四川省成都市蓉城名校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷(含答案)

这是一份四川省成都市蓉城名校2023-2024学年高二上学期期末联考数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知椭圆C:,则椭圆C的长轴长为( )
A.3B.4C.6D.9
2、若直线l的倾斜角为,则它的方向向量可以为( )
A.B.C.D.
3、某中学举行数学解题比赛,其中5人的比赛成绩分别为：70,85,90,75,95,则这5人成绩的上四分位数是( )
A.90B.75C.95D.70
4、若方程表示一个圆,则m可取的值为( )
A.0B.1C.2D.3
5、有5个相同的球,其中3个白球,2个黑球,从中一次性取出2个球,则事件“2个球颜色不同”发生的概率为( )
A.B.C.D.
6、已知圆,圆,点P为y轴上的动点,则的最小值为( )
A.B.C.D.
7、已知等腰直角三角形ABC,,点D为BC边上的中点,沿AD折起平面ABD使得,则异面直线AB与DC所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
8、过点作圆的切线,切点分别为A,B,则弦长的最小值为( )
A.B.3C.2D.
二、多项选择题
9、已知甲、乙两蔬菜店春节假期一周销售蔬菜量统计如图所示,则下列说法正确的是( )
A.甲组数据的极差小于乙组数据的极差
B.甲店在春节假期间每天的销售量越来越大
C.甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
D.若甲、乙两组数据的标准差分别为,则
10、一个质地均匀的骰子,掷一次骰子并观察向上的点数.A表示事件“骰子向上的点数大于等于3”,B表示事件“骰子向上的点数为奇数”,则( )
A.B.
C.D.
11、已知曲线,直线,点A为曲线C上的动点,则下列说法正确的是( )
A.直线l恒过定点
B.当时,直线l被曲线C截得的弦长为
C.若直线l与曲线C有两个交点,则m的范围为
D.当时,点A到直线l距离的最小值为
12、已知椭圆的上、下焦点分别为,,上顶点为A,右顶点为B,原点为O,直线与椭圆C交于D,E两点,点,则( )
A.四边形面积的最大值为
B.四边形的周长为12
C.直线BD,BE的斜率之积为
D.若动点Q满足,且点P为椭圆C上的一个动点,则的最大值为
三、填空题
13、如图,A,B是两个独立的开关,设它们闭合的概率分别为,,则该线路是通路的概率为____________.
14、已知椭圆的左、右焦点分别为,,点是椭圆上一点,若,则____________.
15、正方体的棱长为2,BC棱上一点P满足,则直线PA与平面所成角的正弦值为___________.
16、已知,分别为椭圆的左、右焦点,A为右顶点,B为上顶点,若在线段AB上有且仅有一个点P使,则椭圆M离心率的取值范围为______________（写成集合或区间形式）.
四、解答题
17、已知直线,.
(1)若直线,求m的值;
(2)若直线,求与的距离.
18、已知圆,圆,若动圆M与圆外切,与圆内切.
(1)求动圆圆心M的轨迹C的方程;
(2)直线l与（1）中轨迹C相交于A,B两点,若Q为线段AB的中点,求直线l的方程.
19、传唱红色歌曲能够弥补青少年面对社会多元化的彷徨,有助于在红歌中受到启迪,树立积极的生活态度和健康的价值观.某重点高中在纪念“一二·九”活动中,举办了“唱青春之序曲,展时代之芳华”红色经典歌曲合唱比赛,由专业教师和学生会共50人组成评委团,评委所打分数的平均分最高的节目参加区合唱比赛.评委对各节目的给分相互独立,互不影响.现有两个特等奖节目：《在太行山上》得分的频率分布直方图和《四渡赤水出奇兵》得分的频率分布表,如下所示：
(1)从两个节目各自的平均分来看,应该推选哪个节目参加区合唱比赛（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;
(2)根据印象值表对两个节目的所有评分进行赋值,从两个节目的“印象值”分数中各随机抽取一个分数,试估计《在太行山上》“印象值”比《四渡赤水出奇兵》“印象值”高的概率.
20、圆C经过点和点,且圆心C在直线上.
(1)求圆C的标准方程;
(2)过点作圆C的两条切线,切点分别为A,B,求直线AB的方程及原点O到直线AB距离最大时m的值.
21、如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的菱形,,是等腰直角三角形,且,平面平面ABCD,点E是线段PC（不含端点）上的一个动点.
(1)设平面ADE交PB于点F,求证： 平面PAD;
(2)当点E到平面PAD的距离为时,求平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值.
22、已知椭圆的方程为,称圆心在坐标原点O,半径为的圆为椭圆的“蒙日圆”,椭圆的焦距为,离心率为.
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线l与椭圆交于A、B两点,与其“蒙日圆”交于C、D两点,当时,求面积的最大值.
参考答案
1、答案：C
解析：由椭圆知椭圆焦点在x轴上,故,解得,故椭圆C的长轴长为.
故选：C.
2、答案：B
解析：因为直线l的倾斜角为,
所以,
由斜率的定义可知,取,解得一组解可以是,
所以直线的一个方向向量可以是,
故选：B.
3、答案：A
解析：将5人的比赛成绩由小到大排列依次为：70,75,85,90,95,
,5人成绩的上四分位数为第四个数：90.
故选：A.
4、答案：D
解析：由方程分别对进行配方得：,
依题意它表示一个圆,须使,解得：或,在选项中只有D项满足.
故选：D.
5、答案：C
解析：从中一次性取出2个球,共有的情况数为种,
其中事件“2个球颜色不同”发生的情况有种,
故事件“2个球颜色不同”发生的概率为.
故选：C.
6、答案：B
解析：圆的圆心为,半径为,
圆的标准方程为,圆心为,半径为,
如下图所示：
作圆心关于y轴的对称点,由对称性可知,,
所以,,
当且仅当M、P、三点共线时,取最小值.
故选：B.
7、答案：B
解析：已知等腰直角三角形ABC,点D是BC中点,则,
沿着AD翻折平面ADB可得,
所以,
又,BD,平面BCD,
所以平面BCD,
不妨设,则,
以,,为基底的空间向量,
所以,
则
所以,
因为AB,DC是异面直线,所以异面直线AB,DC的余弦值为.
故选：B.
8、答案：A
解析：圆的圆心为,
故点,A,B,D四点共圆,其中ED为直径,
故此圆的圆心为,即,
直径为,
故此圆的方程为,
与相减得,,
故弦AB的方程为,
圆心到AB的距离为,
故弦长.
故选：A.
9、答案：AC
解析：A选项,从图中可以看出甲的极差小,乙的极差大,甲组数据的极差小于乙组数据的极差,A正确;
B选项,从图可以看出甲店在春节假期间每天的销售量有增加的,也有减少的,处于波动中,B错误;
C选项,由于甲组数据除1个数据稍微小于乙组数据,剩余数据都大于乙组数据,
故甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数,C正确;
D选项,从图中可以看出甲组数据的波动幅度小,乙组数据的波动幅度大,故,D错误.
故选：AC.
10、答案：ACD
解析：A：掷一枚骰子并观察向上的点数,样本空间为,共6个样本点,
则,共4个样本点,所以,故A正确;
B：,共3个样本点,所以,故B错误;
C：由选项AB知,,共5个样本点,所以,故C正确;
D：由选项AB知,,共2个样本点,所以,故D正确.
故选：ACD.
11、答案：BC
解析：A选项,直线变形为,
令,解得,
故直线过定点,A错误;
B选项,当时,直线,
两边平方得,为以为圆心,2为半径的上半圆,
半圆与直线相交,如图所示,
圆心到直线的距离为,弦长为,B正确;
C选项,由B选项可知,当时,有两个交点,当时,仅有一个交点,
当直线与曲线相切时,点到直线的距离为2,
故,解得（舍）或,所以m的范围为,C正确;
D选项,当时,直线,如图所示,
由图可知,当A为原点时距离最小,且最小值为,D错误.
故选：BC.
12、答案：ABD
解析：由椭圆,则,,
所以,即,,,
则,,,,
因为直线l过原点,所以四边形为平行四边形,
即面积取最大值时,四边形面积取最大值,
此时,四边形面积的最大值为,故A正确;
四边形的周长为,故B正确;
设,则,而,
所以,
又在椭圆上,则,
整理得,,
所以,故C错误;
若设动点,由,可得,
化简得,即,
所以Q在以为圆心,为半径的圆上,
所以,故D正确.
故选：ABD.
13、答案：
解析：由题意知,,则,
所以线路为通路的概率为.
故答案为：.
14、答案：
解析：由椭圆定义得到,解得,
点是椭圆上一点,故,即,
所以,故.
故答案为：.
15、答案：
解析：以D为原点建系如下,
则,,,,,
得,
设,,,
则,
因为,所以,解得,,
设平面的一个法向量为,
则,令,得,所以,
则,
所以直线PA与平面所成角的正弦值为.
故答案为：.
16、答案：
解析：直线AB方程为,设点P的坐标为,
,故,
所以点P在以原点为圆心,为半径的圆M上,
① 圆M与直线AB相切,则原点到直线的距离等于半径,
,即,,
方程两边同除以得,,解得,
故,
②若,,解得,
综上,e的取值范围为.
故答案为：.
17、答案：(1)6;
(2)
解析：（1）,,
,,
m的值为6;
（2）,
,解得：或,
验证,,两直线重合,舍去,
时,,,
故与的距离为.
18、答案：(1)
(2).
解析：（1）设动圆M的半径为r,动圆M与圆外切,与圆内切,
,且,于是,
动圆圆心M的轨迹是以F1,F2为焦点,长轴长为8的椭圆,
故,,,椭圆方程为,
又因当M点为椭圆左顶点时,动圆M不存在,故不合题意舍去,
故动圆圆心M的轨迹C的方程为;
（2）设,由题意,显然,
则有,,两式作差可得,
即有,又Q为线段AB的中点,
则有,代入即得直线l的斜率为,
直线l的方程为,整理可得直线l的方程为.
19、答案：(1)应该推选《在太行山上》参加区合唱比赛;
(2)0.284.
解析：（1）由频率分布直方图可知,《在太行山上》的平均得分约为：
,
由频率分布表可知《四渡赤水出奇兵》的平均得分约为：
,
,故应该推选《在太行山上》参加区合唱比赛;
（2）设“对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”为事件M,
设表示事件“对《在太行山上》印象值为9”,
设表示事件“对《在太行山上》印象值为10”,
设表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为8”,
设表示事件“对《四渡赤水出奇兵》印象值为9”,
则,
,,
,,
事件与相互独立,其中,10,,
,
估计对《在太行山上》“印象值”高于《四渡赤水出奇兵》“印象值”的概率为0.284.
20、答案：(1)
(2),
解析：（1）由题意知圆C经过点和点,
线段EF的中点坐标为,
则线段EF的垂直平分线方程为,即,
联立,得,则
圆C的标准方程为;
（2）线段PC的中点坐标为,
以线段PC为直径的圆的标准方程为：,
即,
圆C方程化为：,
两式相减得：,即为直线AB的方程,
即;
由,
直线AB经过定点,
当时,原点O到直线AB的距离最大,
,
,解得.
21、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）因为四边形ABCD为菱形,所以,
因为平面PBC,平面PBC,所以平面PBC,
因为平面ADE,平面平面,所以,
因为平面PAD,平面PAD,所以平面PAD;
（2）在AB上取中点O,因为是等腰直角三角形,所以,
又平面平面ABCD,平面平面,平面PAB,
所以平面ABCD,平面ABCD,平面ABCD,所以,,
又底面ABCD是边长为2的菱形,且,所以,
故以O为原点,以OB,OC,OP所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
如图所示,
则,,,,,
,,,
设,则,
设是平面PAD的一个法向量,
则,即,令可得,
由点E到平面PAD的距离为得,所以,解得,
故点E为CP中点,所以,所以,又,
设是平面ADE的一个法向量,
则,即,令可得,
又,故是平面ABCD的一个法向量,
得,
所以平面ADE与平面ABCD夹角的余弦值为.
22、答案：(1)
(2)
解析：（1）因为椭圆的焦距为,离心率为,
则,可得,故椭圆的方程为.
（2）由题意,蒙日圆方程为,圆心为,半径,
①当轴时,设直线CD的方程为,
将代入“蒙日圆”的方程得,解得,
则,解得：,
将直线l的方程代入椭圆C的方程可得,解得,则,
所以,;
②当直线l不垂直x轴时,设直线l的方程为,即,
圆心O到直线CD的距离为,得,
联立,消去y得,
,可得,
设、,则,,
,
所以,
,
当且仅当时,即当时,等号成立,
又因为,故的面积的最大值为.
分数区间
频数
1
4
10
22
11
2
频率
0.02
0.08
0.20
0.44
0.22
0.04
分数区间
印象值
8
9
10