(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习29《基本不等式》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
若x＜0，则x＋eq \f(1,x)( )
A.有最小值，且最小值为2
B.有最大值，且最大值为2
C.有最小值，且最小值为－2
D.有最大值，且最大值为－2
【答案解析】答案为：D.
解析：因为x＜0，所以－x＞0，－x＋eq \f(1,－x)≥2eq \r(1)＝2，
当且仅当x＝－1时，等号成立，所以x＋eq \f(1,x)≤－2.]
已知a，b是正数，且4a＋3b＝6，则a(a＋3b)的最大值是( )
A.eq \f(9,8) B.eq \f(9,4) C.3 D.9
【答案解析】答案为：C.
解析：∵a＞0，b＞0，4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝eq \f(1,3)·3a(a＋3b)≤eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3a＋a＋3b,2)))eq \s\up8(2)＝3，
当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝eq \f(2,3)时，a(a＋3b)的最大值是3.
已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，则eq \f(1,a－1)＋eq \f(1,2b)的最小值为( )
A.eq \f(3,2)＋eq \r(2) B.eq \f(3,4)＋eq \f(\r(2),2) C.3＋2eq \r(2) D.eq \f(1,2)＋eq \f(\r(2),3)
【答案解析】答案为：A.
解析：已知a＞1，b＞0，a＋b＝2，可得(a－1)＋b＝1，
又a－1＞0，则eq \f(1,a－1)＋eq \f(1,2b)＝[(a－1)＋b](eq \f(1,a－1)＋eq \f(1,2b))
＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(a－1,2b)＋eq \f(b,a－1)≥eq \f(3,2)＋2eq \r(\f(a－1,2b)×\f(b,a－1))＝eq \f(3,2)＋eq \r(2).
当且仅当eq \f(a－1,2b)＝eq \f(b,a－1)，a＋b＝2时取等号.则eq \f(1,a－1)＋eq \f(1,2b)的最小值为eq \f(3,2)＋eq \r(2).故选A.]
已知0＜x＜1，则x(3﹣3x)取得最大值时x的值为( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D.eq \f(2,3)
【答案解析】答案为：C.
解析：∵0＜x＜1，∴x(3﹣3x)＝3x(1﹣x)≤3[ SKIPIF 1 < 0 ]2＝eq \f(3,4).
当且仅当x＝1﹣x，即x＝eq \f(1,2)时等号成立.
已知x＞0，y＞0，lg 2x＋lg 8y＝lg 2，则eq \f(1,x)＋eq \f(1,3y)的最小值是( )
A.2 B.2eq \r(2) C.4 D.2eq \r(3)
【答案解析】答案为：C.
解析：因为lg 2x＋lg 8y＝lg 2，所以x＋3y＝1，所以eq \f(1,x)＋eq \f(1,3y)＝(eq \f(1,x)＋eq \f(1,3y))(x＋3y)
＝2＋eq \f(3y,x)＋eq \f(x,3y)≥4当且仅当eq \f(3y,x)＝eq \f(x,3y)，即x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,6)时取等号.
已知x＜0，则函数y＝eq \f(4,x)＋x的最大值是( )
A.﹣18 B.18 C.16 D.﹣4
【答案解析】答案为：D.
解析：∵x＜0，∴y＝﹣[﹣eq \f(4,x)﹣x]≤﹣4，当且仅当x＝﹣2时取等号.
已知a＞0，b＞0，并且eq \f(1,a)，eq \f(1,2)，eq \f(1,b)成等差数列，则a＋9b的最小值为( )
A.16 B.9 C.5 D.4
【答案解析】答案为：A
解析：∵eq \f(1,a)，eq \f(1,2)，eq \f(1,b)成等差数列，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，∴a＋9b＝(a＋9b)(eq \f(1,a)＋eq \f(1,b))
＝10＋eq \f(a,b)＋eq \f(9b,a)≥10＋2eq \r(\f(a,b)·\f(9b,a))＝16，当且仅当eq \f(a,b)＝eq \f(9b,a)且eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，
即a＝4，b＝eq \f(4,3)时等号成立，故选A.
已知a＞0，b＞0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋eq \f(1,a)，n＝a＋eq \f(1,b)，则m＋n的最小值是( )
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案解析】答案为：B.
解析：由题意知ab＝1，∴m＝b＋eq \f(1,a)＝2b，n＝a＋eq \f(1,b)＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4eq \r(ab)＝4，
当且仅当a＝b＝1时取等号.
已知x，y都为正实数，且x＋y＋eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝5，则x＋y的最大值是( )
A.3 B.3.5 C.4 D.4.5
【答案解析】答案为：C.
解析：因为x＋y＋eq \f(1,x)＋eq \f(1,y)＝x＋y＋eq \f(x＋y,xy)≥x＋y＋eq \f(x＋y,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)))2)＝x＋y＋eq \f(4,x＋y)，
所以x＋y＋eq \f(4,x＋y)≤5.令x＋y＝t.则t2﹣5t＋4≤0，解得1≤t≤4.
若a＞b＞1，P＝eq \r(lg a·lg b)，Q＝eq \f(1,2)(lg a＋lg b)，R＝lg eq \f(a＋b,2)，则( )
A.R＜P＜Q B.Q＜P＜R C.P＜Q＜R D.P＜R＜Q
【答案解析】答案为：C.
解析：∵a＞b＞1，∴lg a＞lg b＞0，eq \f(1,2)(lg a＋lg b)＞eq \r(lg a·lg b)，即Q＞P.
∵eq \f(a＋b,2)＞eq \r(ab)，∴lg eq \f(a＋b,2)＞lg eq \r(ab)＝eq \f(1,2)(lg a＋lg b)，即R＞Q，∴P＜Q＜R.
已知向量a＝(3，﹣2)，b＝(x，y﹣1)，且a∥b，若x，y均为正数，则eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)的最小值是( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(8,3) C.8 D.24
【答案解析】答案为：C.
解析：因为a∥b，故3(y﹣1)＝﹣2x，整理得2x＋3y＝3，所以eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)＝eq \f(1,3)(2x＋3y)(eq \f(3,x)＋eq \f(2,y))＝eq \f(1,3)(12＋eq \f(9y,x)＋eq \f(4x,y))≥eq \f(1,3)(12＋2 SKIPIF 1 < 0 )＝8，当且仅当x＝eq \f(3,4)，y＝eq \f(1,2)时等号成立，所以eq \f(3,x)＋eq \f(2,y)的最小值为8，故选C.
已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，且S8﹣2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为( )
A.10 B.15 C.20 D.25
【答案解析】答案为：C.
解析：由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12﹣S8，由S8﹣2S4＝5可得S8﹣S4＝S4＋5，由等比数列的性质可得S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，则S4(S12﹣S8)＝(S8﹣S4)2，综上可得：a9＋a10＋a11＋a12＝S12﹣S8＝eq \f(S4＋52,S4)＝S4＋eq \f(25,S4)＋10≥2eq \r(S4×\f(25,S4))＋10＝20，当且仅当S4＝5时等号成立.故a9＋a10＋a11＋a12的最小值为20.
二、填空题
已知a＞0，b＞0，a＋2b＝3，则eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)的最小值为________.
【答案解析】答案为：eq \f(8,3).
解析：由a＋2b＝3得eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b＝1，所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝(eq \f(1,3)a＋eq \f(2,3)b)(eq \f(2,a)＋eq \f(1,b))＝eq \f(4,3)＋eq \f(a,3b)＋eq \f(4b,3a)
≥eq \f(4,3)＋2eq \r(\f(a,3b)·\f(4b,3a))＝eq \f(8,3).当且仅当a＝2b＝eq \f(3,2)时取等号.
已知函数y＝x＋eq \f(m,x－2)(x＞2)的最小值为6，则正数m的值为________.
【答案解析】答案为：4.
解析：∵x＞2，m＞0，∴y＝x﹣2＋eq \f(m,x－2)＋2≥2 SKIPIF 1 < 0 ＋2＝2eq \r(m)＋2，
当且仅当x＝2＋eq \r(m)时取等号，又函数y＝x＋eq \f(m,x－2)(x＞2)的最小值为6，
∴2eq \r(m)＋2＝6，解得m＝4.
若对x＞0，y＞0，x＋2y＝1，有eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)≥m恒成立，则m的最大值是________.
【答案解析】答案为：8.
解析：∵x＞0，y＞0，x＋2y＝1，∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)＝(x＋2y)·(eq \f(2,x)＋eq \f(1,y))＝2＋2＋eq \f(4y,x)＋eq \f(x,y)
≥4＋2eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，当且仅当x＝eq \f(1,2)，y＝eq \f(1,4)时取等号，∴eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)的最小值为8，
又eq \f(2,x)＋eq \f(1,y)≥m恒成立，∴m≤8，即m的最大值为8.
已知直线l：ax＋by﹣ab＝0(a＞0，b＞0)经过点(2,3)，则a＋b的最小值为________.
【答案解析】答案为：5＋2eq \r(6)
解析：因为直线l经过点(2,3)，所以2a＋3b﹣ab＝0，所以b＝eq \f(2a,a－3)＞0，
所以a﹣3＞0，所以a＋b＝a＋eq \f(2a,a－3)＝a﹣3＋eq \f(6,a－3)＋5≥5＋2 SKIPIF 1 < 0 ＝5＋2eq \r(6)，
当且仅当a﹣3＝eq \f(6,a－3)，即a＝3＋eq \r(6)，b＝2＋eq \r(6)时等号成立.
三、解答题
已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy=0，求：
(1)xy的最小值；
(2)x＋y的最小值.
【答案解析】解：(1)由2x＋8y－xy=0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)=1，
又x>0，y>0，
则1=eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)≥2 eq \r(\f(8,x)·\f(2,y))=eq \f(8,\r(xy))，得xy≥64，
当且仅当x=16，y=4时，等号成立.
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy=0，得eq \f(8,x)＋eq \f(2,y)=1，
则x＋y=(eq \f(8,x)＋eq \f(2,y))·(x＋y)=10＋eq \f(2x,y)＋eq \f(8y,x)≥10＋2 eq \r(\f(2x,y)·\f(8y,x))=18.
当且仅当x=12且y=6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.
已知lg(3x)＋lg y=lg(x＋y＋1).
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋y的最小值.
【答案解析】解：由lg(3x)＋lg y=lg(x＋y＋1)，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＞0，,y＞0，,3xy＝x＋y＋1.))
(1)因为x＞0，y＞0，
所以3xy=x＋y＋1≥2eq \r(xy)＋1.
所以3xy－2eq \r(xy)－1≥0，即3(eq \r(xy))2－2eq \r(xy)－1≥0.
所以(3eq \r(xy)＋1)(eq \r(xy)－1)≥0.
所以eq \r(xy)≥1.所以xy≥1.
当且仅当x=y=1时，等号成立.
所以xy的最小值为1.
(2)因为x＞0，y＞0，所以x＋y＋1=3xy≤3·( SKIPIF 1 < 0 )2.
所以3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.
所以[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0.
所以x＋y≥2.当且仅当x=y=1时取等号.
所以x＋y的最小值为2.
某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.
(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？
【答案解析】解：(1)由题意可得xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋3＝3a＋3，
所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a
＝(3x－8)eq \f(y－3,3)＝1 808－3x－eq \f(8,3)y(x＞3，y＞3).
(2)S＝1 808－3x－eq \f(8,3)×eq \f(1 800,x)＝1 808－(3x＋eq \f(4 800,x))≤1 808－2eq \r(3x×\f(4 800,x))
＝1 808－240＝1 568，
当且仅当3x＝eq \f(4 800,x)，即x＝40时等号成立，S取得最大值，此时y＝eq \f(1 800,x)＝45，
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值.
如图，一个铝合金窗分为上、下两栏，四周框架和中间隔挡的材料为铝合金，宽均为6 cm，上栏与下栏的框内高度(不含铝合金部分)的比为1∶2，此铝合金窗占用的墙面面积为28 800 cm2，设该铝合金窗的宽和高分别为a cm，b cm，铝合金窗的透光部分的面积为S cm2.
(1)试用a，b表示S；
(2)若要使S最大，则铝合金窗的宽和高分别为多少？
【答案解析】解：(1)∵铝合金窗宽为a cm，高为b cm，a＞0，b＞0，
∴ab＝28 800.①
设上栏框内高度为h cm，则下栏框内高度为2h cm，则3h＋18＝b，∴h＝eq \f(b－18,3)，
∴透光部分的面积S＝(a﹣18)×2×eq \f(b－18,3)＋(a﹣12)×eq \f(b－18,3)
＝(a﹣16)(b﹣18)
＝ab﹣2(9a＋8b)＋288
＝28 800﹣2(9a＋8b)＋288
＝29 088﹣2(9a＋8b).
(2)∵9a＋8b≥2eq \r(9a·8b)＝2eq \r(9×8×28 800)＝2 880，
当且仅当9a＝8b时等号成立，此时b＝eq \f(9,8)a，代入①式得a＝160，
从而b＝180，即当a＝160，b＝180时，S取得最大值.
∴铝合金窗的宽为160 cm，高为180 cm时，可使透光部分的面积最大.
某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x＝3﹣eq \f(2,t＋1).已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是多少万元？
【答案解析】解：由题意知t＝eq \f(2,3－x)﹣1(1＜x＜3)，设该公司的月利润为y万元，
则y＝(48＋ SKIPIF 1 < 0 )x﹣32x﹣3﹣t＝16x﹣eq \f(t,2)﹣3＝16x﹣eq \f(1,3－x)＋eq \f(1,2)﹣3
＝45.5﹣[16(3﹣x)＋eq \f(1,3－x)]≤45.5﹣2eq \r(16)＝37.5，
当且仅当x＝eq \f(11,4)时取等号，即最大月利润为37.5万元.