初中数学湘教版九年级上册2.3 一元二次方程根的判别式精品同步训练题

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1．（2022九上·紫金期末）一元二次方程x2−3x+1=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】由分析可知，一元二次方程 x2−3x+1=0 的判别式△=b2-4ac=9-4=5＞0，则该方程有两个不相等的实数根；
故答案为：B。
【分析】一元二次方程的根的情况主要依据其判别式△=b2-4ac：若△＞0，表示有两个不相等的实数根；若△=0，表示有两个相等的实数根；若△＜0，表示没有实数根。
2．（2022九上·代县期末）若关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．-1B．1C．2D．3
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=(−2)2−4×1×k=4−4k>0，
解得：k<1，故A符合题意．
故答案为：A．
【分析】由关于x的一元二次方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，可得△＞0，据此解答即可.
3．（2023九上·孟州期末）对于实数a，b定义运算“⊗”为a⊗b=b2−ab，例如3⊗2=22−3×2=−2，则关于x的方程(k−3)⊗x=k−1的根的情况，下列说法正确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；定义新运算
【解析】【解答】解：∵(k−3)⊗x=k−1，
∴x2−(k−3)x=k−1，
∴x2−(k−3)x+1−k=0，
∴Δ=b2−4ac=(k−3)2−4(1−k)=k2−6k+9−4+4k=(k−1)2+4>0，
∴方程x2−(k−3)x+1−k=0有两个不相等的实数根，
故答案为：A.
【分析】根据定义的新运算法则列出方程，并将方程整理成一般形式，进而根据对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，即可判断得出答案.
4．（2022九上·南海月考）下列方程中，没有实数根的是（ ）
A．x2−1=0B．x2−2x−4=0
C．x2−x+2=0D．(x−2)(x+1)=0
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：A．∵a=1，b=0，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=02−4×1×(−1)=4>0，
∴方程x2−1=0有两个不相等的实数根，选项A不符合题意；
B．∵a=1，b=−2，c=−4，
∴Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×(−4)=20>0，
∴方程x2−2x−4=0有两个不相等的实数根，选项B不符合题意；
C．∵a=1，b=−1，c=2，
∴Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×2=−7<0，
∴方程x2−x+2=0没有实数根，选项C符合题意；
D．把原方程转化为一般形式为x2−x−2=0，
∴a=1，b=−1，c=−2，
∴Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×(−2)=9>0，
∴方程(x−2)(x+1)=0有两个不相等的实数根，选项D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】先计算出各项中△的值，取△＜0的选项即可.
5．（2023九上·礼泉期末）若关于x的一元二次方程 ( k-2)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，且k为非负整数，则符合条件的k的个数为（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 ( k-2)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，k为非负整数，
∴4-4（k-2）＞0，k-2≠0
解之：k＜3且k≠2，
∵k为非负整数，
∴k=0，1，
∴符合条件的k的个数为2个.
故答案为：C
【分析】利用一元二次方程的定义可知k-2≠0，一元二次方程有两个不相等的实数根，可知b2-4ac＞0，可得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集，再根据k为非负整数，可确定出k的值.
6．（2023九上·韩城期末）若一元二次方程ax2−x+2=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为（ ）
A．a<18B．a<18且a≠0C．a≤18且a≠0D．a>18
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵一元二次方程ax2−x+2=0有两个不相等的实数根
∴Δ＞0
∴（-1）2-4×2×a＞0
解得a<18
又a≠0
∴a<18且a≠0
故答案为：B.
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得a≠0且Δ=b2-4ac＞0，代入求解可得a的范围.
7．（2023九上·武功期末）若关于x的一元二次方程x2−4x+m=0没有实数根，点A(x1，y1)、B(x2，y2)是反比例函数y=mx的图象上的两个点，若x1A．y1>y2 B．y1【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-4x+m=0没有实数根，
∴b2-4ac＜0，即（-4）2-4m＜0，解得m＞4，
∴ 反比例函数y=mx的图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，
∴ x1故答案为：A.
【分析】根据一元二次方程没有实数根可得b2-4ac＜0，据此列出不等式，求解得出m＞4，进而根据反比例函数的图象与系数的关系，判断出图象的两支分别位于第一、三象限，在每一个象限内y随x的增大而减小，从而即可判断得出答案.
8．（2023九上·万州期末）已知两个多项式A=x2+x+1，B=x2−x+1，x为实数，将A、B进行加减乘除运算：
①若A+B=10，则x=2；
②|A−B−2|+|A−B+4|=6，则x需要满足的条件是−2≤x≤1；
③A×B=0，则关于x的方程无实数根；
④若x为正整数(x≠3)，且A−3B−7为整数，则x=1，2，4，5.
上面说法正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【知识点】整式的加减运算；解含绝对值符号的一元一次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵A=x2+x+1，B=x2−x+1，
∴①当A+B=10时，则x2+x+1+x2−x+1=10，解得：x=±2，故①错误；
②当|A−B−2|+|A−B+4|=6，则|A−B−2|+|A−B+4|=|2x−2|+|2x+4|=6，
当x≤−2时，|2x−2|+|2x+4|=2−2x−(2x+4)=−4x−2=6，解得：x=−2；
当−2当x>1，|2x−2|+|2x+4|=2x−2+(2x+4)=4x+2=6，解得：x=1（舍去）；
综上所述：−2≤x≤1，故②正确；
③若A×B=0，则A=0或B=0，
当A=0时，x2+x+1=0，Δ=b2−4ac=1−4=−3<0，无解；
当B=0时，x2−x+1=0，Δ=b2−4ac=1−4=−3<0，无解；
∴A×B=0，关于x的方程无实数根；故③正确；
④∵A−3B−7=x2+x+1−3x2−x+1−7=x2+x−2x2−x−6=x2−x−6+2x+4x2−x−6=1+2x+4x2−x−6=1+2(x+2)(x+2)(x−3)=1+2x−3，
若A−3B−7为整数，则2x−3是整数，
∵x为正整数(x≠3)，解得：x=1，2，4，5，故④正确；
∴正确的有②③④
故答案为：C.
【分析】由已知条件可得A+B=x2+x+1+x2-x+1=10，求出x的值，据此判断①；|A-B-2|+|A-B+4|=|2x-2|+|2x+4|=6，然后分x≤-2、-21，结合绝对值的性质求出x的值，据此判断②；若A×B=0，则A=0或B=0，分别求出A=0、B=0时x的值，据此判断③；A−3B−7=x2+x+1−3x2−x+1−7=1+2x−3，若A−3B−7为整数，则2x−3是整数，求出x的值，据此判断④.
二、填空题
9．（2022九上·广州期末）一元二次方程2x2+3x−1=0的根的判别式Δ的值为 ．
【答案】17
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵2x2+3x−1=0，
∴a=2，b=3，c=−1，
∴Δ=b2−4ac=32−4×2×(−1)=17，
故答案为：17．
【分析】 根的判别式Δ=b2−4ac，据此计算即可.
10．（2022九上·临淄期中）已知方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根x1，x2．而点A(x1，y1)，B(x2，y2)为反比例函数y=k−2x的图象上两点，若x1>x2>0，则y1 y2（填“>”或“<”或“=”）．
【答案】>
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵方程x2−2x+k=0有两个不相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=4−4k>0，
解得：k<1，
∴k−2<0，
∴反比例函数过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
∵x1>x2>0，
∴y1>y2；
故答案为：>．
【分析】先求出k−2<0，可得反比例函数过二，四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，再利用反比例函数的性质求解即可。
11．（2022九上·电白期中）已知关于x的方程(a+1)x2−2x+3=0有实数根，则整数a的最大值是 ．
【答案】-1
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：当a+1=0，即a=−1时，
原方程为−2x+3=0，解得x=32，
∴a=−1符合题意；
当a+1≠0，即a≠−1时，原方程为一元二次方程，
∵Δ=(−2)2−4×3×(a+1)≥0，
∴a≤−23且a≠−1．
综上所述，a≤−23，
∴整数a的最大值为-1．
故答案为：-1．
【分析】分两种情况：①当a+1=0，即a=−1时，②当a+1≠0，即a≠−1时，再利用一元二次方程根的判别式求解即可。
12．（2022九上·碑林月考）已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2−c=0有两个相等的实数根，1a+c则的值等于 ．
【答案】2
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵已知关于x的一元二次方程ax2+2x+2−c=0有两个不相等的实数根
∴△=4-4a（2-c）=0，整理得：4a（c-2）=-4，
∵方程ax2+2x+2-c=0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴等式两边同时除以4a得：c−2=−1a，即：1a+c=2．
故答案为：2.
【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△=b2-4ac=0且a≠0，代入并化简可得1a+c的值.
三、解答题
13．（2022九上·通榆期中）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，求实数k的取值范围。
【答案】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+k-2=0有实数根，
∴△=32-4×1×(k-2)≥0，解得k≤174，
∴k的取值范围为k≤174．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】根据题意先求出△=32-4×1×(k-2)≥0，再求解即可。
14．（2023九上·府谷期末）已知矩形ABCD两邻边AB、BC的长是关于x的方程x2−2mx+4m−4=0的两个实数根.当m为何值时，矩形ABCD的两邻边AB、BC的长相等.
【答案】解：∵AB=BC，
∴关于x的方程x2−2mx+4m−4=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=0，即(−2m)2−4(4m−4)=0，
∴m2−4m+4=0，
∴(m−2)2=0，
∴m=2，
即当m=2时，矩形ABCD的两邻边AB、BC的长相等.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】由题意可得AB=BC，则方程有两个相等的实数根，然后根据△=b2-4ac=0可得m的值.
四、综合题
15．（2023九上·临湘期末）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2m−3=0有两个不相等的实数根.
（1）求m的取值范围；
（2）若m为正整数，求此时方程的根.
【答案】（1）解：∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=22−4×1×(2m−3)=16−8m>0，
∴m<2.
（2）解：∵m为正整数，又m<2，
∴m=1.
当m=1时，原方程为x2+2x−1=0，
解得x=−2+222=−1±2.
因此，原方程的根为x1=−1+2，x2=−1−2.
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得△=b2-4ac>0，代入求解可得m的范围；
（2）根据m的范围结合m为正整数可得m=1，则原方程化为x2+2x-1=0，然后利用公式法求解即可.
16．（2023九上·泰兴期末）已知关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）取一个合适的k的值，使得方程的解为负整数并求出此时方程的解.
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，
∴Δ=16−4k≥0，
∴k≤4；
（2）解：可取k=3或k=4，
若k=3时，方程为x2+4x+3=0，解得x1=−1，x2=−3.
若k=4时，方程为x2+4x+4=0，解得x1=x2=−2.
（k=3或k=4写一种情况即可）
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根可得△=b2-4ac≥0，代入求解可得k的范围；
（2）取k=3或k=4，代入方程中可得关于x的一元二次方程，然后利用因式分解法求解即可.