(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习41《抛物线》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
抛物线y＝2x2的准线方程是( )
A.x＝eq \f(1,2) B.x＝﹣eq \f(1,2) C.y＝eq \f(1,8) D.y＝﹣eq \f(1,8)
【答案解析】答案为：D.
析：抛物线y＝2x2的标准方程为x2＝eq \f(1,2)y，其准线方程为y＝﹣eq \f(1,8).
若抛物线x2＝4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n＝( )
A.eq \f(19,4) B.eq \f(9,2) C.3 D.4
【答案解析】答案为：D.
解析：抛物线x2＝4y的准线方程为y＝﹣1，根据抛物线的定义可知，5＝n＋1，得n＝4，故选D.
已知抛物线C与双曲线x2﹣y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A.y2＝±2eq \r(2)x B.y2＝±2x C.y2＝±4x D.y2＝±4eq \r(2)x
【答案解析】答案为：D.
解析：由题意知双曲线的焦点为(﹣eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0).设抛物线C的方程为y2＝±2px(p＞0)，则eq \f(p,2)＝eq \r(2)，所以p＝2eq \r(2)，所以抛物线C的方程为y2＝±4eq \r(2)x.故选D.
已知A是抛物线y2＝2px(p＞0)上一点，F是抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|＝4时，∠OFA＝120°，则抛物线的准线方程是( )
A.x＝﹣1 B.y＝﹣1 C.x＝﹣2 D.y＝﹣2
【答案解析】答案为：A.
解析：过A向准线作垂线，设垂足为B，准线与x轴的交点为D.因为∠OFA＝120°，所以△ABF为等边三角形，∠DBF＝30°，从而p＝|DF|＝2，因此抛物线的准线方程为x＝﹣1.选A.
顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(﹣4，﹣2)的抛物线的标准方程是( )
A.y2＝﹣x B.x2＝﹣8y
C.y2＝﹣8x或x2＝﹣y D.y2＝﹣x或x2＝﹣8y
【答案解析】答案为：D.
解析：设抛物线为y2＝mx，代入点P(﹣4，﹣2)，解得m＝﹣1，则抛物线方程为y2＝﹣x；设抛物线为x2＝ny，代入点P(﹣4，﹣2)，解得n＝﹣8，则抛物线方程为x2＝﹣8y.
抛物线y2＝2px(p＞0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A.4 B.8 C.16 D.32
【答案解析】答案为：B.
解析：设抛物线的准线方程为x＝﹣eq \f(p,2)(p＞0)，
如图，则根据抛物线的性质有|PF|＝eq \f(p,2)＋6＝10，解得p＝8，
所以抛物线的焦点到准线的距离为8.
已知抛物线y＝eq \f(1,2)x2的焦点为F，准线为l，M在l上，线段MF与抛物线交于点N，若|MN|＝eq \r(2)|NF|，则|MF|＝( )
A.2 B.3 C.eq \r(2) D.eq \r(3)
【答案解析】答案为：C.
解析：如图，过N作准线的垂线NH，垂足为H.根据抛物线的定义可知|NH|＝|NF|，在Rt△NHM中，|NM|＝eq \r(2)|NH|，则∠NMH＝45°.在△MFK中，∠FMK＝45°，所以|MF|＝eq \r(2)|FK|.而|FK|＝1.所以|MF|＝eq \r(2).故选C.
若点A的坐标为(3,2)，F是抛物线y2＝2x的焦点，点M在抛物线上移动时，使|MF|＋|MA|取得最小值的M的坐标为( )
A.(0,0) B.(eq \f(1,2)，1) C.(1，eq \r(2)) D.(2,2)
【答案解析】答案为：D.
解析：过M点作准线的垂线，垂足是N，则|MF|＋|MA|＝|MN|＋|MA|，当A，M，N三点共线时，|MF|＋|MA|取得最小值，此时M(2,2).
抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4eq \r(3)，则抛物线的方程为( )
A.y2＝6x B.y2＝8x C.y2＝16x D.y2＝eq \f(15x,2)
【答案解析】答案为：B.
解析：设M(x，y)，因为|OF|＝eq \f(p,2)，|MF|＝4|OF|，所以|MF|＝2p，由抛物线定义知x＋eq \f(p,2)＝2p，所以x＝eq \f(3,2)p，所以y＝±eq \r(3)p，又△MFO的面积为4eq \r(3)，所以eq \f(1,2)×eq \f(p,2)×eq \r(3)p＝4eq \r(3)，解得p＝4(p＝﹣4舍去).所以抛物线的方程为y2＝8x.
已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点A(0，﹣eq \r(3)).若线段FA与抛物线C相交于点M，则|MF|＝( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(\r(5),3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(3),3)
【答案解析】答案为：A.
解析：由题意，F(1,0)，|AF|＝2，设|MF|＝d，则M到准线的距离为d，M的横坐标为d﹣1，由三角形相似，可得eq \f(d－1,1)＝eq \f(2－d,2)，所以d＝eq \f(4,3)，故选A.
已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于( )
A.eq \f(7π,12) B.eq \f(2π,3) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(5π,6)
【答案解析】答案为：B.
解析：由抛物线y2＝4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝﹣1，由抛物线定义可知|PA|＝|PF|＝4，所以点P的坐标为(3,2eq \r(3))，因此点A的坐标为(﹣1，2eq \r(3))，所以kAF＝eq \f(2\r(3)－0,－1－1)＝﹣eq \r(3)，所以直线AF的倾斜角等于eq \f(2π,3)，故选B.
过抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点F，且斜率为eq \r(3)的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|＝4，则M到直线NF的距离为( )
A.eq \r(5) B.2eq \r(3) C.3eq \r(3) D.2eq \r(2)
【答案解析】答案为：B.
解析：∵直线MF的斜率为eq \r(3)，MN⊥l，∴∠NMF＝60°，
又|MF|＝|MN|，且|NF|＝4，∴△NMF是边长为4的等边三角形，
∴M到直线NF的距离为2eq \r(3).故选B.
二、填空题
抛物线y2＝eq \f(1,4)x的焦点坐标是________.
【答案解析】答案为：(eq \f(1,16)，0).
解析：由于抛物线y2＝2px的焦点坐标为(eq \f(p,2)，0)，因此抛物线y2＝eq \f(1,4)x的焦点坐标为(eq \f(1,16)，0).
已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2＝4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.
【答案解析】答案为：(1,0).
解析：由题知直线l的方程为x＝1，则直线与抛物线的交点为(1，±2eq \r(a))(a＞0).又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4eq \r(a)＝4，即a＝1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0).
若抛物线y2＝4x上有一条长度为10的动弦AB，则AB的中点到y轴的最短距离为_____.
【答案解析】答案为：4
解析：设抛物线的焦点为F，准线为l：x＝﹣1，弦AB的中点为M，则点M到准线l的距离d＝eq \f(|AF|＋|BF|,2)≥eq \f(|AB|,2)，所以点M到准线l的距离的最小值为5，所以点M到y轴的最短距离为5﹣1＝4.
已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F与双曲线eq \f(x2,3)﹣y2＝1的右焦点重合，若A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|＝3，则直线AF的斜率为________.
【答案解析】答案为：﹣2eq \r(2).
解析：∵双曲线eq \f(x2,3)﹣y2＝1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y2＝8x，
∵|AF|＝3，∴xA＋2＝3，得xA＝1，代入抛物线方程可得yA＝±2eq \r(2).
∵点A在第一象限，∴A(1，2eq \r(2))，∴直线AF的斜率为eq \f(2\r(2),1－2)＝﹣2eq \r(2).
三、解答题
若抛物线y2＝﹣2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为﹣9，它到焦点的距离为10，求抛物线方程和M点的坐标.
【答案解析】解：由抛物线定义，设焦点为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0)).
则准线为x＝eq \f(p,2)，M到准线的距离为d，
则d＝|MF|＝10.则eq \f(p,2)﹣(﹣9)＝10，∴p＝2.
故抛物线方程为y2＝﹣4x.
将M(﹣9，y)代入抛物线方程得y＝±6.
∴M(﹣9，6)或M(﹣9，﹣6).
求满足下列条件的抛物线的标准方程.
(1)焦点在坐标轴上，顶点在原点，且过点(﹣3，2)；
(2)顶点在原点，以坐标轴为对称轴，焦点在直线x﹣2y﹣4＝0上.
【答案解析】解：(1)当焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝﹣2px(p＞0).
把(﹣3，2)代入，得22＝﹣2p×(﹣3)，解得p＝eq \f(2,3).
所以所求抛物线的标准方程为y2＝﹣eq \f(4,3)x.
当焦点在y轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝2py(p＞0).
把(﹣3，2)代入，得(﹣3)2＝4p，解得p＝eq \f(9,4).
所以所求抛物线的标准方程为x2＝eq \f(9,2)y.
(2)直线x﹣2y﹣4＝0与x轴的交点为(4，0)，与y轴的交点为(0，﹣2)，
故抛物线的焦点为(4，0)或(0，﹣2).
当焦点为(4，0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
则eq \f(p,2)＝4，所以p＝8.所以抛物线方程为y2＝16x.
当焦点为(0，﹣2)时，
设抛物线方程为x2＝﹣2py(p＞0)，则﹣eq \f(p,2)＝﹣2，所以p＝4.
所以抛物线方程为x2＝﹣8y.
已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.
(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；
(2)若△ABN的面积的最小值为4，求抛物线C的方程.
【答案解析】解：由题意知，直线AB的斜率一定存在，
∴设直线AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x2﹣2pkx﹣2p＝0，
则x1＋x2＝2pk，x1x2＝﹣2p.①
(1)由x2＝2py得y′＝eq \f(x,p)，则A，B处的切线斜率的乘积为eq \f(x1x2,p2)＝﹣eq \f(2,p)，
∵点N在以AB为直径的圆上，
∴AN⊥BN，∴﹣eq \f(2,p)＝﹣1，∴p＝2.
(2)易得直线AN：y﹣y1＝eq \f(x1,p)(x﹣x1)，直线BN：y﹣y2＝eq \f(x2,p)(x﹣x2)，
联立，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－y1＝\f(x1,p)x－x1，,y－y2＝\f(x2,p)x－x2，))结合①式，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝pk，,y＝－1，))即N(pk，﹣1).
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x2﹣x1|＝eq \r(1＋k2)eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)eq \r(4p2k2＋8p)，
点N到直线AB的距离d＝eq \f(|kxN＋1－yN|,\r(1＋k2))＝eq \f(|pk2＋2|,\r(1＋k2))，
则S△ABN＝eq \f(1,2)·|AB|·d＝ SKIPIF 1 < 0 ≥2eq \r(2p)，当k＝0时，取等号，
∵△ABN的面积的最小值为4，∴2eq \r(2p)＝4，∴p＝2，
故抛物线C的方程为x2＝4y.
过抛物线C：y2＝4x的焦点F且斜率为k的直线l交抛物线C于A，B两点，且|AB|＝8.
(1)求直线l的方程；
(2)若A关于x轴的对称点为D，抛物线的准线与x轴的交点为E，求证：B，D，E三点共线.
【答案解析】解：(1)F的坐标为(1,0)，则l的方程为y＝k(x﹣1)，
代入抛物线方程y2＝4x得k2x2﹣(2k2＋4)x＋k2＝0，
由题意知k≠0，且[﹣(2k2＋4)]2﹣4k2·k2＝16(k2＋1)＞0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2)，x1x2＝1，
由抛物线的定义知|AB|＝x1＋x2＋2＝8，
∴eq \f(2k2＋4,k2)＝6，∴k2＝1，即k＝±1，
∴直线l的方程为y＝±(x﹣1).
(2)证明：由抛物线的对称性知，D点的坐标为(x1，﹣y1)，
又E(﹣1,0)，
∴kEB﹣kED＝eq \f(y2,x2＋1)﹣eq \f(－y1,x1＋1)＝eq \f(y2x1＋1＋y1x2＋1,x1＋1x2＋1)，
y2(x1＋1)＋y1(x2＋1)＝y2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,1),4)＋1))＋y1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y\\al(2,2),4)＋1))
＝eq \f(y1y2,4)(y1＋y2)＋(y1＋y2)＝(y1＋y2)(eq \f(y1y2,4)＋1).
由(1)知x1x2＝1，∴(y1y2)2＝16x1x2＝16，
又y1与y2异号，
∴y1y2＝﹣4，即eq \f(y1y2,4)＋1＝0，∴kEB＝kED，
又ED与EB有公共点E，∴B，D，E三点共线.