海南省海口市第一中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题（含答案详解）

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这是一份海南省海口市第一中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题（含答案详解），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【解析】
【分析】根据集合交集的定义求解判断.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
根据交集定义，可得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C.
2. SKIPIF 1 < 0 （）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】
分析】根据诱导公式一可求出结果.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B
3. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 即可求出 SKIPIF 1 < 0 ，则可求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，无解，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
4. 函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为（）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】
【分析】
首先求出函数的定义域，再根据对数型复合函数的单调性即可求解.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
5. 函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致为（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由条件判断函数为奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 为负数，从而得出结论.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ,
因此函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，图像关于原点对称排除 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 .
故选： SKIPIF 1 < 0 .
【点睛】本题主要考查的是函数图像的应用，奇偶性的应用，根据奇偶函数的对称性进行判断是解决本题的关键，是中档题.
6. 李明开发的小程序经过t天后，用户人数 SKIPIF 1 < 0 ，其中k为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为（）（取 SKIPIF 1 < 0 ）
A. 31B. 32C. 33D. 34
【答案】D
【解析】
【分析】依题意知 SKIPIF 1 < 0 ，从而求得 SKIPIF 1 < 0 ，再令 SKIPIF 1 < 0 ，结合对数运算可求得结果.
【详解】∵经过t天后，用户人数 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵小程序发布经过10天后有2000名用户，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ①
当用户超过50000名时有 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ②
联立①和②可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
∴用户超过50000名至少经过的天数为34天.
故选：D.
7. 若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，结合正弦型函数的单调区间列出不等式，然后结合条件代入计算，即可得到结果.
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
又因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一个子区间，
当 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的子集，
则 SKIPIF 1 < 0
故选:D．
8. 函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，均有 SKIPIF 1 < 0 ，则实数t的最大值是（）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0 C. SKIPIF 1 < 0 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性与单调性可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用二次函数在区间的单调性与最值即可得解.
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
则由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两边平方化简得 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 开口向上，对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）
9. 设 SKIPIF 1 < 0 则下列不等式恒成立的是（）
A. SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用不等式的性质即可求解.
【详解】对于A，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，故A不正确；
对于B，由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确；
对于C，当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，故C正确；
对于D，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正确；
故选：BCD
10. 下列不等式中成立的是（）
A SKIPIF 1 < 0 B. SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 D. SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【解析】
【分析】由三角函数的诱导公式化简，然后根据正弦、余弦函数的单调性比较各选项中角的大小关系，从而得出函数值的大小关系.
【详解】对A，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B错误；
对C，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，故D正确
故选：AD.
11. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则下列结论正确的是（）
A. SKIPIF 1 < 0 的图像关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称B. SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0
C. SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增D. SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【解析】
【分析】根据函数解析式，结合三角函数的性质，分别判断各选项.
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以函数图像上的点 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的对称点 SKIPIF 1 < 0 也在函数图像上，即 SKIPIF 1 < 0 的图像关于 SKIPIF 1 < 0 中心对称，A选项正确；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不是 SKIPIF 1 < 0 的周期，B选项错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，C选项正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，D选项错误.
故选：AC
12. 给出下列四个结论，其中所有正确结论的序号是（）
A. 若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
B. 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上只有一个零点，且该零点在区间 SKIPIF 1 < 0 上
C. 实数 SKIPIF 1 < 0 是命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”为假命题的充分不必要条件
D. 定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用对数函数和指数函数的单调性判断A，根据零点存在性定理及函数单调性判断B，根据二次不等式的求解及充分必要条件判断C，构造函数 SKIPIF 1 < 0 ，根据函数单调性解不等式判断D.
【详解】对于A：若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故A正确；
对于B，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故该零点在区间 SKIPIF 1 < 0 上错误，故B错误；
对于C，命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”为假命题，
则“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”为真命题，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为真命题，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为假命题，
当 SKIPIF 1 < 0 时，若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”为真命题，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，此时“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”为假命题，
综上实数 SKIPIF 1 < 0 是命题“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ”为假命题的充分不必要条件，故C正确；
对于D，定义在 SKIPIF 1 < 0 上的函数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
不妨设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 单调递减，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 变形为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
根据 SKIPIF 1 < 0 单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故D选项正确.
故选：ACD.
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）.
13. 已知角 SKIPIF 1 < 0 的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，点 SKIPIF 1 < 0 是角 SKIPIF 1 < 0 终边上一点，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】1
【解析】
【分析】根据三角函数的定义得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用弦切互化将 SKIPIF 1 < 0 的分子和分母同时除以 SKIPIF 1 < 0 得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【详解】因为点 SKIPIF 1 < 0 是角 SKIPIF 1 < 0 终边上一点，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为：1.
14. 某城市一圆形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该空地建设运动公园（图中阴影部分）.若 SKIPIF 1 < 0 是以B为直角的等腰直角三角形， SKIPIF 1 < 0 ，则该公园的面积为________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】利用扇形面积公式即可得到结果.
【详解】由题可知圆心 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，
该公园的面积 SKIPIF 1 < 0
故答案为： SKIPIF 1 < 0
15. 若函数 SKIPIF 1 < 0 相邻两条对称轴之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】根据相邻两条对称轴之间的距离为 SKIPIF 1 < 0 计算得函数周期，从而可计算出 SKIPIF 1 < 0 值，即可得函数 SKIPIF 1 < 0 ，代值计算即可.
【详解】由题意知，函数 SKIPIF 1 < 0 的周期为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
16. 设 SKIPIF 1 < 0 ，对于任意实数x，记 SKIPIF 1 < 0 ，若方程 SKIPIF 1 < 0 至少有3个根，则实数a的最小值为______.
【答案】10
【解析】
【分析】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，分析可知函数 SKIPIF 1 < 0 至少有一个零点，可得出 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，然后对实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围进行分类讨论，根据题意可得出关于实数 SKIPIF 1 < 0 的不等式，综合可求得实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .
要使得函数 SKIPIF 1 < 0 至少有3个零点，则函数 SKIPIF 1 < 0 至少有一个零点，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，作出函数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示：
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此时函数 SKIPIF 1 < 0 只有两个零点，不满足题意；
②当 SKIPIF 1 < 0 时，设函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
要使得函数 SKIPIF 1 < 0 至少有3个零点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，作出函数 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的图象如图所示：
由图可知，函数 SKIPIF 1 < 0 的零点个数为3，满足题意；
④当 SKIPIF 1 < 0 时，设函数 SKIPIF 1 < 0 的两个零点分别为 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ），
要使得函数 SKIPIF 1 < 0 至少有3个零点，则 SKIPIF 1 < 0 ，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述，实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：10.
【点睛】方法点睛：函数零点个数判断方法：(1)直接法：直接求出 SKIPIF 1 < 0 的解；(2)图象法：作出函数 SKIPIF 1 < 0 的图象，观察与 SKIPIF 1 < 0 轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知 SKIPIF 1 < 0 .
（1）化简 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）利用诱导公式可化简 SKIPIF 1 < 0 的表达式；
（2）由已知可得出 SKIPIF 1 < 0 ，等式两边平方可得 SKIPIF 1 < 0 的值，进而可计算得出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【小问1详解】
解： SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
两边平方得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
18. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值；
（2）求关于x的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）答案见解析
【解析】
【分析】(1) 根据已知条件及基本不等式即可求解；
(2) 利用一元二次不等式的解法及对参数 SKIPIF 1 < 0 分类讨论即可求解.
【小问1详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
当且仅当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立.
所以当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式的解集为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
19. 已知 SKIPIF 1 < 0 为锐角，且 SKIPIF 1 < 0 .
（1）求 SKIPIF 1 < 0 的值；
（2）求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域和单调区间.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0
（2）定义域为 SKIPIF 1 < 0 ；单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，无单调递减区间
【解析】
【分析】（1）根据条件解关于 SKIPIF 1 < 0 的一元二次方程，从而得到 SKIPIF 1 < 0 的值，结合 SKIPIF 1 < 0 为锐角，即可求解；
（2）由（1）得到 SKIPIF 1 < 0 ，结合正切函数的定义域和单调性，即可求解.
【小问1详解】
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 为锐角，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由（1）得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
即函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
再令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，无单调递减区间.
20. 函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期为 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调递增区间；
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值及对应x的值．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 的最大值为2， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为－1， SKIPIF 1 < 0
【解析】
【分析】（1）根据函数 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 可求得 SKIPIF 1 < 0 的值，从而可得到 SKIPIF 1 < 0 的解析式，再利用整体代入法求函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间，进而可求得函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调增区间；
（2）根据 SKIPIF 1 < 0 的取值范围可得到 SKIPIF 1 < 0 的取值范围，从而可求出 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值及对应x的值．
【小问1详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的单调增区间是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【小问2详解】
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有最大值2，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 有最小值－1，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值为2，这时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值为－1，这时 SKIPIF 1 < 0 ．
21. 在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量 SKIPIF 1 < 0 （单位：百万个）与培养时间 SKIPIF 1 < 0 （单位：小时）的关系为：
根据表格中的数据画出散点图如下：
为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择：
① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 .
（1）选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由；
（2）利用 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ;
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）根据函数的增长速度可求解；
（2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由 SKIPIF 1 < 0 即可求解.
【小问1详解】
随着自变量的增加，函数值的增长速度变小，
而 SKIPIF 1 < 0 在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
SKIPIF 1 < 0 随着自变量的增加，函数值的增长速度变大，
故选择函数 SKIPIF 1 < 0 .
【小问2详解】
由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故至少再经过 SKIPIF 1 < 0 小时，细菌数列达到6百万个.
22. 已知函数 SKIPIF 1 < 0 为定义在 SKIPIF 1 < 0 上的偶函数，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
（1）①作出函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的图象；
②若方程 SKIPIF 1 < 0 恰有6个不相等的实根，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【答案】（1）①图象见解析；② SKIPIF 1 < 0 ；
（2） SKIPIF 1 < 0 .
【解析】
【分析】（1）①先作出 SKIPIF 1 < 0 上的图象，再利用偶函数的性质作出 SKIPIF 1 < 0 上的图象即可，② SKIPIF 1 < 0 恰有6个不相等的实根，等价于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有6个交点，然后结合图象可求得答案；
（2）由题意可得 SKIPIF 1 < 0 ，利用函数的单调性结合换元法求出 SKIPIF 1 < 0 ，再由（1）求出 SKIPIF 1 < 0 ，代入上式可求出实数 SKIPIF 1 < 0 的范围，从而可求出其最小值.
【小问1详解】
①当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
列表：
描点连线，图象如图，
因为 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，所以 SKIPIF 1 < 0 的图象关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的图象如图所示；
② SKIPIF 1 < 0 恰有6个不相等的实根，等价于 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 有6个交点，
由图象可知当 SKIPIF 1 < 0 时，有6个交点，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 ；
【小问2详解】
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上为增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由（1）可知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最小值为0，
因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以实数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0
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3
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SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
4
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
0
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6
7
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9
10
SKIPIF 1 < 0
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4
3
2
1
0
1
2
3
4