(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习31《空间几何体的表面积、体积》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
某几何体三视图如图所示， 则此几何体的表面积为( )
A.4π＋16 B.2(eq \r(2)＋2)π＋16 C.4π＋8 D.2(eq \r(2)＋2)π＋8
【答案解析】答案为：B.
解析：由三视图知，该几何体是一个棱长为2的正方体和一个底面半径为eq \r(2)、高为1的圆柱的组合体，其表面积S表＝5×22＋2π×eq \r(2)×1＋2π×(eq \r(2))2﹣22＝2(eq \r(2)＋2)π＋16.故选B.
一个长方体被一平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.36 B.48 C.64 D.72
【答案解析】答案为：B.
解析：由几何体的三视图可得几何体，如图所示，将几何体分割为两个三棱柱，所以该几何体的体积为eq \f(1,2)×3×4×4＋eq \f(1,2)×3×4×4＝48，故选B.
一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )
A.28 B.24＋2eq \r(5) C.20＋4eq \r(5) D.20＋2eq \r(5)
【答案解析】答案为：B.
解析：如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE­DCMH，则该几何体的表面积S＝(2×2)×5＋(eq \f(1,2)×1×2)×2＋2×1＋2×eq \r(5)＝24＋2eq \r(5).故选B.
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A.(9＋eq \r(5))π B.(9＋2eq \r(5))π C.(10＋eq \r(5))π D.(10＋2eq \r(5))π
【答案解析】答案为：A.
解析：由三视图可知，该几何体为一个圆柱挖去一个同底的圆锥，且圆锥的高是圆柱高的一半.故该几何体的表面积S＝π×12＋4×2π＋π×eq \r(22＋12)＝(9＋eq \r(5))π.
在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为( )
A.8 B.6eq \r(2) C.8eq \r(2) D.8eq \r(3)
【答案解析】答案为：C.
解析：如图，连接AC1，BC1，AC.∵AB⊥平面BB1C1C，
∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，
在Rt△ABC1中，AC1＝eq \f(2,sin 30°)＝4.在Rt△ACC1中，CC1＝eq \r(AC\\al(2,1)－AC2)＝2eq \r(2)，
∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2eq \r(2)＝8eq \r(2).
平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为eq \r(2)，则此球的体积为( )
A.eq \r(6)π B.4eq \r(3)π C.4eq \r(6)π D.6eq \r(3)π
【答案解析】答案为：B.
解析：设球的半径为R，由球的截面性质得R＝ SKIPIF 1 < 0 ＝eq \r(3)，
所以球的体积V＝eq \f(4,3)πR3＝4eq \r(3)π.
正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E是棱DD1的中点，则平面AC1E截该正方体所得的截面面积为( )
A.5 B.2eq \r(5) C.4eq \r(6) D.2eq \r(6)
【答案解析】答案为：D
解析：如图所示，设F为BB1的中点，连接AF，FC1，EF，设G为CC1的中点，连接EG，GB，
由EG∥AB且EG＝AB，得四边形ABGE是平行四边形，则AE∥BG且AE＝BG，又BG∥C1F且BG＝C1F，得AE∥C1F且AE＝C1F，则A，E，C1，F共面，故平面AC1E截该正方体所得的截面为平面AFC1E.又正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，AF＝FC1＝EC1＝EA，AC1＝2eq \r(3)，EF＝2eq \r(2)，EF⊥AC1，故 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,2)×2eq \r(2)×2eq \r(3)＝2eq \r(6).
设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9eq \r(3)，则三棱锥D­ABC体积的最大值为( )
A.12eq \r(3) B.18eq \r(3) C.24eq \r(3) D.54eq \r(3)
【答案解析】答案为：B.
解析：由等边△ABC的面积为9eq \r(3)，可得eq \f(\r(3),4)AB2＝9eq \r(3)，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝eq \f(\r(3),3)AB＝2eq \r(3).设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝eq \r(R2－r2)＝eq \r(16－12)＝2.所以三棱锥D­ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D­ABC体积的最大值为eq \f(1,3)×9eq \r(3)×6＝18eq \r(3).
如图，圆柱的底面半径为r，高为h，记圆柱的表面积为S1，圆柱外接球的表面积为S2，若eq \f(S1,S2)＝eq \f(4,5)，则eq \f(r,h)的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(2,3) C.eq \f(1,3)或1 D.eq \f(2,3)或1
【答案解析】答案为：D
解析：∵圆柱的表面积S1＝2πr2＋2πrh，圆柱的外接球的半径为eq \f(\r(4r2＋h2),2)，∴其外接球的表面积S2＝4π(eq \f(\r(4r2＋h2),2))2＝π(4r2＋h2)，∴eq \f(S1,S2)＝eq \f(4,5)＝eq \f(2πr2＋2πrh,π4r2＋h2)，即2h2－5rh＋3r2＝0，∴(2h－3r)(h－r)＝0，则eq \f(r,h)＝eq \f(2,3)或eq \f(r,h)＝1.
蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D，满足AB＝CD＝9 cm，BD＝AC＝15 cm，AD＝BC＝13 cm，则该“鞠”的表面积为( )
A.eq \f(475,2)π cm2 B.235π cm2 C.eq \f(465,2)π cm2 D.230π cm2
【答案解析】答案为：A
解析：将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，如图所示，
则“鞠”的表面积为四面体A－BCD外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积，设长方体棱长为a，b，c，则有a2＋b2＝92，a2＋c2＝152，b2＋c2＝132，设长方体外接球半径为R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2，解得4R2＝eq \f(475,2)，所以外接球的表面积S＝4πR2＝eq \f(475,2)π(cm2).
已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上.若AB⊥AC，AB＝1，AC＝3，AA1＝eq \r(6)，则球O的体积为( )
A.8π B.eq \f(16π,3) C.16π D.eq \f(32π,3)
【答案解析】答案为：D
解析：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，将直三棱柱ABC－A1B1C1补成长方体ABDC－A1B1D1C1，如图所示，
所以球O的直径为2R＝eq \r(AB2＋AC2＋AA\\al(2,1))＝4，可得R＝2，
因此球O的体积为V＝eq \f(4πR3,3)＝eq \f(32π,3).
已知在三棱锥C－ABD中，△ABD是等边三角形，BC⊥CD，平面ABD⊥平面BCD，若该三棱锥的外接球表面积为4π，则AC等于( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(6),2) C.eq \r(3) D.eq \f(3,2)
【答案解析】答案为：C
解析：根据题意，画出图形，如图，取BD的中点F，连接CF，AF，
设该外接球球心为O，半径为R， 则4πR2＝4π，解得R＝1，可知球心O为正△ABD的中心，连接OD，所以OD＝1，AO＝1，OF＝eq \f(1,2)，所以正△ABD的边长为eq \r(3)，因为BC⊥CD，所以CF＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(\r(3),2)，因为平面ABD⊥平面BCD，所以∠AFC＝eq \f(π,2)，所以AC＝eq \r(CF2＋AF2)＝eq \r(\f(3,4)＋\f(9,4))＝eq \r(3).
二、填空题
若一个正四面体的表面积为S1，其内切球的表面积为S2，则eq \f(S1,S2)＝________.
【答案解析】答案为：eq \f(6\r(3),π).
解析：设正四面体的棱长为a，则正四面体表面积为S1＝4×eq \f(\r(3),4)·a2＝eq \r(3)a2，
其内切球半径为正四面体高的eq \f(1,4)，即r＝eq \f(1,4)×eq \f(\r(6),3)a＝eq \f(\r(6),12)a，
因此内切球表面积为S2＝4πr2＝eq \f(πa2,6)，则eq \f(S1,S2)＝eq \f(\r(3)a2,\f(π,6)a2)＝eq \f(6\r(3),π).
若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为________.
【答案解析】答案为：3π.
解析：过圆锥的旋转轴作轴截面，得截面△ABC及其内切圆⊙O1和外接圆⊙O2，且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形，由题意知⊙O1的半径r＝1，∴△ABC的边长为2eq \r(3)，圆锥的底面半径为eq \r(3)，高为3，∴V＝eq \f(1,3)×π×(eq \r(3))2×3＝3π.
棱长均相等的四面体ABCD的外接球半径为1，则该四面体的棱长为________.
【答案解析】答案为：eq \f(2\r(6),3)
解析：将棱长均相等的四面体ABCD补成正方体，设正方体的棱长为a，则正四面体ABCD的棱长为eq \r(2)a，正方体的体对角线长为eq \r(3)a，由eq \r(3)a＝2⇒a＝eq \f(2\r(3),3)，则eq \r(2)a＝eq \f(2\r(6),3).
已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为eq \f(7,8)，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5eq \r(15)，则该圆锥的侧面积为________.
【答案解析】答案为：40eq \r(2)π
解析：如图，∵SA与底面成45°角，∴△SAO为等腰直角三角形.
设OA＝r，则SO＝r，SA＝SB＝eq \r(2)r.在△SAB中，cs∠ASB＝eq \f(7,8)，
∴sin∠ASB＝eq \f(\r(15),8)，∴S△SAB＝eq \f(1,2)SA·SB·sin∠ASB＝eq \f(1,2)×(eq \r(2)r)2×eq \f(\r(15),8)＝5eq \r(15)，
解得r＝2eq \r(10)，∴SA＝eq \r(2)r＝4eq \r(5)，即母线长l＝4eq \r(5)，
∴S圆锥侧＝πrl＝π×2eq \r(10)×4eq \r(5)＝40eq \r(2)π.
三、解答题
如图，一个圆锥的底面半径为2，高为4，在其中有一个高为x的内接圆柱.
(1)求圆柱的侧面积；
(2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？
【答案解析】解：(1)如图，设内接圆柱底面半径为r.S圆柱侧＝2πr·x.①
∵eq \f(r,2)＝eq \f(4－x,4)，∴r＝eq \f(1,2)(4﹣x).②
②代入①，S圆柱侧＝2πx·eq \f(1,2)(4﹣x)＝π(﹣x2＋4x)(0＜x＜4).
(2)S圆柱侧＝π(﹣x2＋4x)＝π[﹣(x﹣2)2＋4]，
∴x＝2时，S圆柱侧最大＝4π.
一个几何体的三视图如图所示.已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为eq \r(3)、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形.
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的表面积S.
【答案解析】解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，
其底面是边长为1的正方形，高为eq \r(3).
所以V＝1×1×eq \r(3)＝eq \r(3).
(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，
所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形.
S＝2×(1×1＋1×eq \r(3)＋1×2)＝6＋2eq \r(3).
一个正三棱锥的底面边长为6，侧棱长为eq \r(15)，求这个三棱锥的体积.
【答案解析】解：正三棱锥S ­ABC如图所示，
设H为正三角形ABC的中心，连接SH，则SH的长即为该正三棱锥的高.
连接AH并延长交BC于点E，
则E为BC的中点，且AE⊥BC.
∵△ABC是边长为6的正三角形，
∴AE＝eq \f(\r(3),2)×6＝3eq \r(3)，∴AH＝eq \f(2,3)AE＝2eq \r(3).
在△ABC中，S △ABC＝eq \f(1,2)BC·AE＝eq \f(1,2)×6×3eq \r(3)＝9eq \r(3).
在Rt△SHA中，SA＝eq \r(15)，AH＝2eq \r(3)，
∴SH＝eq \r(SA2－AH2)＝eq \r(15－12)＝eq \r(3)，
∴V正三棱锥＝eq \f(1,3)S△ABC·SH＝eq \f(1,3)×9eq \r(3)×eq \r(3)＝9.
如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，EB=eq \r(3).
(1)求证：DE⊥平面ACD；
(2)设AC=x，V(x)表示三棱锥B-ACE的体积，求函数V(x)的解析式及最大值.
【答案解析】解：(1)证明：∵四边形DCBE为平行四边形，
∴CD∥BE，BC∥DE.
∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，
∴DC⊥BC.
∵AB是圆O的直径，
∴BC⊥AC，且DC∩AC=C，DC，AC⊂平面ADC，
∴BC⊥平面ADC.
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ADC.
(2)∵DC⊥平面ABC，∴BE⊥平面ABC.
在Rt△ABE中，AB=2，EB=eq \r(3).
在Rt△ABC中，
∵AC=x，∴BC=eq \r(4－x2)(0＜x＜2)，
∴S△ABC=eq \f(1,2)AC·BC=eq \f(1,2)x·eq \r(4－x2)，
∴V(x)=V三棱锥E-ABC=eq \f(\r(3),6)x·eq \r(4－x2)(0＜x＜2).
∵x2(4－x2)≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2＋4－x2,2)))2=4，当且仅当x2=4－x2，
即x=eq \r(2)时取等号，∴当x=eq \r(2)时，体积有最大值eq \f(\r(3),3).