八年级上册2.2 命题与证明精品课时练习

这是一份八年级上册2.2 命题与证明精品课时练习，文件包含课时练湘教版2023-2024学年初中数学八年级上册22命题与证明同步分层训练培优卷教师版docx、课时练湘教版2023-2024学年初中数学八年级上册22命题与证明同步分层训练培优卷学生版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。

1．（2023七下·黄岩期末）下列命题中，真命题的是（ ）
A．如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为补角
B．内错角相等
C．如果两条直线平行，那么同旁内角相等
D．有三条直线a，b，c，如果a∥b，b∥c，那么a∥c
【答案】D
【知识点】余角、补角及其性质；平行公理及推论；平行线的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解： A、如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角，故原说法错误，属于假命题，不符合题意；
B、两直线平行，内错角相等，故原说法错误，属于假命题，不符合题意；
C、如果两条直线平行，那么同旁内角互补，故原说法错误，属于假命题，不符合题意；
D、有三条直线a，b，c，如果a∥b，b∥c，那么a∥c，此说法正确，属于真命题，故符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据和为90°的两个角互为余角即可判断A；根据两直线平行，内错角相等，同旁内角互补，可判断B、C；根据平行于同一直线的两条直线互相平行，可判断D.
2．（2023八下·慈溪期末）用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中（ ）
A．没有一个内角小于60°B．每一个内角都小于60°
C．至多有一个内角不小于60°D．每一个内角都大于60°
【答案】B
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：利用反证法证明，首先应假设结论的反面成立，题目中，选项B符合题意.
故答案为：B.
【分析】反证法的步骤：首先应假设结论的反面成立，即可直接选择.
3．（2023八下·肃宁期中）已知命题甲：等角的余角相等；命题乙：若a=b，则a2=b2，则下列判断正确的是（ ）
A．命题甲的逆命题的题设是两个角相等
B．命题乙的逆命题的结论是a2=b2
C．命题甲的逆命题是假命题
D．命题乙的逆命题是假命题
【答案】D
【知识点】真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】解：A、命题甲的逆命题：如果两个角的余角相等，那么这两个角相等，故A错误；
B、命题乙的逆命题的条件是a2=b2，结论是a=b， 故B错误；
C、命题甲的逆命题是真命题，故C错误；
D、命题乙的逆命题是假命题 ，故D正确；
故答案为：D.
【分析】分别求出两个命题的逆命题，然后判断真假，再逐一判断即可.
4．（2023七下·永年期中）判断命题“如果n<1，那么n2−1<0”是假命题，只需举出一个反例，反例中的n可以为（ ）
A．12B．−12C．0D．−2
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A，代入 n=12， n2−1<0 ，不符合题意；
B，代入 n=-12，n2−1<0 ，不符合题意；
C，代入 n=0，n2−1<0 ，不符合题意；
D，代入 n=-2，n2−1>0 ，符合题意；
故答案为：D。
【分析】把A，B，C，D选项的四个n的值代入到 n2−1的式子中即可。
5．（2023七下·崆峒期中）下列说法：①对顶角相等；②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；③相等的角是对顶角；④内错角相等．其中错误的有( )
A．①②B．①③C．②④D．③④
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解： ①对顶角相等，是真命题；
②在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，是真命题；
③相等的角不一定是对顶角，是假命题；
④两直线平行线，内错角相等，是假命题；
∴其中错误的有③④，
故答案为：D.
【分析】根据真命题和假命题对每个说法一一判断即可。
6．（2023七下·石家庄期中）能说明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题的反例是（ ）
A．a=2，b=−1B．a=−1，b=−1
C．a=−1，b=0D．a=−1，b=−2
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、当 a=2，b=−1 时，满足“若a>b，则a2>b2”，不符合题意；
B：当a=−1，b=−1时，满足“若a>b，则a2>b2”，不符合题意；
C：当a=−1，b=0时，满足“若a>b，则a2>b2”，不符合题意；
D：当a=−1，b=−2时，不满足“若a>b，则a2>b2”，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据题意将每个选项代入命题判断求解即可。
7．（2023七下·宣化期中）下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若a2=b2，则a=bB．若a>b，则|a|>|b|
C．同位角相等D．对顶角相等
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解： A：若a2=b2，则a=b或a=-b，该命题为假命题，不符合题意；
B：若bC：两直线平行，同位角相等，该命题为假命题，不符合题意；
D：对顶角相等，该命题为真命题，符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据命题的定义，对每个选项一一判断即可。
二、填空题
8．（2023七下·如东月考）命题“内错角相等”是 命题．
【答案】假
【知识点】平行线的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】解：命题“内错角相等”是假命题.
故答案为：假.
【分析】只有当两直线平行时，内错角才相等，据此判断.
9．（2023八下·阜宁期中）要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设 ．
【答案】等腰三角形的两底都是直角或钝角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：要用反证法证明等腰三角形的底角必为锐角，应先假设等腰三角形的两底角都是直角或钝角.
故答案为：等腰三角形的两底角都是直角或钝角.
【分析】根据反证法的步骤，直接写出题设的反面即可.
10．（2023七下·深圳期中）下列说法中：①两条直线被第三条直线所截，所得的内错角相等；②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③三角形的三条高交于一点；④有公共顶点且相等的两个角是对顶角；⑤平行于同一条直线的两条直线平行；其中正确的个数是 ．
【答案】2
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：①两条平行线被第三条直线所截，所得的内错角相等，故①不符合题意；
②平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故②符合题意；
③三角形的三条高所在的直线交于一点，故③不符合题意；
④有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，故④不符合题意；
⑤平行于同一条直线的两条直线平行，故⑤符合题意；
故答案为：2
【分析】利用真命题的定义逐项判断即可。
11．（2023七下·福州期中）把下列命题补充完整，使之成为真命题：“在同一平面内的直线a，b，c，若a⊥b，b∥c，则 .”
【答案】a⊥c
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：在同一平面内的直线a，b，c，若a⊥b，b∥c，则a⊥c.
故答案为：a⊥c.
【分析】若两条平行线中的一条垂直于另一条直线，则平行线中的另一条垂直于该直线.
12．（2021·回民模拟）以下四个命题：①用换元法解分式方程x2+1x+2xx2+1＝1时，如果设x2+1x＝y，那么可以将原方程化为关于y的整式方程y2+y－2＝0；②二次函数y＝ax2－2ax+1，自变量的两个值x1，x2对应的函数值分别为y1、y2，若|x1－1|＞|x2－1|，则a（y1－y2）＞0；③有一个圆锥，与底面圆直径是3且体积为3π2的圆柱等高，如果这个圆锥的侧面展开图是半圆，那么它的母线长为43；④如果半径为r的圆的内接正五边形的边长为a，那么a＝2r sin54°．其中正确的命题的序号为
【答案】②③
【知识点】换元法解分式方程；圆内接正多边形；圆锥的计算；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；真命题与假命题
【解析】【解答】设x2+1x＝y，原方程可化为y+2y=1，整理得y2-y+2＝0，故①不符合题意；
二次函数y＝ax2－2ax+1的对称轴是x=1，
当a＜0时，如图，
当1＜x1＜x2时，y1＞y2，
此时|x1−1|＞|x2−1|，y1＜y2，
∴a(y1−y2)＞0，
当a＞0时，同理可得a(y1−y2)＞0，故②符合题意；
设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为R，
根据题意可得：2πr=180·π·R180，
则R∶r=2∶1，
由π·(32)2h=32π，
得到h=233，
∴h2+r2=R2，即(233)2+14R2=R2，
∴R=43，
∴它的母线长是43，故③符合题意；
根据圆内接正五边形的性质和垂径定理可得，
∴12a=r·sin36°，
∴a=2rsin36°=2rcs54°，故④不符合题意；
故答案是②③．
【分析】①利用换元法代入并化简即可；②当1＜x1＜x2时，y1＞y2，得出a(y1−y2)＞0，当a＞0时，同理可得a(y1−y2)＞0，故②符合题意；③设圆锥的高为h，底面半径为r，母线长为R，根据题意可得：2πr=180·π·R180，则R∶r=2∶1，得出它的母线长是43，故③符合题意；④根据圆内接正五边形的性质和垂径定理可得，a=2rsin36°=2rcs54°，故④不符合题意；即可得出答案。
三、解答题
13．已知 x3+bx2+cx+d 的系数都是整数．若bd+cd为奇数，求证：这个多项式不能表示为两个整系数的多项式的乘积．
【答案】证明：假设该多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，
∴x3+bx2+cx+d≡（x+a）（x2+mx+n）（a，m，n均是整数），
即x3+bx2+cx+d≡x3+（m+a）x2+（am+n）x+an，
∴b=m+a，c=am+n，d=an，
∵bd+cd=（b+c）d为奇数，
∴b+c是奇数且d也是奇数，
∴d=an可得a是奇数，n也是奇数，
∴b+c=m+a+am+n=m（a+1）+（a+n），
∴a+1是偶数，a+n也是偶数，
∴b+c也是偶数，这与题意相矛盾，
∴假设不成立，a，m，n不是整数，
∴这个多项式不能表示为两个整系数的多项式的乘积．
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设该多项式能分解为两个整系数多项式的乘积，即x3+bx2+cx+d≡（x+a）（x2+mx+n）≡x3+（m+a）x2+（am+n）x+an（a，m，n均是整数），根据恒等式相对应的系数相等，再分析，可得假设与题意相矛盾，即假设不成立，故得证.
14．平面上有8条直线两两相交．试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°．
【答案】证明：在平面上任取一点O，过O点分别作这8条直线的平行线l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'；由平行线的性质知： l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'之间互成的角与原来的8条直线 l1、l2、...、l8之间互成的角相等．
∴我们可考察l1'、l2'、l3'、l4'、l5'、l6'、l7' 、l8'与 l1' 所成的角，不难发现这8个角的和为一个平角，即180°．
假设这八个角没有一个小于23°，则这8个角的和至少为：23°×8=184°；这是不可能的．
∴这七个角中至少有一个小于23°，
不妨设为 l1' 与 l2' 的交角小于23°，
即原来的直线 l1与l2 所成的角小于23°．
【知识点】反证法
【解析】【分析】假设这八个角没有一个小于23°，算出这8个角的和大于180°，与已知矛盾，从而得出原命题成立.
四、综合题
15．（2021七下·昌平期末）（概念学习）定义：对于一个三位的自然数 n ，各数位上的数字都不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数，则称这个自然数 n 为“好数”．
例如：714是“好数”，因为它是一个三位的自然数，7，1，4都不为0，且 7+1=8 ， 8÷4=2 ，2为整数；
643不是“好数”，因为 6+4=10 ， 10÷3 的商不是整数．
（1）（初步探究）
自然数312，675，981，802是“好数”的为 ；
（2）在横线上填“真”或“假”：
①个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是 命题；
②各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是 命题；
（3）（深入思考）
求同时满足下列条件的“好数”：
①百位数字比十位数字大5；
②百位数字与十位数字之和等于个位数字．
【答案】（1）312，981
（2）假；真
（3）解：设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为x+5.
由题意可得：x+x+5=y，
∵1≤y≤9，1≤x≤9，
∴1≤2x+5≤9，
∴1≤x≤2，
∴x=1或2，
当x=1时，好数为617，
当x=2，好数为729，
综上所述：满足条件的好数为617或729．
【知识点】定义新运算；真命题与假命题
【解析】【解答】解：【初步探究】（1）由题意可得：312是“好数”，因为它是一个三位的自然数，3，1，2都不为0，且3+1=4，4÷2=2，2为整数；
675不是“好数”，因为6+7=13，13÷5的商不是整数；
981是“好数”，因为它是一个三位的自然数，9，8，1都不为0，且9+8=17，17÷1=17，17为整数；
802不是“好数”，因为十位数字是0；
所以“好数”为312，981，
故答案为：312，981；（2）①因为801不是“好数”，所以个位数字为1的一个三位自然数一定是“好数”是假命题，②各数位上的数字都相同的一个三位自然数，一定满足各数位上的数字不为0，且百位数字与十位数字之和除以个位数字的商为整数2. 所以各数位上的数字都相同的一个三位自然数一定是“好数”是真命题；
故答案为：假，真；
【分析】（1）由好数的定义可求解；
（2）由好数的定义可判断；
（3）设十位数字为x，个位数字为y，则百位数字为x+5.由题意列出方程，可求解。
16．（2019七上·昌平期中）如图，设A是由n×n个有理数组成的n行n列的数表，其中aij（i，j＝1，2，3，…，n）表示位于第i行第j列的数，且aij取值为1或﹣1．对于数表A给出如下定义：记xi为数表A的第i行各数之积，yj为数表A的第j列各数之积．
令S＝（x1+x2+…+xn）+（y1+y2+…+yn），将S称为数表A的“积和”．
（1）当n＝4时，对如下数表A，求该数表的“积和”S的值；
（2）是否存在一个3×3的数表A，使得该数表的“积和”S＝0？并说明理由；
（3）当n＝10时，直接写出数表A的“积和”S的所有可能的取值．
【答案】（1）由题意可知，
x1＝1，x2＝﹣1，x3＝1，x4＝1，
y1＝﹣1，y2＝﹣1，y3＝1，y4＝﹣1，
∴S＝2+（﹣2）＝0；
（2）假设存在，一个3×3的数表A，使得该数表的“积和”S＝0，
则S＝（x1+x2+x3）+（y1+y2+y3）＝0，
∵x1、x2、x3、y1、y2、y3的值只能去1或﹣1，
∴x1、x2、x3、y1、y2、y3中只能有3个1或3个﹣1，
∴设3×3的数表A中9个数的乘积为t，
则t＝x1x2x3＝y1y2y3，
∴t2＝x1x2x3y1y2y3＝﹣1，
这与t2≥0矛盾，
故假设不成立，
∴不存在一个3×3的数表A，使得该数表的“积和”S＝0；
（3）n＝10时，S的可能取值﹣20，﹣16，﹣12，﹣8，﹣4，0，4，8，12，16，20．
【知识点】反证法；探索数与式的规律；定义新运算
【解析】【分析】（1）由题意分别求出x1=1，x2=-1，x3=1，x4=1，y1=-1，y2=-1，y3=1，y4=-1；（2）假设存在，一个3×3的数表A，使得该数表的“积和”S=0，由题意可知x1、x2、x3、y1、y2、y3中只能有3个1或3个-1，再由这些数的乘积t2=x1x2x3y1y2y3=-1，与t2≥0矛盾，即可说明不存在；（3）n=10时，每行10个1，9个1，8个1，…，1个1，0个1，这11中情况分别求出S即可．a11
a12

a1n
a21
a22

a2n
M
M

M
an1
an2

ann
1
1
﹣1
﹣1
1
﹣1
1
1
1
﹣1
﹣1
1
﹣1
﹣1
1
1