(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习32《空间点、直线、平面之间的位置关系》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

这是一份(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习32《空间点、直线、平面之间的位置关系》巩固练习（2份打包，答案版+教师版），文件包含小白高考新高考数学适合艺考生一轮复习32《空间点直线平面之间的位置关系》巩固练习教师版doc、小白高考新高考数学适合艺考生一轮复习32《空间点直线平面之间的位置关系》巩固练习含答案doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共15页， 欢迎下载使用。
一、选择题
若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是( )
A.l1⊥l4 B.l1∥l4
C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定
【答案解析】答案为：D.
解析：构造如图所示的正方体ABCD­A1B1C1D1，取l1为AD，l2为AA1，l3为A1B1，当取l4为B1C1时，l1∥l4，当取l4为BB1时，l1⊥l4，故排除A、B、C，选D.
在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直
【答案解析】答案为：A.
解析：由BC綊AD，AD綊A1D1知，BC綊A1D1，从而四边形A1BCD1是平行四边形，所以A1B∥CD1，又EF⊂平面A1BCD1，EF∩D1C＝F，则A1B与EF相交.
如图，在长方体ABCD ­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案解析】答案为：C.
解析：如图，取A1B1的中点E，连接D1E，AD1，AE，则∠AD1E即为异面直线BC1与PD所成的角.因为AB＝2，所以A1E＝1，又BC＝BB1＝1，所以D1E＝AD1＝AE＝eq \r(2)，所以△AD1E为正三角形，所以∠AD1E＝60°，故选C.
已知直三棱柱ABC ­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(15),5) C.eq \f(\r(10),5) D.eq \f(\r(3),3)
【答案解析】答案为：C.
解析：如图所示，将直三棱柱ABC­A1B1C1补成直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，连接AD1，B1D1，则AD1∥BC1，所以∠B1AD1或其补角为异面直线AB1与BC1所成的角.
因为∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AB1＝eq \r(5)，AD1＝eq \r(2).
在△B1D1C1中，∠B1C1D1＝60°，B1C1＝1，D1C1＝2，
所以B1D1＝eq \r(12＋22－2×1×2×cs 60°)＝eq \r(3)，所以cs∠B1AD1＝eq \f(5＋2－3,2×\r(5)×\r(2))＝eq \f(\r(10),5).
下列命题中，真命题的个数为( )
①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线可以确定一个平面；
③空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内；
④若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l.
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案解析】答案为：B.
解析：根据公理2，可判断①是真命题；两条异面直线不能确定一个平面，故②是假命题；在空间中，相交于同一点的三条直线不一定共面(如墙角)，故③是假命题；根据平面的性质可知④是真命题.综上，真命题的个数为2.
已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β＝c，那么直线c一定( )
A.与a，b都相交
B.只能与a，b中的一条相交
C.至少与a，b中的一条相交
D.与a，b都平行
【答案解析】答案为：C.
解析：如果c与a，b都平行，那么由平行线的传递性知a，b平行，与异面矛盾.故选C.
已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案解析】答案为：A.
解析：若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，若直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件.
已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB，PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝4eq \r(3)，则异面直线PA与MN所成角的大小是( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
【答案解析】答案为：A.
解析：如图，取AC的中点D，连接DN，DM，
由已知条件可得DN＝2eq \r(3)，DM＝2.在△MND中，∠DNM为异面直线PA与MN所成的角，
则cs∠DNM＝eq \f(16＋12－4,2×4×2\r(3))＝eq \f(\r(3),2)，∴∠DNM＝30°.
平面α，β的公共点多于两个，则
①α，β平行；
②α，β至少有三个公共点；
③α，β至少有一条公共直线；
④α，β至多有一条公共直线.
以上四个判断中不成立的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案解析】答案为：C.
解析：由条件知，当平面α，β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α，β相交；若公共点不共线，则α，β重合.故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立.
给出下列命题，其中正确的两个命题是( )
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；
②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；
③直线m⊥平面α，直线n⊥直线m，则n∥α；
④a，b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a，b都平行且与a，b的距离相等.
A.①与② B.②与③ C.③与④ D.②与④
【答案解析】答案为：D.
解析：直线上有两点到平面的距离相等，则此直线可能与平面平行，也可能和平面相交；直线m⊥平面α，直线m⊥直线n，则直线n可能平行于平面α，也可能在平面α内，因此①③为假命题.
在直三棱柱ABC­A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：
①四边形EFGH是平行四边形；
②平面α∥平面BCC1B1；
③平面α⊥平面BCFE.
其中正确的命题有( )
A.①② B.②③ C.①③ D.①②③
【答案解析】答案为：C.
解析：由题意画出草图如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF.又ABC­A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BCC1B1，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥平面BCFE，故③正确.综上可知，故选C.
在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝eq \r(3)，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,5) B.eq \f(\r(5),6) C.eq \f(\r(5),5) D.eq \f(\r(2),2)
【答案解析】答案为：C.
解析：如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体EFBA­E1F1B1A1.连接B1F，由长方体性质可知，B1F∥AD1，
所以∠DB1F为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.
连接DF，由题意，得DF＝eq \r(5)，FB1＝2，DB1＝eq \r(5).
在△DFB1中，由余弦定理，得DF2＝FBeq \\al(2,1)＋DBeq \\al(2,1)﹣2FB1·DB1·cs∠DB1F，
即5＝4＋5﹣2×2×eq \r(5)×cs∠DB1F，∴cs∠DB1F＝eq \f(\r(5),5).
二、填空题
在下列四个图中，G，N，M，H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________.(填序号)
【答案解析】答案为：②④.
解析：图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面.所以在图②④中，GH与MN异面.
已知α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，则下列命题中正确的是________(填上所有正确命题的序号).
①若α∥β，m⊂α，则m∥β；
②若m∥α，n⊂α，则m∥n；
③若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；
④若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β.
【答案解析】答案为：①④.
解析：由α∥β，m⊂α，可得m∥β，所以①正确；由m∥α，n⊂α，可得m，n平行或异面，所以②不正确；由α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，可得m与β相交或m⊂β，所以③不正确；由n⊥α，n⊥β，可得α∥β，又m⊥α，所以m⊥β，所以④正确.综上，正确命题的序号是①④.
设a，b，c是空间中的三条直线，下面给出四个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线.
上述命题中正确的命题是________(写出所有正确命题的序号).
【答案解析】答案为：①
解析：由公理4知①正确；当a⊥b，b⊥c时，a与c可以相交、平行或异面，故②错；当a与b相交，b与c相交时，a与c可以相交、平行，也可以异面，故③错；a⊂α，b⊂β，并不能说明a与b“不同在任何一个平面内”，故④错.
如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________.
【答案解析】答案为：eq \r(2)
解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，
因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD，因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D=eq \r(2)AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为eq \r(2)，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为eq \r(2).
三、解答题
如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点.问：
(1)AM与CN是否是异面直线？说明理由；
(2)D1B与CC1是否是异面直线？说明理由.
【答案解析】解：(1)AM与CN不是异面直线.理由如下：
如图，连接MN，A1C1，AC.
因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，
所以MN∥A1C1.又因为A1A綊C1C，
所以四边形A1ACC1为平行四边形，
所以A1C1∥AC，所以MN∥AC，
所以A，M，N，C在同一平面内，
故AM和CN不是异面直线.
(2)D1B与CC1是异面直线.理由如下：
因为ABCD­A1B1C1D1是正方体，
所以B，C，C1，D1不共面.
假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
所以D1，B，C，C1∈α，
这与B，C，C1，D1不共面矛盾.
所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线.
如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：
(1)E，C，D1，F四点共面；
(2)CE，D1F，DA三线共点.
【答案解析】证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，
∵E，F分别是AB和AA1的中点，
∴EF∥A1B且EF＝eq \f(1,2)A1B.
又∵A1D1∥BC，A1D1＝BC
∴四边形A1BCD1是平行四边形，
∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，
∴EF与CD1确定一个平面，即E，C，D1，F四点共面.
(2)由(1)知EF∥CD1且EF＝eq \f(1,2)CD1，
∴四边形CD1FE是梯形，∴CE与D1F必相交，
设交点为P，则P∈CE，且P∈D1F，
又CE⊂平面ABCD，且D1F⊂平面A1ADD1，
∴P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1.
又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，
∴CE，D1F，DA三线共点.
在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1＝a.
(1)求a的值；
(2)求三棱锥B1­A1BC的体积.
【答案解析】解：(1)∵BC∥B1C1，
∴∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，即∠A1BC＝60°.
又AA1⊥平面ABC，AB＝AC，则A1B＝A1C，
∴△A1BC为等边三角形，
由AB＝AC＝1，∠BAC＝90°⇒BC＝eq \r(2)，
∴A1B＝eq \r(2)⇒eq \r(1＋a2)＝eq \r(2)⇒a＝1.
(2)∵CA⊥A1A，CA⊥AB，A1A∩AB＝A，
∴CA⊥平面A1B1B，
∴VB1­A1BC＝VC­A1B1B＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1＝eq \f(1,6).
如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点.
(1)求证：直线EF与BD是异面直线；
(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角.
【答案解析】解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，
从而DF与BE共面，即AD与BC共面，
所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾.
故直线EF与BD是异面直线.
(2)取CD的中点G，连接EG，FG，则AC∥FG，EG∥BD，
所以相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角.
又因为AC⊥BD，则FG⊥EG.
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq \f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，
即异面直线EF与BD所成的角为45°.
如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.已知∠BAC=eq \f(π,2)，AB=2，AC=2eq \r(3)，PA=2.求：
(1)三棱锥P­ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.
【答案解析】解：(1)S△ABC=eq \f(1,2)×2×2eq \r(3)=2eq \r(3)，
三棱锥P­ABC的体积为V=eq \f(1,3)S△ABC·PA=eq \f(1,3)×2eq \r(3)×2=eq \f(4\r(3),3).
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，
所以∠ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角.
在△ADE中，DE=2，AE=eq \r(2)，AD=2，cs∠ADE=eq \f(22＋22－2,2×2×2)=eq \f(3,4).
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为eq \f(3,4).