2022-2023学年湖北省武汉市常青联合体高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市常青联合体高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）直线l：x+y+3＝0的倾斜角α为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
2．（5分）椭圆的焦点坐标为（ ）
A．（±5，0）B．（±1，0）C．D．
3．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设为棱BB1的中点，则向量可用向量表示为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）若直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，则m的值为（ ）
A．1B．﹣2C．1或﹣2D．
5．（5分）设圆C1：x2+y2﹣2x+4y＝4，圆C2：x2+y2+6x﹣8y＝0，则圆C1，C2的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
6．（5分）若直线y＝﹣x+b与曲线x有两个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[1，）D．（1，）
7．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则实数b的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．（5分）已知点P为直线y＝x+1上的一点，M、N分别为圆C1：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4与圆：C2：x2+（y﹣4）2＝1上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）
A．5B．6C．2D．1
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知直线l：x+y﹣2＝0，则（ ）
A．倾斜角为60°
B．恒过点（0，2）
C．直线l的方向向量为
D．在x轴上的截距为2
（多选）10．（5分）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当m＞6或m＜2时，曲线C是双曲线
B．当2＜m＜6时，曲线C是椭圆
C．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则m＞6
D．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则2＜m＜4
（多选）11．（5分）过点P（2，1）作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．四边形PAOB的外接圆方程为x2+y2＝2x+y
C．直线AB方程为y＝2x+1
D．三角形PAB的面积为
（多选）12．（5分）一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点F（3，0），椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线y＝t（t＞0）与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是
B．线段AB长度的取值范围是
C．△ABF的面积存在最大值
D．△AOB的周长存在最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，，则向量与的夹角为 ．
14．（5分）双曲线y21的渐近线方程为 ．
15．（5分）若直线kx﹣y+1﹣2k＝0与圆x2+y2＝9分别交于M、N两点．则弦MN长的最小值为 ．
16．（5分）已知双曲线方程为，（a＞0，b＞0），两焦点分别为F1，F2，直线AB经过F2与双曲线交于A，B两点，其中AB⊥AF1且2|AF2|＝|F2B|，则此双曲线离心率为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3）．
（1）求BC边的垂直平分线DE所在直线方程；
（2）求△ABC内BC边上中线AD方程．
18．（10分）已知圆心为C（0，3），且经过点的圆．
（1）求此圆C的方程；
（2）直线l：y＝ax与圆C相交于A、B两点．若△ABC为等边三角形，求直线l的方程．
19．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．
（1）求线段BC的长度；
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
20．（15分）已知椭圆的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线l的方程．
21．（10分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB1⊥BC．
（1）证明：BC⊥AB；
（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB＝BC＝2，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．
22．（10分）已知椭圆的离心率为，F（﹣1，0）为其左焦点，过F的直线l与椭圆交于A，B两点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）试求△OAB面积的最大值以及此时直线l的方程．
2022-2023学年湖北省武汉市常青联合体高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）直线l：x+y+3＝0的倾斜角α为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．150°
【解答】解：由于直线l：x+y+3＝0的倾斜角为α，则直线的斜率tanα，
再由0°≤α＜180°，可得 α＝120°，
故选：C．
2．（5分）椭圆的焦点坐标为（ ）
A．（±5，0）B．（±1，0）C．D．
【解答】解：椭圆，a＝2，b，则，
则焦点坐标为（±1，0）
故选：B．
3．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设为棱BB1的中点，则向量可用向量表示为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，设为棱BB1的中点，
如图所示，，
∴，
故选：D．
4．（5分）若直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，则m的值为（ ）
A．1B．﹣2C．1或﹣2D．
【解答】解：直线x+（1+m）y﹣2＝0和直线mx+2y+4＝0平行，可得，得：m＝1，
故选：A．
5．（5分）设圆C1：x2+y2﹣2x+4y＝4，圆C2：x2+y2+6x﹣8y＝0，则圆C1，C2的公切线有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
【解答】解：圆C1：x2+y2﹣2x+4y＝4⇔圆，
则圆心C1（1，﹣2），半径为3，
圆C2：x2+y2+6x﹣8y＝0⇔圆，
则圆心C2（﹣3，4），半径为5，
∵，
∴C1与C2相交，∴有2条公切线．
故选：B．
6．（5分）若直线y＝﹣x+b与曲线x有两个公共点，则b的取值范围是（ ）
A．[﹣1，1]B．[﹣1，]C．[1，）D．（1，）
【解答】解：曲线x表示以（0，0）为圆心，1为半径的圆在直线y＝0右侧的部分，
如图所示，
当直线y＝﹣x+b与圆x相切时，b；
当直线过点（0，1）时，b＝1，此时有两个交点．
∴实数b的范围是1≤b，
故选：C．
7．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则实数b的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：由题意得|PF1|+|PF2|＝2a，
∵，△PF1F2的面积为9，
∴，即|PF1|⋅|PF2|＝18，且，
∴，即4a2﹣36＝4c2，
∴a2﹣c2＝9，解得b＝3，
故选：A．
8．（5分）已知点P为直线y＝x+1上的一点，M、N分别为圆C1：（x﹣4）2+（y﹣1）2＝4与圆：C2：x2+（y﹣4）2＝1上的点，则|PM|+|PN|的最小值为（ ）
A．5B．6C．2D．1
【解答】解：如图所示，由圆，可得圆心C1（4，1），半径为r1＝2，
圆，可得圆心C2（0，4），半径为r2＝1，
可得圆心距，
所以|PM|+|PN|≥5﹣r1﹣r2＝2，当M，N，C1，C2，P共线时，取得最小值，
故|PM|+|PN|的最小值为2．
故选：C．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知直线l：x+y﹣2＝0，则（ ）
A．倾斜角为60°
B．恒过点（0，2）
C．直线l的方向向量为
D．在x轴上的截距为2
【解答】解：对于A，直线l：x+y﹣2＝0，即y，
故直线斜率k，倾斜角为120°，故A错误；
对于B，点（0，2）满足方程x+y﹣2＝0，故B正确；
对于C，直线l的斜率为，
（1，）与原点连线斜率也是，与直线平行，
故直线l的方向向量为，故C正确；
对于D，直线l：x+y﹣2＝0，令y＝0，解得x，
故在x轴上的截距为，故D错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（ ）
A．当m＞6或m＜2时，曲线C是双曲线
B．当2＜m＜6时，曲线C是椭圆
C．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则m＞6
D．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则2＜m＜4
【解答】解：对A选项，若曲线C为双曲线，则（6﹣m）（m﹣2）＜0，
解得m＞6或m＜2，∴A选项正确；
对B选项，若曲线C为椭圆，则，
解得2＜m＜4或4＜m＜6，∴B选项错误；
对C选项，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则m﹣2＞6﹣m＞0，
解得4＜m＜6，∴C选项错误；
对D选项，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则6﹣m＞m﹣2＞0，
解得：2＜m＜4，∴D正确．
故选：AD．
（多选）11．（5分）过点P（2，1）作圆O：x2+y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．四边形PAOB的外接圆方程为x2+y2＝2x+y
C．直线AB方程为y＝2x+1
D．三角形PAB的面积为
【解答】解：对于A，由题意，，
由勾股定理可得，|PA|，
故选项A错误；
对于B，由题意可知，PB⊥OB，
则PO为所求圆的直径，
所以线段PO的中点为，半径为，
则所求圆的方程为，
化为一般方程为x2+y2＝2x+y，
故选项B正确；
对于C，由题意，其中一个切点的坐标为（0，1），不妨设为点B，
则AB⊥OP，
又，
所以kAB＝﹣2，
所以直线AB的方程为y＝﹣2x+1，
故选项C错误；
对于D，因为PO⊥AB，且直线OP的方程为，直线AB的方程为y＝﹣2x+1，
联立方程组，解得，
所以两条直线的交点坐标为，
则|BD|，
|PD|，
故△PBD的面积为，
所以△PAB的面积为，
故选项D正确．
故选：BD．
（多选）12．（5分）一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点F（3，0），椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线y＝t（t＞0）与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆的离心率是
B．线段AB长度的取值范围是
C．△ABF的面积存在最大值
D．△AOB的周长存在最大值
【解答】解：对于A：由题意得半圆的方程为x2+y2＝9（x≤0），
设半椭圆的方程为，
又椭圆的短轴与半圆的直径重合，即b＝c＝3，则，
则半椭圆的方程为，
则椭圆的离心率，故A正确；
对于B：直线y＝t（t＞0）与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，
则线段AB长度的取值范围是，故B正确；
对于C：不妨设A（x1，t），B（x2，t），
则由t2＝9（x1≤0）得，由（x2≥0）得；
则，当且仅当时等号成立，故C正确；
对于D：△OAB的周长为，则l（t）在（0，3）上单调递减，
则△OAB的周长不存在最大值，故D错误，
故选：ABC．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）已知，，则向量与的夹角为 ．
【解答】解：因为，，，，
故答案为：．
14．（5分）双曲线y21的渐近线方程为 y ．
【解答】解：因为双曲线，焦点在y轴，a＝1，，
渐近线方程为．
故答案为：．
15．（5分）若直线kx﹣y+1﹣2k＝0与圆x2+y2＝9分别交于M、N两点．则弦MN长的最小值为 4 ．
【解答】解：由圆x2+y2＝9，可得圆心O（0，0），半径为3，
又直线kx﹣y+1﹣2k＝0，可化为k（x﹣2）﹣y+1＝0，
∴直线过定点P（2，1），
又22+12＜9，∴点P在圆的内部，
∴当圆心到直线MN距离最大时，弦长MN最小，此时OP⊥MN，
此时，
故答案为：4．
16．（5分）已知双曲线方程为，（a＞0，b＞0），两焦点分别为F1，F2，直线AB经过F2与双曲线交于A，B两点，其中AB⊥AF1且2|AF2|＝|F2B|，则此双曲线离心率为 ．
【解答】解：连接BF1，设|AF2|＝m，则|F2B|＝2m，
由双曲线的定义可得|F1B|＝|F2B|+2a＝2m+2a，|F1A|＝|F2A|+2a＝m+2a，
在直角△AF1B中，，即（2a+m）2+（3m）2＝（2m+2a）2，
化简可得，
在直角△AF1F2中，，即（2a+m）2+m2＝（2c）2，
将代入上式，可得，
整理可得，
所以，
故答案为：．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）△ABC的三个顶点分别是A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3）．
（1）求BC边的垂直平分线DE所在直线方程；
（2）求△ABC内BC边上中线AD方程．
【解答】解：（1）由B（2，1），C（﹣2，3）可得线段BC的中点为（0，2），，
因为DE是BC边的垂直平分线，
所以kDE＝2，
则DE所在直线方程：y﹣2＝2x即2x﹣y+2＝0；
（2）由（1）可得线段BC的中点为（0，2），
故BC边上中线AD方程为即2x﹣3y+6＝0，
所以△ABC内BC边上中线AD方程：2x﹣3y+6＝0（﹣3＜x＜0）．
18．（10分）已知圆心为C（0，3），且经过点的圆．
（1）求此圆C的方程；
（2）直线l：y＝ax与圆C相交于A、B两点．若△ABC为等边三角形，求直线l的方程．
【解答】解：（1）因为圆心为C（0，3），
所以圆C的方程设为x2+（y﹣3）2＝r2，该圆过，
所以，
所以圆C的方程为x2+（y﹣3）2＝3；
（2）由（1）可知该圆的半径为
因为△ABC为等边三角形，且边长为，
所以该等边三角形的高为，
所以圆心C到直线l：y＝ax的距离为，即，
所以直线l的方程为或．
19．（15分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，PD＝DC＝1，M为BC的中点，且PB⊥AM．
（1）求线段BC的长度；
（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值．
【解答】解：（1）∵PD⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，
∴以DA、DC、DP所在直线分别为x、y、z轴，建立如图空间直角坐标系D﹣xyz，
设BC＝2a，则D（0，0，0），P（0，0，1），C（0，1，0），
B（2a，1，0），M（a，1，0）、A（2a，0，0），
∴，，
∵PB⊥AM，∴，
解得，∴；
（2）∵，，，
设平面PBC的法向量为，
则，取，
∴cs，
∴直线PA与平面PBC所成角正弦值为．
20．（15分）已知椭圆的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求直线l的方程．
【解答】解：（1）∵2c＝6，∴c＝3，
又椭圆上的点到两焦点距离之和为2a，
∴椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为2a+2c＝16．
∴a＝5，c＝3，∴b2＝a2﹣c2＝16，
∴椭圆C的标准方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），
则，
两式相减可得，
∴，
∵为线段AB的中点，
∴，，
∴直线l的斜率，
∴直线l的方程为，
即4x+5y﹣2＝0．
21．（10分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1，AB1⊥BC．
（1）证明：BC⊥AB；
（2）设D为A1C的中点，AA1＝AB＝BC＝2，求二面角A﹣BD﹣C的余弦值．
【解答】解：（1）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，
∴BB1⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC，
∴BC⊥BB1，又BC⊥AB1，且AB1∩BB1＝B1，AB1，BB1⊂平面A1ABB1，
∴BC⊥平面A1ABB1，又AB⊂平面A1ABB1，
∴BC⊥AB；
（2）∵BC，BA，BB1两两垂直，∴建立如图，
则根据题意可得：A（0，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），D（1，1，1），
∴，，，
设平面ABD的一个法向量，
则，取，
设平面BDC的一个法向量，
则，取，
∴，又由图可知所求角为钝角，
∴二面角A﹣BD﹣C的余弦值为．
22．（10分）已知椭圆的离心率为，F（﹣1，0）为其左焦点，过F的直线l与椭圆交于A，B两点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）试求△OAB面积的最大值以及此时直线l的方程．
【解答】解：（1）根据题意可得c＝1，又离心率，
∴a＝2，∴，
∴椭圆E的标准方程为；
（2）显然直线l不垂直于y轴，
∴设其方程为x＝my﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去x得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，
∴，
∴，
∴△OAB的面积，
令，∴，
又易知在t∈[1，+∞）上单调递增，
∴当t＝1，即m＝0时，取得最小值4，S△OAB取得最大值，
此时直线l：x＝﹣1，
∴△OAB面积的最大值为，此时直线l的方程x＝﹣1．