江西省宜春市丰城中学2023-2024学年高一创新班上学期期中数学试卷(含答案)

这是一份江西省宜春市丰城中学2023-2024学年高一创新班上学期期中数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知某校高三有1000名学生,为了了解该年级学生的健康情况,从中抽取100人进行调查,抽取100人中有男生60人,女生40人,则样本容量是( )
A.1000B.100C.60D.40
2、已知a,b都是正实数,则“”是“”的( )
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
3、已知正方形OABC的边长为2,它的水平放置的一个平面图形的直观图为（在轴上）,则图形的面积是( )
A.4B.2C.D.1
4、设a,b是两条不同的直线,,是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )
A.若,,,则B.若,,则
C.若,,,则D.若,,,则
5、已知椭圆,其上顶点为A,左､右焦点分别为,且三角形为等边三角形,则椭圆C的离心率为( )
A.B.C.D.
6、从2023年6月开始,浙江省高考数学使用新高考全国数学I卷,与之前浙江高考数学卷相比最大的变化是出现了多选题.多选题规定：在每题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对得5分,有选错的得0分,部分选对且没有选错的得2分.若某题多选题正确答案是BCD,某同学不会做该题的情况下打算随机选1个到3个选项作为答案,每种答案都等可能（例如,选A,AB,ABC是等可能的）,则该题得2分的概率是( )
A.B.C.D.
7、设点,,若点在线段AB上（含端点）,则的取值范围是( )
A.B.
C.D.以上都不对
8、已知,点P为直线上的一点,点Q为圆上的一点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、下列结论正确的是( )
A.平面内与两个定点,的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.
B.椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.
C.方程（,,）表示的曲线是椭圆.
D.与的焦距相同.
10、已知向量,且则下列选项正确的是( )
A.
B.
C.向量与向量的夹角是45°
D.向量在向量上的投影向量坐标是
11、方程有实数解,则实数m的可能取值是( )
A.B.C.D.
12、四棱锥的底面为正方形,PA与底面垂直,,动点M在线段PC上,则( )
A.存在点M,使得
B.的最小值为6
C.M到直线AB距离最小值为
D.三棱锥与体积之和为
三、填空题
13、已知i是虚数单位,则复数的虚部为__________.
14、若圆和圆恰有三条公切线,则实数__________.
15、已知,直线,点P为直线l上的动点,过点P作的切线PA,切点为A,则切线段长的最小值为______________.
16、已知在三棱锥中,平面ABC,且,,则三棱锥的外接球的体积为_________.
四、解答题
17、将函数的图象向左平移个单位长度,然后将所得图象上各点的纵坐标不变,横坐标缩小为原来的,再向上平移个单位长度,得到的图象.
(1)求的单调递减区间;
(2)若在上的最大值为,求m的取值范围.
18、如图,在四棱锥中,底面ABCD为平行四边形,F为AB上的点,且,E为PD中点.
(1)证明：平面AEC.
(2)在PC上是否存在一点G,使得平面AEC？若存在,指出点G位置,并证明你的结论；若不存在,说明理由.
19、在中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边长,且.
(1)求的值；
(2)若,,求的面积.
20、设,分别是椭圆的左、右焦点,B为椭圆上的点且坐标为.
(1)若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值;
(2)若C为椭圆上异于B的一点,且,求的值.
21、如图,已知正方形ABCD所在平面与等腰直角三角形EAB所在平面相互垂直.以AE为直径,在平面EAB内作半圆（半圆位于EA的左侧）.点F为弧AE上的一点.
(1)证明：平面ADF;
(2)若点F为弧AE的中点,求二面角的余弦值.
22、如图,过点的直线与圆相交于两点A,B,过点且与AB垂直的直线与圆O的另一交点为D.
(1)记点A关于x轴的对称点为F（异于点A,B）,求证：直线BF恒过定点；
(2)求四边形ACBD面积S的取值范围.
参考答案
1、答案：B
解析：因为从中抽取100人进行调查,则样本容量是100.
故选：B.
2、答案：A
解析：由可得；当时,可得.
则“”是“”的充要条件.
故选：A.
3、答案：C
解析：根据斜二测画法的知识可知,
,,
所以图形的面积是.
故选：C.
4、答案：D
解析：在长方体,令平面ABCD是平面,
对于A,若平面为平面,直线BC为直线a,
直线为直线b,显然,,,
此时直线a,b是异面直线,a,b不平行,故A错误；
对于B,若平面为平面,则,直线DC为直线a,
直线AB为直线b,
显然,但,此时直线b不与平面平行,故B错误；
对于C,若平面为平面,直线AB为直线a,直线DC为直线b,
显然,,,此时直线a,b平行,a,b不垂直,故C错误；
对于D,过直线b作平面与平面相交,设交线为,
因为,
所以,,由,
所以,又因为,,所以,
所以,故D正确.
故选：D.
5、答案：A
解析：如图所示,椭圆C,其上顶点为A,左､右焦点分别为,,为等边三角形,
则椭圆C的离心率为.
故选：A.
6、答案：B
解析：随机地填涂了1个或2个或3个选项,有A,B,C,D,AB,AC,AD,BC,BD,CD,ABC,ABD,ACD,BCD共有14种涂法,
得2分的涂法为BC,BD,CD,B,C,D,共6种,
故能得2分的概率为.
故选：B.
7、答案：A
解析：如图,令,则的取值范围等价于直线PQ的斜率k的取值范围,

点,,点是线段AB（含端点）上任一点,
,,
或,
的取值范围是.
故选：A.
8、答案：D
解析：设,令,
则
,则M.
如图,当P,Q,M三点共线时,且PM垂直于直线时,有最小值,为,即直线到点M距离,为.
故选：D.
9、答案：CD
解析：对A,要使“平面内与两个定点的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆”,
还需要这个常数大于两个定点的距离,所以A错误.
对B,离心率e越小,这时b就越接近于a,椭圆就越圆,故B错误；
对C,方程（,,）可化为,
且由,,有或,即是焦点在x轴或焦点在y轴的椭圆的标准方程,
故方程（,,）表示的曲线是椭圆,选项C正确；
对D,由题意得两个椭圆的焦距均为,故D正确；
故选：CD.
10、答案：AC
解析：因为,所以,
则,解得：,所以,故A正确；
,所以,故B错误；
,
又因为,故向量与向量的夹角是45°,故C正确；
向量在向量上的投影向量坐标是：,故D错误.
故选：AC.
11、答案：ABC
解析：设,,
故有实数根即为两个函数的图象有交点,
在同一直角坐标系中,画出,的图象,如图：
则m为直线的纵截距,
当直线与半圆相切时,可得,
当直线经过半圆的右端点时,可得,
所以,
故选：ABC.
12、答案：ACD
解析：对于A中,如图（1）所述,当M在PC中点时,
连接BD,且,则点O为AC的中点,所以,
因为平面ABCD,所以平面ABCD,
又因为平面ABCD,所以,
因为ABCD为正方形,所以,
又因为,且BD,平面BDM,所以平面BDM,
因为平面BDM,所以,所以A正确；
对于B中,如图（2）所示,将和所在的平面,沿着PC展在一个平面上,
则的最小值为AB,
可得,
在中,由余弦定理得,,
解得,所以的最小值为,所以B错误；
对于C中,M到直线AB距离最小值即为异面直线PC与AB的距离,
因为,且平面PCD,平面PCD,所以平面PCD,
设异面直线PC与AB的公垂线段为MN,则,
所以,因为,且CD,平面PCD,
所以平面PCD,所以MN即为点M到平面PCD的距离,
因为平面PCD,所以点M到平面PCD的距离等于点A到平面PCD的距离,
过点A作,由平面PAD,平面PAD,所以,
因为,且PD,平面PAD,所以平面PAD,
所以点A到平面PCD的距离,即为AF的长,如图（3）所述,
在直角中,,可得,所以,
即点M到平面PCD的距离等于,所以C正确；
对于D中,以A为原点,以AB,AD,AP所在直线分别为x轴､y轴､z轴,
建立空间直角坐标系,如图（4）所示,设,可得,
则
,所以D正确.
故选：ACD.
13、答案：-2
解析：,
则复数的虚部为-2.
故答案为：-2.
14、答案：
解析：根据圆与圆的位置关系可知,
两圆恰有三条公切线时当且仅当两圆外切,所以圆心距等于两圆半径之和,
易知圆的圆心为,半径,
圆的圆心为,半径；
即可得,得.
故答案为：.
15、答案：1
解析：的圆心坐标为,半径为2,如图,
,且,
故要使最小,则最小,此时,
因为圆心M到直线的距离为,
的最小值为
故答案为：1.
16、答案：
解析：作出如下图形,其中O为外接球球心,为底面中心,
则为底面外接圆的半径,取E为AD中点,连接OE,
在中,由,得的外接圆的半径,
又平面ABC,平面,所以,
,所以平面ABC,因为平面,,所以,
因为,所以,所以四边形为矩形,
所以,设外接球半径为R,
所以由,得,所以,
故三棱锥的外接球的体积为.
故答案为：.
17、答案：(1),.
(2)
解析：（1）函数的图象向左平移个单位长度,得,
再将所得图象上各点的纵坐标不变,横坐标缩小为原来的,得,
再向上平移个单位长度,得到的图象,
令,,
解得,.
故的单调递减区间为,.
（2）由（1）知,,
因为,所以.
因为在上的最大值为,所以在上的最大值为.
所以,即
故m的取值范围为.
18、答案：(1)证明见解析
(2)PC上存在点G,且
解析：（1）连BD交AC于O,因为E为PD中点,
所以EO是中位线,所以.
又平面AEC,平面AEC.
所以平面AEC.
（2）PC上存在点G,且,使得平面AEC,
证明：PA上取点H,且,
因为F为AB上的点,且,
所以在中,,所以,
因为平面AEC,平面AEC,所以平面AEC,
又在中,,所以,
因为平面AEC,平面AEC,所以平面AEC,
因为,HG,平面HFG,所以平面平面AEC,
因为平面HGF,所以平面AEC.
19、答案：(1)
(2)
解析：（1）由正弦定理,得,
即,
所以,
从而,
因为,所以.
（2）因为,
由（1）知,,解得,所以,
所以,,,
所以的面积为.
20、答案：(1)4
(2)-7
解析：（1）因为椭圆的方程为,所以,, ,
又因为,
所以,
当且仅当时取等号,所以的最大值为4.
（2）设,因为,,
所以,.
因为,即,得,.
又,所以有,解得或.
因为C异于B点,故舍去,所以.
21、答案：(1)见解析
(2)
解析：（1）证明：由于平面平面EAB,且两平面交线为AB,平面ABCD,,
所以平面EAB,
又平面EAB,
所以,
又F在以AE为直径的半圆上,
因此可以得到.
又因为,AD,平面ADF,
所以平面ADF.
（2）过F在平面ABEF内作交BA的延长线于点H,
则平面ABCD,
过H作交BD于点G,连接FG.
由于平面ABCD,平面ABCD,
所以,
又,,GH,平面FGH,
所以平面FHG,又平面FHG,即,
又,
所以就是所求二面角的平面角.
点F为弧AE的中点,设正方形ABCD的边长为,
则,,
则,
,,
在中,,所以,
即二面角的余弦值为.
22、答案：(1)证明见解析
(2)
Jiexi :（1）设,,则,
由对称性可知直线BF恒过的定点必在x轴上,记为
由题意,点A关于x轴的对称点F异于点A,B,则直线AB斜率存在且不为0,
设AB方程为,
联立,消x得,
,
由在圆内,则直线AB与圆O必相交,
,,
B,E,T三点共线,且,
,其中,
解得,,
.
直线BF过定点.
（2）依题意,直线AB的斜率不为0.
①当AB的斜率不存在时,
,此时CD为直径,
四边形ACBD的面积.
②当AB的斜率存在时,
设AB方程：,即.
则CD方程：,即.
点O到直线AB的距离,点O到直线CD的距离.
,,
四边形ACBD面积
令,,则.
,又,
, 故.
综上所述,四边形ACBD面积S的取值范围为.