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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换课后练习题
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.5 三角恒等变换课后练习题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知又，对任意的均有成立，且存在使，方程在上存在唯一实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．设，则有（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知是第三象限角，则点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
6．函数在区间上的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
7．我们把顶角为的等腰三角形称为“最美三角形”．已知，则“最美三角形”的顶角与一个底角之和的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．使为奇函数，且在上是减函数的θ的一个值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于点对称
C．的值域为D．的图象关于直线对称
10．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终点经过点，且（），定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，其中正确的是（ ）
A．的值域为
B．的图象关于对称
C．的图象关于直线对称
D．为周期函数，且最小正周期为
11．已知函数，则（ ）
A．的最大值为3B．的最小正周期为
C．的图象关于点对称D．在上单调递增
12．关于函数的下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．的最大值为2
C．的图象关于点对称D．在上单调递减
三、填空题
13．设函数，其中是一个正整数，若对任意实数，均有，则的最小值为 .
14．已知角的终边与单位圆交于点在第二象限，且点的横坐标为，则 .
15．随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，更舒适．“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若照片长、宽比例为4：3，设，则 ．
16．已知的图象向右平移个单位后得到的图象，则函数在区间上的最小值为 ；若值域为，则满足条件的一个可以为 .
四．解答题
17．已知，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，，求的值.
18．已知函数.
(1)若，求；
(2)设，证明在上且只有一个零点，且.
19．已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
条件①：；
条件②：函数在区间上是增函数；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
20．已知函数的部分图像如图所示.
(1)求的解析式；
(2)若函数，当时，求的值域.
参考答案：
1．A
【分析】化简可得，根据成立，且存在，可知存在使得，即，根据函数性质建立不等式关系进行求解即可.
【详解】由
，
其中满足，
又由任意的均有成立，
即任意的均有成立，
且存在使，
可知最大值为，
又，
当时，，
又在上存在唯一实数使，
即.
故选：A
2．C
【分析】根据二倍角公式化简，然后根据正弦函数的单调性比较大小.
【详解】，，，
因为在时单调递增，所以，即.
故选：C.
3．A
【分析】根据题意，利用正切的倍角公式，求得，再结合诱导公式、三角函数的基本关系式和两角差的正切公式，即可求解.
【详解】因为，所以，解得或，
因为，所以，
所以
.
故选：A．
4．B
【分析】根据角所在象限结合二倍角正弦公式即可判断答案.
【详解】因为是第三象限角，故，
则，
故在第二象限，
故选：B
5．B
【分析】根据题意，由三角恒等变换公式化简，然后换元，结合二次函数的值域，即可得到结果.
【详解】因为
，且，
则，
令，则，
所以，，对称轴为，
当时，，
当时，，
即函数的值域为.
故选：B
6．D
【分析】先根据两角和正弦公式化简函数，然后利用正弦函数性质求解最值.
【详解】，
因为，所以，根据正弦函数的性质，，
所以当时，有最大值为2.
故选：D.
7．A
【分析】由三角形内角和可求出底角为，用诱导公式和倍角公式计算即可.
【详解】依题意，“最美三角形”的底角为，所以顶角与一个底角之和为， 所以.
故选:A
8．C
【分析】通过辅助角公式化简函数，再通过奇偶性求参，根据单调性利用排除法和验证法得到选项.
【详解】
,
又为奇函数，所以，且，
可得，且，排除B,D选项,
当时，，，
则在上单调增，
当时，，，,
则在上单调减.
故选：C.
9．ACD
【分析】逆用两角和差的正弦公式化简，利用余弦型函数的性质确定周期、对称轴、对称中心、值域即可得解.
【详解】因为，
所以最小正周期为，故A正确；
由，得，所以对称中心为，当时，函数的一个对称中心为，故B错误；
因为，所以，故C正确；
由，得，即函数的对称轴方程为，当时，可得函数的一条对称轴，故D正确.
故选：ACD
10．AD
【分析】利用三角函数的定义得到，，从而得到，再根据三角函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】由三角函数的定义可知，，
所以，
对于A，由，则，故A正确；
对于B，由于，则，
所以的图象关于对称是错误的，故B错误；
对于C，当时，，
所以的图象关于对称是错误的，故C错误；
对于D，由于，则为周期函数，且最小正周期为，故D正确．
故选：AD．
11．BCD
【分析】化简得到，验证周期对称点和单调性得到BCD正确，函数最大值为，A错误，得到答案.
【详解】
，
对选项A：函数的最大值为，错误；
对选项B：函数的最小正周期为，正确；
对选项C：，则，故的图象关于点对称，正确；
对选项D：，则，函数单调递增，正确；
故选：BCD.
12．AB
【分析】整理可得，结合余弦函数性质逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：的最小正周期为，故A正确；
对于选项B：当，即时，取到最大值为2，故B正确；
对于选项C：因为为最小值，
所以的图象关于直线对称，故C错误；
对于选项D：因为，则，
且在上不单调，所以在上不单调，故D错误；
故选：AB.
13．7
【分析】利用同角公式、二倍角的正余弦公式化简函数，再利用函数周期列式求解即得.
【详解】
，
若对任意实数，均有，
则函数的最小正周期，即，而，于是，即，
所以的最小值为7.
故答案为：7
14．/
【分析】由题设及三角函数的定义有，应用倍角正弦公式求即可.
【详解】由题设易知：，则，
所以.
故答案为：
15．
【分析】根据题意可得，然后结合二倍角公式及同角三角函数关系可求得结果.
【详解】由题意得，
所以，
所以
，
故答案为：.
16． （答案不唯一）
【分析】应用辅助角公式有，根据正弦型函数的性质求区间最小值；由图象平移得，题设得，求出一个满足要求的a值即可.
【详解】由，，故，
所以，即时在区间上的最小值为；
图象向右平移，则，
所以恒成立，
故恒成立，即满足要求，此时.
故答案为：，（答案不唯一）
17．(1)，
(2)
【分析】（1）化简的解析式，先求得，然后利用整体代入法求得的单调递增区间；
（2）利用同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式求得正确答案.
【详解】（1）
.
因为的最小正周期为，所以，即.所以,
由，，可得，.
所以函数的单调递增区间为，.
（2）由（1）知，所以，
所以,
又，所以，所以.
所以.
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用诱导公式和二倍角余弦公式代入求解即可；
（2）当时，由零点存在定理得只有一个零点，当时，利用函数值的范围得无零点，再化简，利用函数的单调性证不等式.
【详解】（1）由，则，
所以.
（2），当时，，所以递增，
又，，由零点存在定理，在有唯一零点，
当时，，，所以，故在无零点.
综上，在有且仅有一个零点，
由上面解析知且，
所以，，
由单调性的性质知：在上单调递减，所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性结合零点存在性定理是证明或判断零点区间的常用方法，对于函数的单调性的判定一般利用定义法、性质法、导数法等.
19．(1)选择见解析；答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意先把函数进行化简，然后根据所选的条件，去利用三角函数辅助角公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数存在，从而求解；
（2）根据（1）中选的不同条件下得出不同的函数的解析式，然后求出在区间上的最大值和最小值.
【详解】（1）由题意得：
.
当选条件①：，
又因为，所以，所以，
所以时，即得：，即.
当选条件②：
从而得：当时，单调递增，
化简得：当时，单调递增，
又因为函数在区间上是增函数，
所以得：，解之得：，
当时，得，与已知条件矛盾，故条件②不能使函数存在.
故：若选条件②，不存在.
当选条件③：
由，，
得当时，，又因为，
所以得，得.
（2）当选条件①：
由（1）知：，则得：，
又因为，所以，
所以当时，有最大值；
所以当时，有最小值；
当选条件③：
由（1）知：，则得：，
又因为，所以，
所以当时，有最大值；
所以当时，有最小；
20．(1)
(2)
【分析】（1）将图象中点的坐标代入即可求解；
（2）先利用同角三角函数关系和诱导公式化简，再利用换元法转化为一元二次方程求值域即可.
【详解】（1）由图知，则，
因为，所以，
又，所以，
由，即可得，，
所以，，
又，所以，
所以当时，，
综上.
（2）由题意得，
又，
所以令，
所以当时，，则，
所以且，
因为对称轴为直线，所以，所以，
所以的值域为.
一、单选题
1．已知又，对任意的均有成立，且存在使，方程在上存在唯一实数解，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．设，则有（ ）
A．B．
C．D．
3．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
4．已知是第三象限角，则点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
5．函数的值域为（ ）
A．B．
C．D．
6．函数在区间上的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
7．我们把顶角为的等腰三角形称为“最美三角形”．已知，则“最美三角形”的顶角与一个底角之和的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．使为奇函数，且在上是减函数的θ的一个值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．的图象关于点对称
C．的值域为D．的图象关于直线对称
10．在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终点经过点，且（），定义：，称“”为“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，其中正确的是（ ）
A．的值域为
B．的图象关于对称
C．的图象关于直线对称
D．为周期函数，且最小正周期为
11．已知函数，则（ ）
A．的最大值为3B．的最小正周期为
C．的图象关于点对称D．在上单调递增
12．关于函数的下列说法正确的是（ ）
A．的最小正周期为B．的最大值为2
C．的图象关于点对称D．在上单调递减
三、填空题
13．设函数，其中是一个正整数，若对任意实数，均有，则的最小值为 .
14．已知角的终边与单位圆交于点在第二象限，且点的横坐标为，则 .
15．随着智能手机的普及，手机摄影越来越得到人们的喜爱，要得到美观的照片，构图是很重要的，用“黄金分割构图法”可以让照片感觉更自然，更舒适．“黄金九宫格”是黄金分割构图的一种形式，是指把画面横竖各分三部分，以比例1：0.618：1为分隔，4个交叉点即为黄金分割点．如图，分别用A，B，C，D表示黄金分割点．若照片长、宽比例为4：3，设，则 ．
16．已知的图象向右平移个单位后得到的图象，则函数在区间上的最小值为 ；若值域为，则满足条件的一个可以为 .
四．解答题
17．已知，函数的最小正周期为.
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若，，求的值.
18．已知函数.
(1)若，求；
(2)设，证明在上且只有一个零点，且.
19．已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在.
条件①：；
条件②：函数在区间上是增函数；
条件③：.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值和最小值.
20．已知函数的部分图像如图所示.
(1)求的解析式；
(2)若函数，当时，求的值域.
参考答案：
1．A
【分析】化简可得，根据成立，且存在，可知存在使得，即，根据函数性质建立不等式关系进行求解即可.
【详解】由
，
其中满足，
又由任意的均有成立，
即任意的均有成立，
且存在使，
可知最大值为，
又，
当时，，
又在上存在唯一实数使，
即.
故选：A
2．C
【分析】根据二倍角公式化简，然后根据正弦函数的单调性比较大小.
【详解】，，，
因为在时单调递增，所以，即.
故选：C.
3．A
【分析】根据题意，利用正切的倍角公式，求得，再结合诱导公式、三角函数的基本关系式和两角差的正切公式，即可求解.
【详解】因为，所以，解得或，
因为，所以，
所以
.
故选：A．
4．B
【分析】根据角所在象限结合二倍角正弦公式即可判断答案.
【详解】因为是第三象限角，故，
则，
故在第二象限，
故选：B
5．B
【分析】根据题意，由三角恒等变换公式化简，然后换元，结合二次函数的值域，即可得到结果.
【详解】因为
，且，
则，
令，则，
所以，，对称轴为，
当时，，
当时，，
即函数的值域为.
故选：B
6．D
【分析】先根据两角和正弦公式化简函数，然后利用正弦函数性质求解最值.
【详解】，
因为，所以，根据正弦函数的性质，，
所以当时，有最大值为2.
故选：D.
7．A
【分析】由三角形内角和可求出底角为，用诱导公式和倍角公式计算即可.
【详解】依题意，“最美三角形”的底角为，所以顶角与一个底角之和为， 所以.
故选:A
8．C
【分析】通过辅助角公式化简函数，再通过奇偶性求参，根据单调性利用排除法和验证法得到选项.
【详解】
,
又为奇函数，所以，且，
可得，且，排除B,D选项,
当时，，，
则在上单调增，
当时，，，,
则在上单调减.
故选：C.
9．ACD
【分析】逆用两角和差的正弦公式化简，利用余弦型函数的性质确定周期、对称轴、对称中心、值域即可得解.
【详解】因为，
所以最小正周期为，故A正确；
由，得，所以对称中心为，当时，函数的一个对称中心为，故B错误；
因为，所以，故C正确；
由，得，即函数的对称轴方程为，当时，可得函数的一条对称轴，故D正确.
故选：ACD
10．AD
【分析】利用三角函数的定义得到，，从而得到，再根据三角函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】由三角函数的定义可知，，
所以，
对于A，由，则，故A正确；
对于B，由于，则，
所以的图象关于对称是错误的，故B错误；
对于C，当时，，
所以的图象关于对称是错误的，故C错误；
对于D，由于，则为周期函数，且最小正周期为，故D正确．
故选：AD．
11．BCD
【分析】化简得到，验证周期对称点和单调性得到BCD正确，函数最大值为，A错误，得到答案.
【详解】
，
对选项A：函数的最大值为，错误；
对选项B：函数的最小正周期为，正确；
对选项C：，则，故的图象关于点对称，正确；
对选项D：，则，函数单调递增，正确；
故选：BCD.
12．AB
【分析】整理可得，结合余弦函数性质逐项分析判断.
【详解】由题意可知：，
对于选项A：的最小正周期为，故A正确；
对于选项B：当，即时，取到最大值为2，故B正确；
对于选项C：因为为最小值，
所以的图象关于直线对称，故C错误；
对于选项D：因为，则，
且在上不单调，所以在上不单调，故D错误；
故选：AB.
13．7
【分析】利用同角公式、二倍角的正余弦公式化简函数，再利用函数周期列式求解即得.
【详解】
，
若对任意实数，均有，
则函数的最小正周期，即，而，于是，即，
所以的最小值为7.
故答案为：7
14．/
【分析】由题设及三角函数的定义有，应用倍角正弦公式求即可.
【详解】由题设易知：，则，
所以.
故答案为：
15．
【分析】根据题意可得，然后结合二倍角公式及同角三角函数关系可求得结果.
【详解】由题意得，
所以，
所以
，
故答案为：.
16． （答案不唯一）
【分析】应用辅助角公式有，根据正弦型函数的性质求区间最小值；由图象平移得，题设得，求出一个满足要求的a值即可.
【详解】由，，故，
所以，即时在区间上的最小值为；
图象向右平移，则，
所以恒成立，
故恒成立，即满足要求，此时.
故答案为：，（答案不唯一）
17．(1)，
(2)
【分析】（1）化简的解析式，先求得，然后利用整体代入法求得的单调递增区间；
（2）利用同角三角函数的基本关系式、两角和的余弦公式求得正确答案.
【详解】（1）
.
因为的最小正周期为，所以，即.所以,
由，，可得，.
所以函数的单调递增区间为，.
（2）由（1）知，所以，
所以,
又，所以，所以.
所以.
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用诱导公式和二倍角余弦公式代入求解即可；
（2）当时，由零点存在定理得只有一个零点，当时，利用函数值的范围得无零点，再化简，利用函数的单调性证不等式.
【详解】（1）由，则，
所以.
（2），当时，，所以递增，
又，，由零点存在定理，在有唯一零点，
当时，，，所以，故在无零点.
综上，在有且仅有一个零点，
由上面解析知且，
所以，，
由单调性的性质知：在上单调递减，所以，
所以.
【点睛】关键点点睛：利用函数的单调性结合零点存在性定理是证明或判断零点区间的常用方法，对于函数的单调性的判定一般利用定义法、性质法、导数法等.
19．(1)选择见解析；答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意先把函数进行化简，然后根据所选的条件，去利用三角函数辅助角公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数存在，从而求解；
（2）根据（1）中选的不同条件下得出不同的函数的解析式，然后求出在区间上的最大值和最小值.
【详解】（1）由题意得：
.
当选条件①：，
又因为，所以，所以，
所以时，即得：，即.
当选条件②：
从而得：当时，单调递增，
化简得：当时，单调递增，
又因为函数在区间上是增函数，
所以得：，解之得：，
当时，得，与已知条件矛盾，故条件②不能使函数存在.
故：若选条件②，不存在.
当选条件③：
由，，
得当时，，又因为，
所以得，得.
（2）当选条件①：
由（1）知：，则得：，
又因为，所以，
所以当时，有最大值；
所以当时，有最小值；
当选条件③：
由（1）知：，则得：，
又因为，所以，
所以当时，有最大值；
所以当时，有最小；
20．(1)
(2)
【分析】（1）将图象中点的坐标代入即可求解；
（2）先利用同角三角函数关系和诱导公式化简，再利用换元法转化为一元二次方程求值域即可.
【详解】（1）由图知，则，
因为，所以，
又，所以，
由，即可得，，
所以，，
又，所以，
所以当时，，
综上.
（2）由题意得，
又，
所以令，
所以当时，，则，
所以且，
因为对称轴为直线，所以，所以，
所以的值域为.
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