(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习11《函数模型及其应用》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
某商场销售A型商品.已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )
A.4 B.5.5 C.8.5 D.10
【答案解析】答案为：C.
解析：设定价为x元/件时，日均销售利润为y元，
则y＝(x﹣3)·[400﹣(x﹣4)·40]＝﹣40(x-eq \f(17,2))2＋1 210，
故当x＝eq \f(17,2)＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C.
在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位ml/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位ml/L，记作[OH﹣])的乘积等于常数10﹣14.已知pH值的定义为pH＝﹣lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的eq \f([H＋],[OH－])可以为(参考数据：lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,6) D.eq \f(1,10)
【答案解析】答案为：C.
解析：∵[H＋]·[OH﹣]＝10﹣14，∴eq \f([H＋],[OH－])＝[H＋]2×1014，∵7.35＜﹣lg[H＋]＜7.45，
∴10﹣7.45＜[H＋]＜10﹣7.35，∴10﹣0.9＜eq \f([H＋],[OH－])＝1014·[H＋]2＜10﹣0.7,10﹣0.9＝eq \f(1,100.9)＞eq \f(1,10)，
lg(100.7)＝0.7＞ lg 3＞lg 2，∴100.7＞3＞2,10﹣0.7＜eq \f(1,3)＜eq \f(1,2)，∴eq \f(1,10)＜eq \f([H＋],[OH－])＜eq \f(1,3).故选C.
在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是( )
A.y＝2x﹣2 B.y＝eq \f(1,2)(x2﹣1) C.y＝lg2x D.y＝lg0.5x
【答案解析】答案为：B.
解析：由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.
某品牌电视新品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销售量y(单位：台)与投放市场的月数x之间关系的是( )
A.y＝100x B.y＝50x2﹣50x＋100
C.y＝50×2x D.y＝100lg2x＋100
【答案解析】答案为：C.
解析：根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可，故选C.
某位股民买入某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A.略有盈利 B.无法判断盈亏情况
C.没有盈利也没有亏损 D.略有亏损
【答案解析】答案为：D.
解析：设买入股票时的价格为m(m＞0)元，先经历了3次涨停(每次上涨10%)又经历了3次跌停(每次下降10%)后的价格为m×(1＋10%)3×(1﹣10%)3＝0.993m＜m，所以该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为略有亏损，故选D.
当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案解析】答案为：C.
解析：设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为(eq \f(1,2))n，由(eq \f(1,2))n＜eq \f(1,1 000)，得n≥10，所以若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”.故选C.
加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
分钟 分钟 分钟 分钟
【答案解析】答案为：B.
解析：由实验数据和函数模型知，二次函数p＝at2＋bt＋c的图象过点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)，分别代入解析式，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0.7＝9a＋3b＋c，,0.8＝16a＋4b＋c，,0.5＝25a＋5b＋c，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－0.2，,b＝1.5，,c＝－2.))
所以p＝﹣0.2t2＋1.5t﹣2＝﹣0.2(t﹣3.75)2＋0.812 5，
所以当t＝3.75时，可食用率p最大，即最佳加工时间为3.75分钟.故选B.
20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特()制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A﹣lg A0，其中A是被测地震的最大震幅，A0是“标准地震”的振幅，若“标准地震”的振幅为0.001，测震仪测得某地地震的震级为4级，则该地震的最大振幅为( )
A.6 B.8 C.10 D.12
【答案解析】答案为：C.
解析：由题意知，lg A﹣lg 0.001＝4，所以lg A＝1，即A＝10.故选C.
某种产品的有效期y(单位：天)与储藏的温度x(单位：℃)满足关系式y＝ekx＋b(e＝2.718 28…，k，b为常数)，若该产品在0 ℃下的有效期为192天，在33 ℃下的有效期是24天，则该产品在22 ℃的有效期为( )
A.45天 B.46天 C.47天 D.48天
【答案解析】答案为：D
解析：y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).当x＝0时，eb＝192，当x＝33时，e33k＋b＝24，∴e33k＝eq \f(24,192)＝eq \f(1,8)，e11k＝eq \f(1,2)，eb＝192，当x＝22时，e22k＋b＝(e11k)2·eb＝(eq \f(1,2))2×192＝48.
天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，它的光就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森()又提出了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lgE2-lgE1).其中星等为mi的星的亮度为Ei(i=1,2).已知“心宿二”的星等是1.00.“天津四” 的星等是1.25.“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)( )

【答案解析】答案为：C
解析：根据题意可得，1－1.25＝2.5(lgE2-lgE1)，可得lgeq \f(E1,E2)＝eq \f(1,10)，解得r＝eq \f(E1,E2)＝ SKIPIF 1 < 0 ，根据参考公式可得r≈1＋2.3×eq \f(1,10)＋2.7×eq \f(1,100)＝1.257，故与r最接近的是1.26.
某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(mg/L)与时间t(h)间的关系为P＝P0e－kt，如果在前5个小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%需要花多少时间(精确到1 h，参考数据：ln 2≈0.69，ln 10≈2.30)( )
A.13 h B.15 h C.18 h D.20 h
【答案解析】答案为：B
解析：∵前5个小时消除了20%的污染物，∴(1－20%)P0＝P0e－5k，即k＝－eq \f(ln 0.8,5)，当污染物减少50%时，P＝(1－50%)P0＝0.5P0，∴0.5P0＝ SKIPIF 1 < 0 ，∴t＝eq \f(5ln 0.5,ln 0.8)＝－eq \f(5ln 2,3ln 2－ln 10)≈－eq \f(5×0.69,3×0.69－2.30)＝15(h).
某种热饮需用开水冲泡，其基本操作流程如下：①先将水加热到100 ℃，水温y(℃)与时间t(min)近似满足一次函数关系；②用开水将热饮冲泡后在室温下放置，温度y(℃)与时间t(min)近似满足的函数关系式为y＝80 SKIPIF 1 < 0 ＋b(a，b为常数)，通常这种热饮在40 ℃时，口感最佳.某天室温为20 ℃时，冲泡热饮的部分数据如图所示，那么按上述流程冲泡一杯热饮，并在口感最佳时饮用，最少需要的时间为( )
A.35 min B.30 min C.25 min D.20 min
【答案解析】答案为：C
解析：由题意，当0≤t≤5时，函数图象是一条线段，当t≥5时，函数的解析式为y＝80 SKIPIF 1 < 0 ＋b，将(5,100)和(15,60)分别代入解析式y＝80 SKIPIF 1 < 0 ＋b，有解得a＝5，b＝20，
故t≥5时函数的解析式为y＝80 SKIPIF 1 < 0 ＋20.令y＝40，解得t＝25.
∴最少需要的时间为25 min.
二、填空题
某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元.
【答案解析】答案为：4.
解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，
14.4(1﹣0.9x)＋2.4x＝14.4.化简得x﹣6×0.9x＝0.令f(x)＝x﹣6×0.9x，
易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝﹣1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，
所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点.
故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元.
某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金的投入.若该公司2020年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________年.(参考数据：lg 1.12＝0.05，lg 1.3＝0.11，lg 2＝0.30)
【答案解析】答案为：2024.
解析：设公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是n，
则130×(1＋12%)n﹣2 016＞200，化为(n﹣2 016)lg 1.12＞lg 2﹣lg 1.3，
所以n﹣2 020＞eq \f(lg 2－lg 1.3,lg 1.12)＝eq \f(0.30－0.11,0.05)＝3.8，即n＞2 023.8，
所以n＝2 024，即开始超过200万元的年份为2024年.
已知某品牌商品靠广告宣传得到的收入R与广告费A之间满足关系R＝aeq \r(A)(a为常数且a＞0)，广告效应D＝aeq \r(A)﹣A.那么对于此商品，精明的商人为了取得最大的广告效应，投入的广告费应为________.(用常数a表示)
【答案解析】答案为：eq \f(a2,4).
解析：由题意得D＝aeq \r(A)﹣A＝﹣(eq \r(A)﹣eq \f(a,2))2＋eq \f(a2,4)，且A≥0，
∴当eq \r(A)＝eq \f(a,2)，即A＝eq \f(a2,4)时，D最大，最大为eq \f(a2,4).
某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P(毫克/升)与时间t(小时)的关系为P＝P0e﹣kt，P0为过滤前的污染物数量.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为________小时.
【答案解析】答案为：10
解析：由题设可得(1﹣0.1)P0＝P0e﹣5k，即0.9＝e﹣5k，故﹣5k＝ln 0.9；
又(1﹣0.19)P0＝P0e﹣kt，即0.81＝e﹣kt，
故﹣kt＝ln 0.81＝2ln 0.9＝﹣10k，故t＝10，应填10.
三、解答题
某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的 全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元.
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；
(3)当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6 000元？( 工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)
【答案解析】解：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x0个，
则x0＝100＋eq \f(60－51,0.02)＝550(个)，
因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元.
(2)当0≤x≤100时，p＝60；
当100＜x＜550时，
p＝60－0.02(x－100)＝62－eq \f(x,50)；
当x≥550时，p＝51.
所以p＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(600≤x≤100，,62－\f(x,50)100＜x＜550，x∈N*，,51x≥550.))
(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，
则L＝(p－40)x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(20x0≤x≤100，,22x－\f(x2,50)100＜x＜550，x∈N*，,11xx≥550，))
当0≤x≤100时，L≤2 000；当x≥550时，L≥6 050；
当100＜x＜550时，L＝22x－eq \f(x2,50).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(22x－\f(x2,50)＝6 000，,100＜x＜550，))解得x＝500.
某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线.
(1)写出第一次服药后y与t之间的函数关系式y=f(t)；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间.
【答案解析】解：(1)由题图，设y=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(kt，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(t－a)，t＞1，))
当t=1时，由y=4得k=4，
由(eq \f(1,2))1-a=4得a=3.所以y=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4t，0≤t≤1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)，t＞1.))
(2)由y≥0.25得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0≤t≤1，,4t≥0.25))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＞1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(t－3)≥0.25，))
解得eq \f(1,16)≤t≤5.
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－eq \f(1,16)=eq \f(79,16)(小时).
某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y=eq \f(x2,5)－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
【答案解析】解：(1)每吨平均成本为eq \f(y,x)(万元).
则eq \f(y,x)=eq \f(x,5)＋eq \f(8 000,x)－48≥2eq \r(\f(x,5)·\f(8 000,x))－48=32，当
且仅当eq \f(x,5)=eq \f(8 000,x)，即x=200时取等号.
所以年产量为200吨时，每吨产品的平均成本最低，为32万元.
(2)设年获得总利润为R(x)万元，
则R(x)=40x－y=40x－eq \f(x2,5)＋48x－8 000
=－eq \f(x2,5)＋88x－8 000
=－eq \f(1,5)(x－220)2＋1 680(0≤x≤210).
因为R(x)在[0,210]上是增函数，
所以x=210时，R(x)有最大值，为－eq \f(1,5)(210－220)2＋1 680=1 660.
所以年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.
某景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分).
(1)求函数y=f(x)的解析式；
(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？
【答案解析】解：(1)当x≤6时，y=50x－115，
令50x－115＞0，解得x＞2.3，
∵x为整数，∴3≤x≤6，x∈Z.
当x＞6时，y=[50－3(x－6)]x－115=－3x2＋68x－115.
令－3x2＋68x－115＞0，有3x2－68x＋115＜0，
结合x为整数得6＜x≤20，x∈Z.
∴y=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(50x－1153≤x≤6，x∈Z，,－3x2＋68x－1156＜x≤20，x∈Z.))
(2)对于y=50x－115(3≤x≤6，x∈Z)，
显然当x=6时，ymax=185；
对于y=－3x2＋68x－115=－3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(34,3)))2＋eq \f(811,3)(6＜x≤20，x∈Z)，
当x=11时，ymax=270.
∵270＞185，∴当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多.
如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米.为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上.
(1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域；
(2)求矩形BNPM面积的最大值.
【答案解析】解：(1)如图，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8﹣y，EQ＝x﹣4，
在△EDF中，eq \f(EQ,PQ)＝eq \f(EF,FD)，所以eq \f(x－4,8－y)＝eq \f(4,2)，
所以y＝﹣eq \f(1,2)x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}.
(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝xeq \b\lc\(\rc\ (\a\vs4\al\c1(,,,,))10﹣eq \f(x,2)eq \b\lc\ \rc\)(\a\vs4\al\c1(,,,,))＝﹣eq \f(1,2)(x﹣10)2＋50，
所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10，
所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增，
所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米.
已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1 260,x＋1)，0