数学九年级上册2.2 一元二次方程的解法精品随堂练习题

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1．（2023八下·上城期末）若关于x的一元二次方程x2+2x+m=0的一个实数根为2，则另一实数根和m的值分别为（ ）
A．−4，−8B．−4，8C．4，−8D．4，8
2．（2023八下·东阳期末）已知方程x2﹣4x+k＝0的两个实数根是x1＝1，x2＝3，则方程（x﹣5）2﹣4（x﹣5）+k＝0的两个实数根是（ ）
A．x1＝1，x2＝3B．x1＝6，x2＝8
C．x1＝﹣4，x2＝﹣2D．x1＝0，x2＝2
3．（2023八下·萧山期末）方程x2=5x的根是（ ）
A．x=5B．x=0
C．x1=0，x2=−5D．x1=0，x2=5
4．（2023八下·嘉兴期末）一元二次方程x2−4x−5=0配方后，结果正确的是（ ）
A．(x−2)2=1B．(x−2)2=9C．(x−4)2=21D．(x−4)2=11
5．（2023八下·余姚期末）方程x2−2x−6=0经配方后，可化为（ ）
A．(x−1)2=7B．(x+2)2=7C．(x−1)2=6D．(x−2)2=6
6．（2023八下·嵊州期末）已知关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，则a的值是（ ）
A．94B．−94C．2D．−92
7．（2023·宜宾模拟）设a，b是方程x2+x−2023＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（ ）
A．2024B．2021C．2023D．2022
8．（2023·来安模拟）已知a2−ca−1=0，b2−cb−1=0，若a≠b，则下列等式成立的是（ ）
A．a+b=−1B．a+b=1C．a−b=1D．a−b=−1
二、填空题
9．（2022九上·翁源期末）若关于x的方程x2−kx−12=0的一个根为2，则k的值为 ．
10．（2023·雅安）已知关于x的方程x2+mx−4=0的一个根为1，则该方程的另一个根为 ．
11．（2023八下·德清期末）若关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，则a的值是 .
12．（2023八下·深圳期末）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2-6x+7=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 .
13．（2023·连云）若W=5x2−4xy+y2−2y+8x+3（x、y为实数），则W的最小值为 .
三、解答题
14．（2023八下·嘉兴期末）在解一元二次方程(5x−3)2=5x−3时，小王的解答如下：
小王的解题过程是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，写出正确解答．
15．（2022九上·西安月考）阅读下面的材料，解答问题．
材料：解含绝对值的方程：x2−3|x|−10=0．
解：分两种情况：
①当x≥0时，原方程化为x2−3x−10=0，解得x1=5，x2=−2（舍去）；
②当x<0时，原方程化为x2+3x−10=0，解得x3=−5，x4=2（舍去）．
综上所述，原方程的解是x1=5，x2=−5．
请参照上述方法解方程x2−|x+1|−1=0．
四、计算题
16．（2023八下·上城期末）解方程：
（1）x(x+1)=x+1；
（2）2x2−4x+1=0．
五、综合题
17．（2023八下·渠县期末）阅读材料：形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式，有些多项式虽然不是完全平方式，但可以通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、代数最值等问题中都有广泛的应用．
（一）用配方法因式分解：a2+6a+8．
解：原式=a2+6a+9−1
=(a+3)2−1
=(a+3−1)(a+3+1)
=(a+2)(a+4)
（二）用配方法求代数式a2+6a+8的最小值．
解：原式=a2+6a+9−1
=(a+3)2−1
∵(a+3)2≥0，∴(a+3)2−1≥−1，∴a2+6a+8的最小值为−1．
（1）若代数式x2−10x+k是完全平方式，则常数k的值为 ；
（2）因式分解： a2−12a+32= ；
（3）用配方法求代数式4x2+4x+5的最小值；
（4） 拓展应用：
若实数a，b满足a2−5a−b+7=0，则a+b的最小值为 ．
18．（2023七下·宁波期末）若一个整数能表示成a2+b2（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，13=32+22，所以13是“完美数”，再如，M=x2+2xy+2y2=(x+y)2+y2（x，y是整数），所以M也是“完美数”.
（1）请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是 ；
判断：45 （请填写“是”或“不是”）“完美数”；
（2）已知S=x2+4y2−6x+4y+k（x，y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由.
（3）如果数m，n都是“完美数”，m≠n，试说明(m+n)2−(m−n)24也是“完美数”.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2x+m=0的一个实数根为2，
∴22+2×2+m=0，
∴m=-8，
∴x2+2x-8=0，
∴（x-2）（x+4）=0，
∴x1=2，x2=-4，
∴x2+2x+m=0的另一实数根为-4，
故答案为：A.
【分析】根据 关于x的一元二次方程x2+2x+m=0的一个实数根为2 ，把2代入方程得出m的值，再解一元二次方程计算出另一实数根。
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，
解得x1=6，x2=8.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：方程的解为x-5=1或x-5=3，求解即可.
3．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： x2=5x ，
x2-5x=0，
xx-5=0，
x1=0，x2=5，
故答案为：D.
【分析】先对方程进行移项，再利用提取公因式法分解方程求解.
4．【答案】B
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x2-4x-5=0，
∴x2-4x=5，
∴x2-4x+4=4+5，
∴(x-2)2=9.
故答案为：B.
【分析】首先将常数项移至右边，然后给两边同时加上4，再对左边的式子利用完全平方公式分解即可.
5．【答案】A
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解： x2−2x−6=0 ，
x2−2x=6，
x2−2x+1=6+1，
x-12=7，
故答案为：A.
【分析】把一元二次方程的左边配成一个完全平方式，右边为一个非负常数，然后用开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+a=0的一个根是3，
∴9+3a+a=0，
∴a=-94.
故答案为：B.
【分析】将x=3代入方程中进行计算就可求出a的值.
7．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根
【解析】【解答】∵a是方程x2+x-2023=0的实数根，
∴a2 +a-2023=0，
∴a2 =-a+2023，
∴a2 +2a+b=-a+2023+2a+b=2023+a+b
∵a，b是方程x2+x-2023=0的两个实数根，
∴a+b=-1，
∴a2+2a+b=2023+(-1)=2022
故答案选D。
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2 =-a+2023，则a2+2a+b可化为2023+a+b，再根据根与系数的关系得到a+b=-1，然后利用整体代入的方法计算。
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵a2−ca−1=0，b2−cb−1=0，
∴a2−c−a=0， b2−c−b=0，
∴a、b相当于是关于x的一元二次方程x2−x−c=0的两个实数根，
∴a+b=1，
故答案为：B．
【分析】先求出a2−c−a=0， b2−c−b=0，再求解即可。
9．【答案】-4
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：把x=2代入x2−kx−12=0，
得22−2k−12=0，
k=-4，
故答案为：-4.
【分析】将方程的根代入方程得到关于k的一元一次方程，求解得到k的值.
10．【答案】−4
【知识点】一元二次方程的根；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2+mx−4=0的一个根为1，
∴1+m-4=0，
解得m=3，
∴x2+3x−4=0，
解得x=-4或x=1，
∴该方程的另一个根为-4，
故答案为：-4
【分析】根据一元二次方程的根即可求出m，进而解一元二次方程即可求解。
11．【答案】−43
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+ax+2a+3=0的一个根是1，
∴1+a+2a+3=0，
解得a=-43.
故答案为：-43.
【分析】根据方程根的概念，将x=1代入方程中进行计算就可求出a的值.
12．【答案】22
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：解方程x2-6x+7=0.
∵b²-4ac=36-28=8=22.
∴x=6±222. ，
∴x1=3+2，x2=3-2，
直角边斜边长为：（3+2）2+（3-2）2=22.
故答案为：22.
【分析】解出一元二次方程的两个解，利用勾股定理a²+b²=c²，即可求出斜边的长度.
13．【答案】-2
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】W=5x2-4xy+y2-2y+8x+3
=y2-(2+4x)y+5x2+8x+3
=[y-(1+2x)]2-(1+2x)2+5x2+8x+3
=[y-(1+2x)]2+x2+4x+2
=[y-(1+2x)]2+(x+2)2-2
∵[y-(1+2x)]2≥0，(x+2)2≥0，
∴当[y-(1+2x)]2=0，(x+2)2=0时，即x=-2，y=-3，W有最小值等于-2
故答案为：-2.
【分析】整理原式，构造非负数的结构，即可求解W的最小值.
14．【答案】解：小王的解题过程错误，正确过程如下：
(5x−3)2=5x−3
(5x−3)2−(5x−3)=0
(5x−3−1)(5x−3)=0
5x−3−1=0或5x−3=0，
解得：x=45或x=35．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】首先移项，然后提取公因式(5x-3)可得(5x-3)(5x-3-1)=0，据此求解.
15．【答案】解：①当 x+1≥0 ，即 x≥−1 时，
原方程可化为 x2−(x+1)−1=0 ，即 x2−x−2=0 ，
分解因式得 (x+1)(x−2)=0 ，
可得 x+1=0 或 x−2=0 ，解得 x1=−1 ， x2=2 ．
②当 x+1<0 ，即 x<−1 时，
原方程可化为 x2+(x+1)−1=0 ，即 x2+x=0 ，
分解因式得 x(x+1)=0 ，
可得 x=0 或 x+1=0 ，解得 x3=0 （舍去）， x4=−1 （舍去），
则原方程的解为 x1=−1 ， x2=2 ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】模仿例题分两种情况：①当 x+1≥0 ，②当 x+1<0，据此分别解方程即可.
16．【答案】（1）解：x(x+1)=x+1，
x(x+1)−(x+1)=0，
(x−1)(x+1)=0，
x−1=0或x+1=0，
∴x1=1，x2=−1
（2）解：2x2−4x+1=0，
2(x2−2x+1)−1=0，
2(x−1)2=1，
(x−1)2=12，
x−1=±22，
∴x1=1+22，x2=1−22
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解方法解一元二次方程；
（2）利用配方法解一元二次方程.
17．【答案】（1）25
（2）(a−4)(a−8)
（3）解：4x2+4x+5=4x2+4x+1+4
=(2x+1)2+4，
∵(2x+1)2≥0，
∴(2x+1)2+4≥4，
∴4x2+4x+5的最小值为4．
（4）3
【知识点】配方法的应用；完全平方式
【解析】【解答】解：（1）∵x2−10x+k是完全平方式 ，
∴k=(-102)2=25；
故答案为：25.
（2） a2−12a+32= （a-6）2-4=（a-6+2)(a-6-2）=（a-4)(a-8），
故答案为： (a−4)(a−8) ；
（4） ∵a2−5a−b+7=0，
∴a2-4a-a-b+7=0，
∴a+b=a2-4a+7=（a-2）2+3，
∵（a-2）2≥0，
∴（a-2）2+3≥3，
∴a+b的最小值为3.
故答案为：3.
【分析】（1）完全平方公式中，当二次项系数是1时，常数项是一次项系数一半的平方，据此求解即可；
（2）根据配方法进行因式分解即可；
（3）根据配方法将原式化为 4x2+4x+5 =(2x+1)2+4，根据偶次幂的非负性求解即可；
（4）由a2−5a−b+7=0可得a+b=a2-4a+7，再利用配方法及偶次幂的非负性求解即可.
18．【答案】（1）8；是
（2）解：S=x2+4y2−6x+4y+k=(x−3)2+(2y+1)2+k−10，
∴当k−10=0时，即k=10时，S是完美数；
（3）证明：∵m，n都是“完美数”，
则设m=a2+b2，n=c2+d2（a，b，c，d都是整数），
∴mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2−2abcd+b2c2，
∴mn=(ac+bd)2+(ad−bc)2
∴mn是完美数，
∵(m+n)2−(m−n)24=4mn4=mn，
∴(m+n)2−(m−n)24=(ac+bd)2+(ad−bc)2，
∴(m+n)2−(m−n)24也是“完美数”.
【知识点】完全平方公式及运用；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）∵8=22+22，
∴8是一个“完美数”，
∵45=62+32，
∴45是一个“完美数”，
故答案为：8；是；
【分析】（1）根据“完美数”的定义求解即可；
（2）利用配方法将已知等式的右边变形为（x-3）2+（2y+1）2+k-10，根据“完美数”的定义可得k-10=0，从而求解即可得出k的值，从而得出答案；
（3）根据“完美数”的定义可设m=a2+b2，n=c2+d2（a，b，c，d都是整数），根据多项式乘以多项式的法则及完全平方公式可得mn=（ac+bd）2+（ad-bc）2，从而根据“完美数”的定义可得mn也是一个“完美数”；而将 (m+n)2−(m−n)24 的分子利用完全平方公式计算、合并同类项后再约分可得(m+n)2−(m−n)24=mn，从而即可得出结论.解：方程两边同时除以5x−3得：5x−3=1；
移项得：5x=4；
解得：x=45．