初中4.3 解直角三角形优秀综合训练题

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一、选择题
1．学校开放日即将来临，负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳AB到地面，如图所示．已彩旗绳与地面形成25°角（即∠BAC=25°）、彩旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米（即AC=32米），则彩旗绳AB的长度为（ ）
A．32sin25°米B．32cs25°米C．32sin25°米D．32cs25°米
2．（2023·官渡）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为65°（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（ ）
A．100sin65°B．100cs65°C．100tan65°D．100sin65°
3．（2023·斗门模拟）某驱逐舰在海上执行任务后刚返回到港口A，接到上级指令，发现在其北偏东30°方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东60°方向上且距离10km处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东30°的方向上，则可疑船只C距离港口A的距离为（ ）
A．533kmB．1033kmC．2033kmD．103km
4．（2023八下·洪山期中）如图，某天下午2时，两艘船只分别从港口O点处出发，其中快船沿北偏东30∘方向以2海里/时的速度行驶，慢船沿北偏西60∘方向以1海里/时的速度行驶，当天下午4时，两艘船只分别到达A，B两点，则此时两船之间的距离等于（ ）
A．5海里B．3海里C．23海里D．25海里
5．（2023八下·大冶期中）如图是某区域的平面示意图，码头A在观测站B的正东方向，码头A的北偏西60°方向上有一小岛C，小岛C在观测站B的北偏西15°方向上，码头A到小岛C的距离AC为(3+1)海里.观测站B到AC的距离BP是（ ）
A．3B．1C．2D．3+12
6．（2023·柳州模拟）如图，某商场一楼与二楼之间的电梯示意图.∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（ ）
A．833mB．43mC．8mD．4m
7．（2023·金华模拟）消防云梯如图所示，AB⊥BC于B，当C点刚好在A点的正上方时，DF的长是.（ ）
A．acsθ+bsinθB．acsθ+btanθC．acsθ+bsinθD．acsθ+bsinθ
8．（2023·齐齐哈尔模拟）如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=3，BD⊥AC于点D，若点E是线段BD上一动点，则CE+1010BE的最小值为（ ）
A．310B．3102C．53D．10
二、填空题
9．（2023·黄冈）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45°，尚美楼顶部F的俯角为30°，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为 米．（结果保留根号）
10．（2023·南开模拟）如图，△ABC中，∠A=60°，AC>AB>6，点D，E分别在边AB，AC上，且BD=CE=6，连接DE，点M是DE的中点，点N是BC的中点，线段MN的长为 ．
11．（2023八下·中山期中）如图，供给船要给C岛运送物资，从海岸线AB的港口A出发向北偏东40°方向直线航行60nmile到达C岛．测得海岸线上的港口B在C岛南偏东50°方向．若A，B两港口之间的距离为65nmile，则C岛到港口B的距离是 nmile．
12．（2023七下·金华期中）如图1是一个消防云梯，其示意图如图2所示，此消防云梯由救援台AB，延展臂BC（B在C的左侧），伸展主臂CD，支撑臂EF构成.在操作过程中，救援台AB，车身GH及地面MN三者始终保持平行，
（1）当∠EFH＝55°，BC∥EF时，∠ABC＝ 度；
（2）如图3为了参与另一项高空救援工作，需要进行调整，使得延展臂BC与支撑臂EF
所在直线互相垂直，且∠EFH＝78°，此时∠ABC＝ 度．
13．（2023八上·绍兴月考）如(图1)，某学校楼梯墙面上悬挂了四幅全等的正方形画框，画框下边缘与B水平地面平行．如(图2)，画框的左上角顶点B，E，F，G都在直线AB上，且BE=EF=FG，楼梯装饰线条所在直线CD//AB，延长画框的边BH，MN得到平行四边形ABCD．若直线PQ恰好经过点D，AB=275cm，CH=100cm，∠A=60°，则正方形画框的边长为
三、解答题
14．（2023·锦州）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得AB=120cm，BD=80cm，∠ABD=105°，∠BDQ=60°，底座四边形EFPQ为矩形，EF=5cm．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A到地面PF的距离．（结果精确到1cm．参考数据：2≈1.41，3≈1.73）
15．（2023·泸州）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i=2：3的斜坡AB前进207m到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈35，cs37°≈45，tan37°≈34，计算结果用根号表示，不取近似值）．
四、综合题
16．（2023九下·兴化月考）如图，光从空气斜射入水中，入射光线AB射到水池的水面B点后折射光线BD射到池底点D处，入射角∠ABM=30°，折射角∠DBN=22°；入射光线AC射到水池的水面C点后折射光线CE射到池底点E处，入射角∠ACM'=60°，折射角∠ECN'=40.5°.DE//BC，MN、M'N'为法线.入射光线AB、AC和折射光线BD、CE及法线MN、M'N'都在同一平面内，点A到直线BC的距离为6米．
（1）求BC的长；(结果保留根号)
（2）如果DE=8.72米，求水池的深.(参考数据：2取1.41，3取1.73，sin22°取0.37，cs22°取0.93，tan22°取0.4，sin40.5°取0.65，cs40.5°取0.76，tan40.5°取0.85)
17．（2023八下·亳州期中）如图，等腰△ABC的底边BC=8，高AD=2，M是AB的中点，连接MD．动点E从点B出发，以每秒1个单位的速度沿BC向点C运动，到点C停止；另一动点F从点B出发，以相同的速度沿BC运动，到点D停止.已知点E比点F早出发1秒，当点F出发后，以EF为边作正方形EFGH，使G，H和点A在BC的同侧，设点E运动的时间为t秒．
（1）当t≥1时，用含t的代数式表示EF的长；
（2）设正方形EFGH面积为S1，正方形EFGH与△ABC重叠面积为S2，当S1：S2=2时，求t的值；
（3）在点F开始运动时，点P从点D出发，以每秒25个单位的速度沿折线段DM−MB−BM−MD，到达点D停止，在点E的整个运动过程中，求点P在正方形EFGH内（含边界）的时长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得CA⊥CB，
∴AB=ACcs25°=32cs25°，
故答案为：D
【分析】先根据题意即可得到CA⊥CB，进而根据解直角三角形的知识结合题意即可求解。
2．【答案】A
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥CB于点C，如图所示：
∴sin65°=ACAB，
∵AB=100，
∴AC=100sin65°，
故答案为：A.
【分析】过点A作AC⊥CB于点C，根据解直角三角形即可求解。
3．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：∵在其北偏东30°方向上有一艘可疑船只C，与此同时在港口A处北偏东60°方向上且距离10km处有另一艘驱逐舰B也收到了相关指令，
∴∠CAB=60°-30°=30°，
∵驱逐舰B恰好在可疑船只C的南偏东30°的方向上，
∴∠ACB=30°+30°=60°，
∴∠ABC=180°-30°-60°=90°，
∵sin∠ACB=ABAC，AB=10km，
∴AC=ABsin∠ACB=10sin60°=2033km，
故答案为：C.
【分析】根据题意先求出∠CAB=30°，再求出∠ABC=90°，最后利用锐角三角函数计算求解即可。
4．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题可知：∠BOA=90°，OB=1×2=2，OA=2×2=4，
∴AB=OA2+OB2=22+42=25海里，
故答案为：D.
【分析】由题意可得：∠BOA=90°，OB=2，OA=4，然后利用勾股定理进行计算.
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：由题意得：∠BAC=90°-60°=30°，∠ABC=90°+15°=105°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45°，
∵BP⊥AC，
∴∠BPA=∠BPC=90°，
∵∠C=45°，
∴△BCP是等腰直角三角形，
∴BP=PC，
∵∠BAC=30°，
∴PA=3BP，
∵PA+PC=AC，
∴BP+3BP=3+1，
解得：BP=1（海里），
故答案为：B.
【分析】易得∠BAC及∠ABC的度数，再根据三角形的内角和定理算出∠C的度数，易得△BCP是等腰直角三角形，则BP=PC，由含30°角直角三角形的性质得PA=3BP，最后根据PA+PC=AC建立方程，求解可得BP的长.
6．【答案】D
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥BC
∵∠ABC=150°
∴∠CBE=30°
∴CE=BC⋅sin30°=8×12=4
故答案为：D.
【分析】过点C作CE⊥BC，根据邻补角的性质可得∠CBE=30°，然后根据三角函数的概念进行计算.
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：连接CA，如图，
由题可知四边形CAFÉ是矩形，
∴CA⊥AF，EF=CA，
∴∠θ+∠BAC=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠BCA+∠BAC=90°，
∴∠θ=∠BCA，
在Rt△ABC中，csθ=BCCA，
∴EF=CA=BCcsθ=acsθ，
在Rt△CDE中，sinθ=DECD，
∴DE=CD⋅sinθ=bsinθ，
∴DF=DE+EF=bsinθ+acsθ.
故答案为：C.
【分析】连接CA，由题可知四边形CAFÉ是矩形，得CA⊥AF，EF=CA，由同角的余角相等得∠θ=∠BCA，在Rt△ABC中，由余弦函数的定义得EF=CA=BCcsθ=acsθ，在Rt△CDE中，由正弦函数的定义得DE=CD⋅sinθ=bsinθ，最后根据DF=DE+EF即可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短；解直角三角形的应用；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，作EF⊥AB，CG⊥AB，
∴∠AGC=∠BFE=90°，
∴∠BEF+∠ABD=90°，
∵AC=10， tanA=3， ，
∴CG=ACsinA=10×31010=310，
∵BD⊥AC，
∴∠A+∠ABD=90°，
∴∠A=∠BEF，
∴EF=BEcs∠BEF=BEcs∠A=1010BE，
∴CE+1010BE=CE+EF，
∴当C、E、F三点共线的时候，CE+EF有最小值，即 CE+EF=CG=310，
∴ CE+1010BE的最小值为310，
故答案为：A.
【分析】利用三角函数可知1010BE等于EF，再通过垂线段最短可知CE+1010BE的最小值等于CG的长.
9．【答案】30−53
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：过E作EM⊥过点B的水平线于点M，过F作FN⊥过点B的水平线于点N，
由题意可知CM=DN=AB=30，CE=15，
∴EM=CM-BC=15.
∵∠ECM=45°，
∴BM=EM=15.
∵A为CD的中点，
∴BN=AD=AC=BM=15.
∵tan∠FBN=FNBN，
∴FN15=33，
∴FN=53，
∴DF=30-53.
故答案为：30-53.
【分析】过E作EM⊥过点B的水平线于点M，过F作FN⊥过点B的水平线于点N，由题意可知CM=DN=AB=30，CE=15，则EM=CM-BC=15，根据三角函数的概念可得EM、FN，然后根据DF=DN-FN进行计算.
10．【答案】33
【知识点】全等三角形的应用；解直角三角形；解直角三角形的应用；三角形的中位线定理
【解析】【解答】如图，作CH//AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH于J。
∵BD//CH，
∴∠B =∠NCH，
∵BN=CN、∠DNB =∠KNC，
∵△DNBE≅△HNC(ASA)，
∴BD =CH，DN =NH，
∵BD =EC=6，
∴EC=CH=6
∵∠A+∠ACH=180°，∠A=60°
∴∠ECH=120°，
∵CJ⊥EH
∴EJ=JH =EC·cs30°=33 ，EH=2EJ=63，
∵DM =ME，DN =NH，
∴EH =33MN=33。
故答案为： 33
【分析】如图，作CH//AB连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，作CJ⊥EH于J。首先证明CH=EC，∠ECH=120°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题。
11．【答案】25
【知识点】解直角三角形的应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥CD于点D，
由题意可得∠CAD=90°-40°=50°，
∴∠ACD=90°-∠CAD=40°，
∴∠ACB=40°+50°=90°.
∵AC=60，AB=65，
∴BC=AB2-AC2=652-602=25.
故答案为：25.
【分析】过点A作AD⊥CD于点D，由题意可得∠CAD=90°-40°=50°，则∠ACD=90°-∠CAD=40°，∠ACB=40°+50°=90°，然后利用勾股定理进行计算.
12．【答案】（1）125
（2）168
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【解答】解：（1）如图，分别延长CB、HG相交于点K，
∵ BC∥EF， ∠EFH＝55°，∴∠BKH= ∠EFH＝55°，
∵ AB∥GH，∴∠ABK=∠BKH＝55°，
∵∠ABK+∠ABC=180°，
∴∠ABC=125°；
故答案为：125.
（2）如图，分别延长BC、FE交于点P，分别延长AB交FE的延长线于点Q，∴BP⊥EP，即∠BPQ=90°，
∵AB∥FH，∠EFH=78°，∴∠Q=∠EFH=78°，
∴∠ABC=∠Q+∠BPQ=78°+90°=168°；
故答案为：168.
【分析】（1）分别延长CB、HG相交于点K，由平行线的性质可得∠BKH= ∠EFH＝55°，∠ABK=∠BKH＝55°，利用邻补角的定义即可求出∠ABC的度数；
（2）分别延长BC、FE交于点P，分别延长AB交FE的延长线于点Q，则∠BPQ=90°，由平行线的性质可得∠Q=∠EFH=78°，根据三角形外角的性质得∠ABC=∠Q+∠BPQ，继而得解.
13．【答案】253
【知识点】平行四边形的判定与性质；解直角三角形的应用
【解析】【解答】如图，延长EP，交CD于D点，
∵CD∥AB，BC∥EK，
∴四边形BCKE是平行四边形，
∴BE=CK，BC=EK，
∵BH=EP，
∴PK=CH=100cm，
∵∠A=60°，四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=60°，AB=CD=275cm，
∵BC∥EK，
∴∠PKD=∠C=60°，
∴DK=PKcs60°=200cm，
∴BE=CK=CD-DK=75cm，
∵BE=EF=FG，
∴AG=AB-3BE=275-75×3=50cm，
∴GM=AG·sin∠A=50×32=253.
故答案为：253.
【分析】延长EP，交CD于D点，推出PK=CH=100cm，解△PDK，求出DK，进而得到BE和AG，最后解△AMG得到GM的长.
14．【答案】解：如图，过点A作AG⊥PF于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作DN⊥BM于点N，
∴四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，
∴MH=ND，EF=HG=5，BM∥DH，
∴∠NBD=∠BDQ=60°，
∴∠ABM=∠ABD−∠NBD=105°−60°=45°，
在Rt△ABM中，∠AMB=90°，
∵sin∠ABM=sin45°=AMAB，
∴AM=AB⋅sin45°=120×22=602，
在Rt△BDN中，∠BND=90°，
∵sin∠NBD=sin60°=NDBD，
∴ND=BD⋅sin60°=80×32=403，
∴MH=ND=403，
∴AG=AM+MH+GH=602+403+5≈60×1.41+40×1.73+5≈159(cm)，
答：展板最高点A到地面PF的距离为159cm．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】过点A作AG⊥PF于点G，与直线QE交于点H，过点B作BM⊥AG于点M，过点D作DN⊥BM于点N，易得四边形DHMN，四边形EFGH均为矩形，根据矩形的性质得MH=ND，EF=HG=5，BM∥DH，由平行线的性质可得∠NBD=∠BDQ=60°，由角的和差算出∠ABM=45°，在Rt△ABM中，利用∠ABM的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出AM的长，在Rt△BDN中，利用∠NBD的正弦函数及特殊锐角三角函数值可算出ND的长，最后根据线段的和差由AG=AM+MH+GH计算可得答案.
15．【答案】解：延长BC，DE交于点G，过点B作BF⊥AD于点F，如图所示：
则∠AFB=∠BFD=90°，
∵斜面AB的坡度为i=2：3，
∴设BF=2x，则AF=3x，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得：BF2+AF2=AB2，
即(2x)2+(3x)2=(207)2，
解得：x=20，负值舍去，
即BF=2×20=40(m)，
∵BC为水平方向，DE为竖直方向，
∴∠BGD=90°，
∵∠BFD=∠FDG=∠BGD=90°，
∴四边形BFDG为矩形，
∴DG=BF=40m，
∵∠BCG=60°，
∴在Rt△DCG中，CG=BGtan∠DCG=40tan60°=403=4033(m)，
∵∠ECG=37°，
∴在Rt△ECG中，EG=CG×tan∠ECG=4033×tan37°=4033×34=103(m)，
∴DE=DG−EG=(40−103)m．
答：古树DE的高度为(40−103)m．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意利用勾股定理求出x=20，再求出四边形BFDG为矩形， 最后利用矩形的性质和锐角三角函数计算求解即可。
16．【答案】（1）解：作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，
则AF//MN//M'N'，
∴∠ABM=∠BAF，∠ACM'=∠CAF，
∵∠ABM=30°，∠ACM'=60°，
∴∠BAF=30°，∠CAF=60°，
∵AF=6米，
∴BF=AF⋅tan30°=6×33=23(米)，CF=AF⋅tan60°=6×3=63(米)，
∴BC=CF−BF=63−23=43(米)，
即BC的长为43米；
（2）解：设水池的深为x米，则BN=CN'=x米，
由题意可知：∠DBN=22°，∠ECN'=40.5°.DE=8.72米，
∴DN=BN⋅tan22°≈0.4x(米)，N'E=CN'⋅tan40.5°≈0.85x(米)，
∵DN+DE=BC+N'E，
∴0.4x+8.72=43+0.85x，
解得x≈4，
即水池的深约为4米．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）过A作AF⊥BC，交CB的延长线于点F，由平行线的判定可得AF∥MN∥M´N´，由平行线的性质可得∠ABM=∠BAF，∠ACM´=∠CAF，在Rt∆ABF中，由锐角三角函数tan∠BAF=BFAF可求得BF的值，同理在Rt∆ACF中，可求得CF的值；然后由线段的构成BC=CF-BF可求解；
（2）设水池的深为x米，则BN=CN'=x米，在Rt∆BND和Rt∆CEN´中，由锐角三角函数可求得DN和N´E的值，根据线段的构成DN+DE=BC+N´E可得关于x的方程，解方程可求解.
17．【答案】（1）解：∵等腰△ABC的底边BC=8，高AD=2，动点的速度都是每秒1个单位，
∴BD=12BC=4，
∴点F的运动时间为4秒，点E的运动时间为8秒，
∴F运动到点D停止，运动时间为4秒，此时点E运动时间为5秒，
故当1≤t≤5时，EF=1；
当5（2）解：如图，当0则EF=1，BE=t，BF=t−1，
∵等腰△ABC的底边BC=8，高AD=2，
∴BD=CD=4，∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠ACB，
∴tan∠ABC=ADBD=24=12，
∴FN=t−12，KE=t2，
∴S2=12(t−12+t2)×1=2t−14，
∵S1：S2=2，S1=EF2=12=1，
∴1=2t−14×2，
解得t=32；
如图，当5则EF=t−4，EC=8−t，
∵等腰△ABC的底边BC=8，高AD=2，
∴BD=CD=4，∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠ACB，
∴tan∠ACB=ADCD=24=12，
∴EQ=8−t2，
∴S2=12(2+8−t2)×(t−4)，
∵S1：S2=2，S1=EF2=(t−4)2，
∴12(2+8−t2)×(t−4)×2=(t−4)2，
解得t=203；
综上所述，当t=203或t=32，使得S1：S2=2成立．
（3）解：如图，作MN⊥BC于N，
在等腰三角形ABC中，底边BC=8，AD为高，
∴BD=12BC=4，
∵AD=2，
∴AB=AD2+BD2=25，
∴cs∠ABD=BNBM=BDAB=425，
∵点P的折线运动速度为25，
∴点P的水平运动速度是每秒4个单位；
当点P与正方形相向而行时，
∴每次在正方形EFGH内的时间是1÷5=15s，
当同向而行时，
每次在正方形EFGH内的时间是1÷(4−1)=13，
∵BD=4，
∴从D到B的时间是1s，
∴2s内，点P两次在正方形内部，
13+15=815，
当点E到达AD时，点P在EH上，从点E到C经过4秒，这4秒，点P满足条件，
∴点P在正方形EFGH的内部（包括边上）的时间是4+815=6815s．
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形的应用
【解析】【分析】（1）先根据等腰三角形的性质结合题意即可得到BD=12BC=4，进而得到点F的运动时间为4秒，点E的运动时间为8秒，F运动到点D停止，运动时间为4秒，此时点E运动时间为5秒，进而结合题意即可求解；
（2）分类讨论：当0 （3）作MN⊥BC于N，先根据题意结合勾股定理即可求出AB，进而运用锐角三角函数的性质即可得到cs∠ABD=BNBM=BDAB=425，再结合题意进行分类讨论即可求解。