初中第1章 分式1.1 分式精品习题

这是一份初中第1章 分式1.1 分式精品习题，文件包含课时练湘教版2023-2024学年初中数学七年级上册11分式同步分层训练培优卷教师版docx、课时练湘教版2023-2024学年初中数学七年级上册11分式同步分层训练培优卷学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。

一、选择题
1．（2022八上·西城期末）下列各式从左到右的变形正确的是（ ）
A．a6a3b=a2bB．a+3ca=3c
C．a−3a2−9=1a−3D．a2−9a2−6a+9=a+3a−3
【答案】D
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：a6a3b=a3b≠a2b，故A不合题意；
a+3ca的分子、分母中不含公因式，不能化简，故B不合题意；
a−3a2−9=a−3(a−3)(a+3)=1a+3≠1a−3，故C不合题意；
a2−9a2−6a+9=(a+3)(a−3)(a−3)2=a+3a−3，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用分式的基本性质逐项判断即可。
2．（2022八上·莱西期末）分式a2−1a2−2a+1的值等于0，则a的值为（ ）
A．0B．1C．-1D．±1
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意得：
a2−1=0a2−2a+1≠0，
解得：a=−1．
故答案为：C
【分析】根据分式的值为0的条件可得a2−1=0a2−2a+1≠0，再求出a的值即可。
3．（2021八上·蓬江期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”，下列分式中是和谐分式的是（ ）
A．x2−y2(x+y)2B．x+yx2−y2C．x−2yx2−y2D．x−2x2+2
【答案】C
【知识点】分式的约分；定义新运算
【解析】【解答】解：A、x2−y2(x+y)2=(x+y)(x−y)(x+y)2=x−yx+y，故A不是“和谐分式”；
B、x+yx2−y2=x+y(x+y)(x−y)=1x−y，故B不是“和谐分式”；
C、x−2yx2−y2=x−2y(x+y)(x−y)，故C是“和谐分式”；
D、x−2x2+2，原式的分子与分母都不能因式分解，故D不是“和谐分式”；
故答案为：C．
【分析】根据“和谐分式”的定义逐项判断即可。
4．（2022八上·石景山期末）使得分式2mm+3值为零的m的值是（ ）
A．m=0B．m=2C．m≠−3D．m≠3
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式2mm+3值为零，
∴m=0且m+3≠0，
∴m=0．
故答案为：A．
【分析】利用分式的值为0的条件可得m=0且m+3≠0，再求出m的值即可。
5．（2022八上·淮南期末）下列分式中，不是最简分式的是（ ）
A．x2−1x2+1B．x+1x2−1C．x2−1xD．x−1x+1
【答案】B
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：x2−1x2+1的分子和分母没有公因式，是最简分式，A不合题意；
x+1x2−1的分子和分母有公因式x+1，不是最简分式，B符合题意；
x2−1x的分子和分母没有公因式，是最简分式，C不合题意；
x−1x+1的分子和分母没有公因式，是最简分式，D不合题意；
故答案为：B．
【分析】根据最简分式的定义逐项判断即可。
6．（2021八上·滑县期末）对于非负整数x，使得 x2+3x+3 是一个正整数，则符合条件x的个数有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【答案】B
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： x2+3x+3=(x+3)2−6x−6x+3 ，
=(x+3)2−6(x+3)+12x+3 ，
=x+3−6+12x+3 ，
=x−3+12x+3 ，
∵x 为非负整数， x2+3x+3 是一个正整数，
∴x 的所有可能取值为 0，1，3，9 ，
即符合条件x的个数有4个.
故答案为：B.
【分析】x2+3x+3可变形为x−3+12x+3，然后根据x2+3x+3是一个正整数就可得到x的值.
7．（2019八上·重庆期中）若 x 是整数，则使分式 8x+22x−1 的值为整数的 x 值有（ ）个.
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解： 8x+22x−1=4(2x−1)+62x−1=4+62x−1
由题意可知， 2x−1 是6的整数约数，
∴2x−1=1,2,3,6,−1,−2,−3,−6
解得： x=1,32,2,72,0,−12,−1,−52 ，
其中x的值为整数有： x=0,1,−1,2 共4个.
故答案为：C.
【分析】先将假分式 8x+22x−1 分离可得出 4+62x−1 ，根据题意只需 2x−1 是6的整数约数即可.
8．将甲、乙、丙三个正分数化为最简分数后，其分子分别为6、15、10，其分母的最小公倍数为360．判断甲、乙、丙三数的大小关系为何？（ ）
A．乙＞甲＞丙B．乙＞丙＞甲C．甲＞乙＞丙D．甲＞丙＞乙
【答案】A
【知识点】最简分式
【解析】【解答】解：360=2×2×2×3×3×5；
因为6=2×3，
所以化简后的甲的分母中不含有因数2、3，只能为5，
即化简后的甲为 65 ；
因为15=3×5，
所以化简后的乙的分母中不含有因数3、5，只能为2，4或8；
因为10=2×5，
所以化简后的丙的分母中不含有因数2、5，只能为3或9；
因为化简后的三个数的分母的最小公倍数为360，甲的分母为5，
所以乙、丙的最小公倍数是360÷5=72，
⑴当乙的分母是2时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：2×9=18，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
⑵当乙的分母是4时，丙的分母是9时，
乙、丙的最小公倍数是：4×9=36，
它不满足乙、丙的最小公倍数是72；
所以乙的分母只能是8，丙的分母只能是9，
此时乙、丙的最小公倍数是：8×9=72，
所以化简后的乙是 158 ，丙是 109 ，
因为 158>65>109 ，
所以乙＞甲＞丙．
故答案为：A．
【分析】首先将360分解质因数，根据甲，乙和丙化为最简分数后的分子，可以对他们的分母情况进行假设排除，即甲的分母只能为5；乙为2，4或8；丙为3和9。根据化简之后的乙和丙的分母情况进行分来讨论，从而得出三个数的具体数值，进行大小的比较即可。
二、填空题
9．（2022八上·延庆期末）若分式2xx−1的值为0，则x的值为 ．
【答案】0
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：∵分式2xx−1的值为0，
∴x=0，x−1≠0．
故答案为：0．
【分析】利用分式的值为0的条件可得x=0，x−1≠0，再求出x的值即可。
10．（2022八上·丰满期末）若分式3x−8有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≠8
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式3x−8有意义，
∴x−8≠0，
解得：x≠8．
故答案为：x≠8．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式x−8≠0，再求出x的取值范围即可。
11．（2022八上·北京月考）分式(m+1)(m−2)m2−3m+2的值为0，则m= ．
【答案】-1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：根据题意知，(m+1)(m−2)=0，且分母m2−3m+2≠0时，
解得，m=−1．
即当m=−1时，分式(m+1)(m−2)m2−3m+2的值为零．
故答案是：-1．
【分析】根据分式的值为0的条件可得(m+1)(m−2)=0且m2−3m+2≠0，再求出m的值即可。
12．（2022八上·蓬莱期中）当x= 时，式子x+1x+2÷x+3x+4无意义．
【答案】-2，-3，-4
【知识点】分式有意义的条件
【解析】【解答】解∶∵式子x+1x+2÷x+3x+4无意义，
∴x+2=0，x+3=0，x+4=0，
解得：x=−2，−3，−4，
故答案为：-2，-3，-4
【分析】根据分式无意义的条件可得x+2=0，x+3=0，x+4=0，再求出x的值即可。
13．（2019八上·河间期末）阅读下面的材料，并解答问题：
分式 2x+8x+2 （ x≥0 ）的最大值是多少？
解： 2x+8x+2=2x+4+4x+2=2(x+2)x+2+4x+2=2+4x+2 ，
因为x≥0，所以x+2的最小值是2，所以 1x+2 的最大值是 12 ，所以 2+4x+2 的最大值是4，即 2x+8x+2 （x≥0）的最大值是4．
根据上述方法，试求分式 2x2+5x2+1 的最大值是 .
【答案】5
【知识点】代数式求值；分式的基本性质
【解析】【解答】解： ∵2x2+5x2+1=2(x2+1)+3x2+1=2+3x2+1，
∵x2≥0，
∴x2+1≥1，
所以： x2+1 的最小值是 1，
∴3x2+1 的最大值是 3，
∴2+3x2+1 的最大值是 5，
∴2x2+5x2+1 的最大值是 5.
故答案为：5
【分析】根据题意：有 2x2+5x2+1=2(x2+1)+3x2+1=2+3x2+1， 结合 x2+1 的最小值是 1， 从而可得答案．
三、解答题
14．已知y＝ x23−5x ，x取哪些值时，y的值是零?分式无意义?y的值是正数?
【答案】解：x=0时，y的值是零；
x＝35时，分式无意义；
x＜35且x≠0时，y的值是正数．
【知识点】分式有意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【分析】根据分式的值为零的条件：分子为零、分母不为零；分母为零分式无意义；同号相除得正的法则，逐个解答即可。
四、综合题
15．（2022八上·平谷期末）阅读理解：
材料1：为了研究分式1x与其分母x的数量变化关系，小力制作了表格，并得到如下数据：
从表格数据观察，当x>0时，随着x的增大，1x的值随之减小，若x无限增大，则1x无限接近于0；当x<0时，随着x的增大，1x的值也随之减小．
材料2：在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数小于分母的次数，称这样的分式为真分式．如果分子的次数大于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．任何一个假分式都可以化为一个整式与一个真分式的和．例如：2x+1x−2=2x−4+4+1x−2=2(x−2)+5x−2=2(x−2)x−2+5x−2=2+5x−2；
根据上述材料完成下列问题：
（1）当x>0时，随着x的增大，2+1x的值 (增大或减小)；当x<0时，随着x的增大，3x+1x的值 （增大或减小）；
（2）当x>−3时，随着x的增大，2x+8x+3的值无限接近一个数，请求出这个数；
（3）当0【答案】（1）减小；减小
（2）解：∵2x+8x+3=2x+6+2x+3=2(x+3)+2x+3=2+2x+3
∵当x>−3时，2x+3的值无限接近于0，
∴当x>−3时，2x+8x+3无限接近于2；
（3）1<3x−4x−2<2
【知识点】分式的值；定义新运算
【解析】【解答】（1）解：∵当x>0时，随着x的增大，1x的值随之减小，
∴随着x的增大，2+1x的值随之减小；
∵当x<0时，随着x的增大，1x的值也随之减小，
∴随着x的增大，3x+1x的值随之减小，
故答案为：减小；减小；
（3）解：3x−4x−2=3(x−2)+2x−2=3+2x−2，
∵0∴−2∴−2<2x−2<−1，
∴3−2<3+2x−2<3−1，
即1<3+2x−2<2
∴1<3x−4x−2<2，
故答案为：1<3x−4x−2<2
【分析】（1）参照题干中的计算方法求解即可；
（2）将代数式2x+8x+3变形为2x+8x+3=2x+6+2x+3=2(x+3)+2x+3=2+2x+3，再求解即可；
（3）将代数式3x−4x−2变形为3x−4x−2=3(x−2)+2x−2=3+2x−2，再求解即可。
16．（2021八上·房山期中）在小学时我们知道，分数中有“真分数”与“假分数”．在分式中，对于只含有一个字母的分式，我们给出定义：分子的次数小于分母的次数的分式叫做“真分式”，例如3x+1，2xx2+1；分子的次数大于或等于分母的次数的分式叫做“假分式”，例如x−1x+1，x2x−1．
（1）现有以下代数式：①42−m，②m2−13m+2，③m−12，④m−12+m2．其中是“真分式”的为 ；是“假分式”的为 （注：填写序号即可）
（2）若分式32m+1的值为整数，求出整数m的值；
（3）我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和，例如：73=2+13．类似的，“假分式”也可以化为整式与“真分式”的和．
例如：xx+1=(x+1)−1x+1=1−1x+1；
x2x−1=x2−1+1x−1=(x+1)(x−1)+1x−1=x+1+1x−1．
请解决以下问题：若分式2m2−m−1m+1的值为整数，求出整数m的值．
【答案】（1）①④；②
（2）解：分式32m+1的值为整数，则2m+1的值为±1或±3，
当2m+1=−1时，m=−1；
当2m+1=1时，m=0；
当2m+1=−3时，m=−2；
当2m+1=3时，m=1；
整数m的值为：−1，0，−2，1；
（3）解：2m2−m−1m+1
=2m2+2m−3m−3+2m+1
=2m(m+1)−3(m+1)+2m+1
=2m−3+2m+1
要使2m2−m−1m+1的值为整数，即2m−3+2m+1为整数，则2m+1是整数即可，
所以m+1的值为±1或±2，
当m+1=−1时，m=−2；
当m+1=1时，m=0；
当m+1=−2时，m=−3；
当m+1=2时，m=1；
整数m的值为：−2，0，−3，1
【知识点】分式的值；定义新运算
【解析】【解答】解：（1）由真分式和假分式的定义可得：真分式的为①④，假分式的为②；
【分析】（1）根据“真分式”和“假分式”的定义求解即可；
（2）根据题意可得2m+1的值为±1或±3，再求出m的值即可；
（3）先求出2m2−m−1m+1=2m−3+2m+1，再结合2m+1是整数，可得m+1的值为±1或±2，最后求出m的值即可。x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
…
1x
…
-0.25
−0.3·
-0.5
-1
无意义
1
0.5
0.3·
0.25
…