不用排序，
则6人的排列方法种数共有种.
故答案为：.
15. 已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的表面积为，则该正四棱锥的侧棱与底面所成的角的正弦值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】根据已知条件求得正四棱锥的底面边长和高，结合线面角的知识求得正确答案.
【详解】如图所示正四棱锥，，则平面.
设正四棱锥外接球的半径为，则，
设正四棱锥底面边长，高为，则①，
由整理得②，
由①②解得，
由于平面，所以正四棱锥的侧棱与底面所成的角为，
.
故答案为：
16. 已知直线与椭圆在第二象限交于两点,且与轴、轴分别交于两点,若,,则的方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】设出点坐标,根据直线与椭圆交于第二象限,可得坐标的正负,过点向轴作垂线,垂足为,过点向轴作垂线,垂足为,由可得,将坐标代入可得,用点差法将上式及斜率公式代入即可得,又有,可得,两式联立即可得两点坐标,进而求出直线方程即可.
【详解】解:由题知,
设,,,
所以直线的斜率为,
过点向轴作垂线,垂足为,
过点向轴作垂线,垂足为,如图所示:
因为,轴,轴,
所以,
所以有,
即,解得:,
因为在上,
所以,两式相减可得:
即,
两边同时除以,将代入可得:
,即①,
因为,所以②,
①②联立可得: ,
因为,所以,
即,
根据截距式直线方程可得:
,化简可得:.
故答案为：.
【点睛】思路点睛:该题考查直线与椭圆的综合问题,属于难题,关于解析几何中有关中点和直线斜率的题的一般思路为:
(1)设出点的坐标;
(2)根据中点坐标和斜率公式建立等式;
(3)将点分别代入圆锥曲线中,两式相减;
(4)将中点坐标及斜率代入,化简即可得到等式.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 求下列问题的排列数:
（1）3名男生和3名女生排成一排,男生甲和女生乙不能相邻;
（2）3名男生和3名女生排成一排,男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾.
【答案】（1）480 （2）504
【解析】
【分析】(1)先将另4人进行全排列,再将甲乙插空排列即可;
(2)甲不排排头,先让乙排排头,则甲和另4人无限制,全排有种,当乙不排排头,乙不排排尾,先给乙找位置,再给甲找位置,另4人全排,根据分步和分类的加法乘法原则,计算结果即可.
【小问1详解】
解:由题知共6人,除去男生甲和女生乙外,还有4人,
将4人全排共种,
4人排好后留下5个位置,将这5个位置分给甲乙,有种,
所以男生甲和女生乙不能相邻共种
【小问2详解】
由于男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾,
当乙排排头时,甲没有限制,此时排列数为种,
当乙不排排头,因为乙不能排排尾,
所以乙只能排中间4个位置中,共种,
因为甲不能排排头,除去排头位置和已经排好的乙外,
还有4个位置,选一个位置给甲,有种,
此时还有另4人,没有限制,全排列有种,
故当乙不排派头时有种,
所以男生甲不能排排头,女生乙不能排排尾共计:
种.
18. 已知圆过点，，.
（1）求圆的方程；
（2）过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）设出圆的一般方程，代入已知点列方程组求解即可；
（2）设出直线方程，利用垂径定理列方程求解即可.
【小问1详解】
设圆的方程为，
则，解得，
所以圆的方程为，
即；
【小问2详解】
当过点的直线斜率不存在时，此时，弦长为，不符合题意；
当过点的直线斜率存在时，
设直线l的方程为，即，
所以，解得或，
所以直线的方程为或，
即或.
19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面.
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的平面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明来证得平面.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的平面角的余弦值.
【小问1详解】
因为PA⊥平面ABCD，且BD平面ABCD，所以，
又因为底面是正方形，所以，
且，平面，平面.
所以BD⊥平面PAC ．
【小问2详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知得：，，，，
所以，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，得，取，
，得，取，
所以，
由图可知二面角为钝角，所以二面角的平面角的余弦值为.
20. 已知为原点，线段的端点在圆上运动.
（1）求线段长度的取值范围；
（2）点在线段上，且，求动点的轨迹方程.
【答案】（1）|OA|
（2）
【解析】
【分析】（1）根据点和圆的位置关系求得正确答案.
（2）设出的坐标，然后利用代入法求得的轨迹方程.
【小问1详解】
圆的圆心为，半径，
则，
由于，
所以||；
【小问2详解】
设,,由点在线段上，且，可得，
则有可得，
因为点在圆上，代入得，
整理可得点的轨迹方程为.
21. 伴随经济的飞速发展，中国全民健身赛事活动日益丰富，公共服务体系日趋完善．据相关统计数据显示，中国经常参与体育锻炼的人数比例为37.2%，城乡居民达到《国民体质测定标准》合格以上的人数比例达到90%以上．健身之于个人是一种自然而然的习惯，之于国家与民族，则是全民健康的基础柱石之一．小王每天17∶00—18∶00都会参加一项自己喜欢的体育运动，运动项目有篮球、羽毛球两种．已知小王当天参加的运动项目只与前一天参加的运动项目有关，在前一天参加某类运动项目的情况下，当天参加各类运动项目的概率如下表所示：
（1）已知小王第一天打篮球，则他第三天做哪项运动的可能性较大？
（2）已知小王参加这两种体育运动一小时的能量消耗如下表所示：
问：要让小王前三天参加体育运动能量消耗总数的期望较大，小王第一天该参加哪项体育运动？（请用数据说明）
【答案】（1）打篮球 （2）打篮球
【解析】
【分析】（1）根据小王第一天打篮球，先求出第二天分别参加运动项目的概率，再由此分别计算第三天分别参加运动项目的概率，再通过比较大小，即可求解；
（2）分两种情况讨论，小王第一天打篮球或打羽毛球，确定前三天的运动项目安排方法，写出运动能量消耗总数的所有可能取值，分别求出对应的概率，再结合期望公式，通过比较大小，即可求解．
【小问1详解】
设分别表示打篮球，打羽毛球运动项目，分别表示第天进行运动项目的概率，
小王第一天打篮球，
小王第二天所做运动项目的概率分别为：，
小王第三天所做运动项目的概率分别为：，
，
，故小王第三天打篮球的可能性较大．
【小问2详解】
若小王第一天打篮球，前三天的运动项目安排有：共4种，运动能量消耗总数用表示，所有可能取值为1500，1400，1300，
，
，
，
故(卡)；
若小王第一天打羽毛球，前三天的运动项目安排有：共4种，运动能量消耗总数用表示，所有可能取值为1400，1300，1200，
，
，
，
故(卡)，
，故小王第一天应该参加打篮球体育运动．
22. 已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）点，在椭圆上，且.证明：直线过定点，并求出该定点坐标.
【答案】（1）
（2）证明详见解析，定点坐标
【解析】
【分析】（1）根据已知条件列方程组，由此求得，从而求得椭圆的方程.
（2）根据直线的斜率进行分类讨论，结合根与系数关系以及求得定点坐标.
【小问1详解】
由题意可得：，解得：
故椭圆方程为：.
【小问2详解】
设点，
若直线斜率存在时，设直线的方程为：，
代入椭圆方程消去并整理得：，
可得，，
因为，所以，即，
根据
有
整理可得：
，
所以，
整理化简得，
则有，
得或，
若，则直线MN的方程为：，恒过，
若，则直线MN的方程为：，过A点，舍去.
所以直线MN过定点P，
当直线MN的斜率不存在时，可得，
由得：，
得，结合，
解得： 或（舍去），此时直线MN方程为,过点P.
综上，直线MN过定点P.
前一天
当天
篮球
羽毛球
篮球
0.4
0.6
羽毛球
0.6
0.4
运动项目
篮球
羽毛球
能量消耗（卡）
500
400
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