(小白高考)新高考数学(适合艺考生)一轮复习42《曲线与方程》巩固练习（2份打包，答案版+教师版）

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一、选择题
已知A(﹣1，0)，B是圆F：x2﹣2x＋y2﹣11＝0(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为( )
A.eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,11)＝1 B.eq \f(x2,36)﹣eq \f(y2,35)＝1 C.eq \f(x2,3)﹣eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
平面上到定点A(2，﹣2)和定直线l：x＋y＝0距离相等的点的轨迹为( )
A.直线 B.抛物线 C.双曲线 D.椭圆
已知△ABC的顶点A(﹣5，0)，B(5，0)，△ABC的内切圆圆心在直线x＝3上，则顶点C的轨迹方程是( )
A.eq \f(x2,9)﹣eq \f(y2,16)＝1 B.eq \f(x2,16)﹣eq \f(y2,9)＝1
C.eq \f(x2,9)﹣eq \f(y2,16)＝1(x＞3) D.eq \f(x2,16)﹣eq \f(y2,9)＝1(x＞4)
已知F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为( )
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
已知两定点A(﹣2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于( )
A.π B.4π C.8π D.9π
已知两定点A(﹣2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹是( )
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
已知点F(0,1)，直线l：y＝﹣1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且eq \(QP,\s\up7(―→))·eq \(QF,\s\up7(―→))＝eq \(FP,\s\up7(―→))·eq \(FQ,\s\up7(―→))，则动点P的轨迹C的方程为( )
A.x2＝4y B.y2＝3x C.x2＝2y D.y2＝4x
方程(x﹣y)2＋(xy﹣1)2＝0表示的曲线是( )
A.一条直线和一条双曲线 B.两条双曲线
C.两个点 D.以上答案都不对
动圆M经过双曲线x2﹣eq \f(y2,3)＝1的左焦点且与直线x＝2相切，则圆心M的轨迹方程是( )
A.y2＝8x B.y2＝﹣8x C.y2＝4x D.y2＝﹣4x
设动点P在直线x＝1上，O为坐标原点，以OP为直角边、点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是( )
A.圆 B.两条平行直线 C.抛物线 D.双曲线
已知M(﹣2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为( )
A.x2＋y2＝2 B.x2＋y2＝4
C.x2＋y2＝2(x≠±eq \r(2)) D.x2＋y2＝4(x≠±2)
已知F1，F2是双曲线的两个焦点，Q是双曲线上任意一点，从焦点F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹为( )
A.直线 B.圆 C.椭圆 D.双曲线
二、填空题
在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1，2)与动点P(x，y)满足eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(OA,\s\up7(―→))＝4，则动点P的轨迹方程是________.
已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(﹣1，0)，B(1，0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是__________.
方程x2＋2y2﹣4x＋8y＋12＝0表示的图形为________.
已知△ABC的顶点B(0,0)，C(5,0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为____________________.
三、解答题
如图，已知点F(1，0)，直线l：x＝﹣1，P为平面上的动点，过P作l的垂线，垂足为点Q，且eq \(QP,\s\up7(―→))·eq \(QF,\s\up7(―→))＝eq \(FP,\s\up7(―→))·eq \(FQ,\s\up7(―→)).求动点P的轨迹C的方程.
如图，过点P(2，4)作互相垂直的直线l1，l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B，求线段AB中点M的轨迹方程.
已知坐标平面上动点M(x，y)与两个定点P(26，1)，Q(2，1)，且|MP|＝5|MQ|.
(1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；
(2)记(1)中轨迹为C，过点N(﹣2，3)的直线l被C所截得的线段长度为8，求直线l的方程.
已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.
(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；
(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.
已知圆C与两圆C1：x2＋(y＋4)2＝1，C2：x2＋(y﹣2)2＝1外切，圆C的圆心轨迹方程为L，设L上的点与点M(x，y)的距离的最小值为m，点F(0,1)与点M(x，y)的距离为n.
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)求满足条件m＝n的点M的轨迹Q的方程.
\s 0 (小白高考)新高考数学(适合体育生)一轮复习42《曲线与方程》巩固练习（含答案）答案解析
一、选择题
答案为：D
解析：将圆F改写成标准方程(x﹣1)2＋y2＝12，则圆心F的坐标为(1，0)，半径r＝2eq \r(3)，
由题意可知|PA|＝|PB|.又点P在圆F的半径BF上，故|PA|＋|PF|＝|PB|＋|PF|＝|BF|＝2eq \r(3)＞2＝|AF|，所以动点P的轨迹是以A，F为焦点，2eq \r(3)为长轴长的椭圆，则2a＝2eq \r(3)，2c＝2，所以b＝eq \r(2).故动点P的轨迹方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.故选D.
答案为：A
解析：∵定点A(2，﹣2)在直线l：x＋y＝0上，∴动点的轨迹为直线.故选A.
答案为：C；
解析：如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，
所以|CA|﹣|CB|＝8﹣2＝6＜10＝|AB|.
根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，
实轴长为6的双曲线的右支(y≠0)，方程为eq \f(x2,9)﹣eq \f(y2,16)＝1(x＞3).
答案为：B；
解析：不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S，
∵QP是∠F1QF2的平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点.
∵O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，
∴|PO|＝eq \f(1,2)|F2S|＝eq \f(1,2)(|QS|﹣|QF2|)＝eq \f(1,2)(|QF1|﹣|QF2|)＝a，∴点P的轨迹为圆.
答案为：B；
解析：设P(x，y)，代入|PA|＝2|PB|，得(x＋2)2＋y2＝4[(x﹣1)2＋y2]，即(x﹣2)2＋y2＝4，
所求的轨迹是以(2，0)为圆心，2为半径的圆.所以点P的轨迹所围成的图形的面积等于4π.
答案为：B
解析：设P(x，y)，则eq \r(x＋22＋y2)＝2eq \r(x－12＋y2)，整理得x2＋y2﹣4x＝0，
又D2＋E2﹣4F＝16＞0，所以动点P的轨迹是圆.
答案为：A.
解析：设点P(x，y)，则Q(x，﹣1).∵eq \(QP,\s\up7(―→))·eq \(QF,\s\up7(―→))＝eq \(FP,\s\up7(―→))·eq \(FQ,\s\up7(―→))，
∴(0，y＋1)·(﹣x,2)＝(x，y﹣1)·(x，﹣2)，即2(y＋1)＝x2﹣2(y﹣1)，
整理得x2＝4y，∴动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.
答案为：C.
解析：(x﹣y)2＋(xy﹣1)2＝0⇔eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝0，,xy－1＝0.))故eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝－1.))
答案为：B.
解析：双曲线x2﹣eq \f(y2,3)＝1的左焦点F(﹣2,0)，动圆M经过点F且与直线x＝2相切，
则圆心M到点F的距离和到直线x＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，
其方程为y2＝﹣8x.
答案为：B.
解析：设P(1，a)，Q(x，y).以点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，eq \f (y,x)·a＝﹣1，x＝﹣ay，∵|OP|＝|OQ|，∴1＋a2＝x2＋y2＝a2y2＋y2＝(a2＋1)y2，而a2＋1＞0，∴y2＝1，∴y＝1或y＝﹣1，∴动点Q的轨迹是两条平行于x轴的直线.
答案为：D.
解析：MN的中点为原点O，易知|OP|＝eq \f(1,2)|MN|＝2，∴P的轨迹是以原点O为圆心，2为半径的圆，除去与x轴的两个交点，即P的轨迹方程为x2＋y2＝4(x≠±2)，故选D.
答案为：B.
解析：不妨设点Q在双曲线的右支上，延长F1P交直线QF2于点S，
∵QP是∠F1QF2的平分线，且QP⊥F1S，∴P是F1S的中点.
∵O是F1F2的中点，∴PO是△F1SF2的中位线，
∴|PO|＝eq \f(1,2)|F2S|＝eq \f(1,2)(|QS|﹣|QF2|)＝eq \f(1,2)(|QF1|﹣|QF2|)＝a，∴点P的轨迹为圆.
二、填空题
答案为：x＋2y﹣4＝0；
解析：由eq \(OP,\s\up7(―→))·eq \(OA,\s\up7(―→))＝4得x·1＋y·2＝4，因此所求轨迹方程为x＋2y﹣4＝0.
答案为：eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0).
解析：设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，
则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4.由抛物线定义，得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，
∴|FA|＋|FB|＝4.
故点F的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端点)，
所以抛物线的焦点的轨迹方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1(y≠0).
答案为：一个点(2，﹣2)；
解析：对方程左边配方得(x﹣2)2＋2(y＋2)2＝0.
∵(x﹣2)2≥0，2(y＋2)2≥0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－22＝0，,2y＋22＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2.))
从而方程表示的图形是一个点(2，﹣2).
答案为：(x﹣10)2＋y2＝36(y≠0).
解析：设A(x，y)，由题意可知D(eq \f(1,2)x，eq \f(1,2)y).又∵|CD|＝3，∴(eq \f(1,2)x﹣5)2＋(eq \f(1,2)y)2＝9，
即(x﹣10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点不共线，
∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点A的轨迹方程为(x﹣10)2＋y2＝36(y≠0).
三、解答题
解：设P(x，y)，则Q(﹣1，y).
∴eq \(QP,\s\up7(―→))＝(x＋1，0)，eq \(QF,\s\up7(―→))＝(2，﹣y).eq \(FP,\s\up7(―→))＝(x﹣1，y)，eq \(FQ,\s\up7(―→))＝(﹣2，y).
由eq \(QP,\s\up7(―→))·eq \(QF,\s\up7(―→))＝eq \(FP,\s\up7(―→))·eq \(FQ,\s\up7(―→))，得2(x＋1)＋0·(﹣y)＝﹣2(x﹣1)＋y2，
整理得y2＝4x.
即动点P的轨迹C的方程为y2＝4x.
解：法一：设M(x，y)为所求轨迹上任一点，
∵M为AB中点，
∴A(2x，0)，B(0，2y).
∵l1⊥l2，且l1，l2过点P(2，4)，
∴PA⊥PB.
∴kPA·kPB＝﹣1.
∵kPA＝eq \f(4,2－2x)(x≠1)，kPB＝eq \f(4－2y,2)，
∴eq \f(4,2－2x)·eq \f(4－2y,2)＝﹣1，即x＋2y﹣5＝0(x≠1).
当x＝1时，A(2，0)，B(0，4).
此时AB中点M的坐标为(1，2)，
它也满足方程x＋2y﹣5＝0，
∴所求点M的轨迹方程为x＋2y﹣5＝0.
法二：设M(x，y)，则A(2x，0)，B(0，2y)，
∵l1⊥l2，
∴△PAB为直角三角形，
∴|PM|＝eq \f(1,2)|AB|.即eq \r(x－22＋y－42)＝eq \f(1,2) eq \r(4x2＋4y2).
化简得x＋2y﹣5＝0，
∴所求点M的轨迹方程为x＋2y﹣5＝0.
解：(1)由题意，得eq \f(|MP|,|MQ|)＝5，
即eq \f(\r(（x－26）2＋（y－1）2),\r(（x－2）2＋（y－1）2))＝5，
化简，得x2＋y2﹣2x﹣2y﹣23＝0，
所以点M的轨迹方程是(x﹣1)2＋(y﹣1)2＝25.
轨迹是以(1，1)为圆心，以5为半径的圆.
(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝﹣2，
此时所截得的线段长度为2eq \r(52－32)＝8，
所以l：x＝﹣2符合题意.
当直线l的斜率存在时，设l的方程为y﹣3＝k(x＋2)，
即kx﹣y＋2k＋3＝0，圆心(1，1)到直线l的距离d＝eq \f(|3k＋2|,\r(k2＋1))，
由题意，得(eq \f(|3k＋2|,\r(k2＋1)))2＋42＝52，解得k＝eq \f(5,12).
所以直线l的方程为eq \f(5,12)x﹣y＋eq \f(23,6)＝0，即5x﹣12y＋46＝0.
综上，直线l的方程为x＝﹣2或5x﹣12y＋46＝0.
解：由题知F(eq \f(1,2)，0).设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，
且A(eq \f(1,2)a2，a)，B(eq \f(1,2)b2，b)，P(﹣eq \f(1,2)，a)，Q(﹣eq \f(1,2)，b)，R(﹣eq \f(1,2)，eq \f(a＋b,2)).
记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x﹣(a＋b)y＋ab＝0.
(1)证明：由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.
记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则
k1＝eq \f(a－b,1＋a2)＝eq \f(a－b,a2－ab)＝eq \f(1,a)＝eq \f(－ab,a)＝﹣b＝k2.所以AR∥FQ.
(2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，
则S△ABF＝eq \f(1,2)|b﹣a|·|FD|＝eq \f(1,2)|b﹣a|·|x1﹣eq \f(1,2)|，S△PQF＝eq \f(|a－b|,2).
由题设可得2×eq \f(1,2)|b﹣a|·|x1﹣eq \f(1,2)|＝eq \f(|a－b|,2)，所以x1＝0(舍去)或x1＝1.
设满足条件的AB的中点为E(x，y).
当AB与x轴不垂直时，由kAB＝kDE，可得eq \f(2,a＋b)＝eq \f(y,x－1)(x≠1).
而eq \f(a＋b,2)＝y，所以y2＝x﹣1(x≠1).
当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E(1，0)满足方程y2＝x﹣1.
所以，所求轨迹方程为y2＝x﹣1.
解：(1)两圆半径都为1，两圆圆心分别为C1(0，﹣4)，C2(0,2)，
由题意得|CC1|＝|CC2|，可知圆心C的轨迹是线段C1C2的垂直平分线，
C1C2的中点为(0，﹣1)，直线C1C2的斜率不存在，
所以圆C的圆心轨迹L的方程为y＝﹣1.
(2)因为m＝n，所以M(x，y)到直线y＝﹣1的距离与到点F(0,1)的距离相等，
故点M的轨迹Q是以y＝﹣1为准线，点F(0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，
从而eq \f(p,2)＝1，即p＝2，
所以轨迹Q的方程是x2＝4y.