2022-2023学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）已知直线l1：mx﹣2y+1＝0，l2：x﹣（m﹣1）y﹣1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A．B．C．D．
3．（5分）某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ）
A．14B．16C．20D．48
4．（5分）某一电子集成块有三个元件a，b，c并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能．正常工作的概率均为，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）设函数f（x）＝xsinx+csx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k＝g（t）的部分图象为（ ）
A．B．
C．D．
6．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0），（m＞0）．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
7．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的交点，若|FP|＝4|FQ|，则|FQ|＝（ ）
A．4B．C．或 D．
8．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣ax+a（a∈R），x∈[1，+∞）时，若f（x）≥1恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，0）C．（﹣1，0]D．[0，+∞）
二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（ ）
A．奇数项的二项式系数和为256
B．第6项的系数最大
C．存在常数项
D．有理项共有6项
（多选）10．（5分）设{an}是各项为正数的等比数列，q是其公比，Tn是其前n项的积，且T6＜T7，T7＝T8＞T9，则下列结论正确的是（ ）
A．q＞1
B．a8＝1
C．T10＞T6
D．T7与T8均为Tn的最大值
（多选）11．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，沿对角线AC将矩形折成一个大小为θ的二面角B﹣AC﹣D，若csθ，则（ ）
A．四面体ABCD外接球的表面积为16π
B．点B与点D之间的距离为2
C．四面体ABCD的体积为
D．异面直线AC与BD所成的角为45°
（多选）12．（5分）已知椭圆的焦距为6，焦点为F1、F2，长轴的端点为A1、A2，点M是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆C的离心率为e，则下列说法正确的是（ ）
A．若△MF1F2的周长为16，则椭圆的方程为
B．若△MF1F2的面积最大时，∠F1MF2＝120°，则
C．若椭圆C上存在点M使，则e∈（0，]
D．以MF1为直径的圆与以A1A2为直径的圆内切
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为 ．
14．（5分）直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为﹣9，则离心率e＝ ．
15．（5分）已知函数f（x）＝xlnx+mex有两个极值点，则实数m的取值范围是 ．
16．（5分）设等差数列{an}的各项均为整数，首项a1＝3，且对任意正整数n，总存在正整数m，使得a1+a2+…+an＝am，则这样的数列{an}的个数为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数f（x）＝ax2+6lnx，a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a＝﹣3，求函数f（x）的极值．
18．（12分）有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）任取一个零件，如果取到的零件是次品的条件下，零件来自第一台机床将损失1万元，来自第二台机床将损失2万元，来自第三台机床将损失3万元．设该工厂的损失为X万元，求X的分布列与数学期望．
19．（12分）已知数列{an}的各项均为正数，对任意的n∈N*，它的前n项和Sn满足Sn，并且a2，a4，a9成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝（﹣1）n+1an•an+1，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n．
20．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．
（1）求证：QB∥平面PDC；
（2）求二面角C﹣PB﹣Q的正弦值；
（3）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成的夹角为θ，求csθ的取值范围．
21．（12分）已知函数g（x）x+lnx．
（1）函数f（x）＝g（x）﹣mx，若f（x）存在单调递减区间，求实数m的取值范围；
（2）设x1，x2（x1＜x2）是（1）中函数f（x）的两个极值点，若m，求f（x1）﹣f（x2）的最小值．
22．（12分）已知椭圆C：1，A1，A2为椭圆C的左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，Q为椭圆C上任意一点．
（1）求直线QA1和QA2的斜率之积；
（2）直线l交椭圆C于点M，N两点（l不过点A2），直线MA2与直线NA2的斜率分别是k1，k2且k1k2，直线A1M和直线A2N交于点P（x0，y0）．
①探究直线l是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；
②证明：x0为定值，并求出该定值．
2022-2023学年湖南师大附中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知直线l1：mx﹣2y+1＝0，l2：x﹣（m﹣1）y﹣1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若l1∥l2，
则m×[﹣（m﹣1）]＝﹣2×1，∴m＝2或m＝﹣1，
当m＝﹣1时，直线l1：x+2y﹣1＝0，l2：x+2y﹣1＝0重合，
∴m＝2，
故m＝2是l1∥l2的充要条件．
故选：C．
2．（5分）《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一．书中有这样一道题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设5人分到的面包从小到大记下为{an}，
则5a3＝100，
所以a3＝20，
因为a3+a4+a5＝7（a1+a2），
所以60+3d＝7（40﹣3d），
解得d，
所以a1＝a3﹣2d＝20．
故选：A．
3．（5分）某地政府召集5家企业的负责人开会，已知甲企业有2人到会，其余4家企业各有1人到会，会上有3人发言，则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为（ ）
A．14B．16C．20D．48
【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，
由于甲有两个人参加会议需要分两类：
①含有甲的选法有C21C42种，
②不含有甲的选法有C43种，
共有C21C42+C43＝16（种），
故选：B．
4．（5分）某一电子集成块有三个元件a，b，c并联构成，三个元件是否有故障相互独立．已知至少1个元件正常工作，该集成块就能正常运行．若每个元件能．正常工作的概率均为，则在该集成块能够正常工作的情况下，有且仅有一个元件出现故障的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：记事件A为该集成块能够正常工作，事件B为仅有一个元件出现故障，则为该集成块不能正常工作，
所以P（A）＝1﹣P（）＝1，P（B），
所以P（B|A），
故选：A．
5．（5分）设函数f（x）＝xsinx+csx的图象在点（t，f（t））处切线的斜率为k，则函数k＝g（t）的部分图象为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：∵f（x）＝xsinx+csx
∴f′（x）＝（xsinx）′+（csx）′
＝x（sinx）′+（x）′sinx+（csx）′
＝xcsx+sinx﹣sinx
＝xcsx
∴k＝g（t）＝tcst
根据y＝csx的图象可知g（t）应该为奇函数，且当x＞0时g（t）＞0
故选：B．
6．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1和两点A（﹣m，0），B（m，0），（m＞0）．若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°，则m的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【解答】解：∵∠APB＝90°，∴点P的轨迹是以AB为直径的圆O，
故点P是圆O与圆C的交点，
因此两圆相切或相交，即|m﹣1|m+1，
解得4≤m≤6．
∴m的最小值为4．
故选：D．
7．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的交点，若|FP|＝4|FQ|，则|FQ|＝（ ）
A．4B．C．或 D．
【解答】解：由已知抛物线方程可得F（1，0），准线方程l：x＝﹣1，
如图所示：
当Q在线段PF上时，过Q作QM⊥l，
设直线l与x 轴交于点S，由抛物线的定义可得|FQ|＝|MQ|，
在三角形PSF中，MQ∥SF，
所以，而|FP|＝4|FQ|，|SF|＝2，
所以，
所以|MQ|，即|FQ|，
当Q在PF的延长线上，过Q作QN⊥l，
所以在三角形PNQ中，|NQ|＝|FQ|，
且，
所以|NQ|，
综上，|FQ|，
故选：C．
8．（5分）已知函数f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣ax+a（a∈R），x∈[1，+∞）时，若f（x）≥1恒成立，则a的取值范围为（ ）
A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，0）C．（﹣1，0]D．[0，+∞）
【解答】解：函数f（x）＝ex﹣1﹣lnx﹣ax+a（a∈R），x∈[1，+∞），f（1）＝1．
f′（x）＝ex﹣1a＝g（x），x∈[1，+∞），可得函数g（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，
f′（1）＝﹣a，
令f′（1）＝﹣a≥0，解得a≤0．
∴函数f（x）在x∈[1，+∞）上单调递增，∴f（x）≥f（1）＝1，满足题意．
令f′（1）＝﹣a＜0，解得a＞0．
存在x0＞1，使得f′（x0）＝0，
∴函数f（x）在x∈[1，x0）上单调递减，
∴f（x0）＜f（1）＝1，不满足题意，舍去．
综上可得函数f（x）的取值范围为（﹣∞，0]．
故选：A．
二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，满分20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（多选）9．（5分）已知的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（ ）
A．奇数项的二项式系数和为256
B．第6项的系数最大
C．存在常数项
D．有理项共有6项
【解答】解：对于二项式，令x＝1，可得它的展开式的各项系数之和为（a+1）10＝1024，
故有a＝1或a＝﹣3（舍去），
所以该二项式为，故它的奇数项的二项式系数和为29＝512，故A错误；
则展开的通项公式为Tr+1•．
故当r＝5时，系数最大，即第6项的系数最大，故B正确；
令0，求得r＝2，可得该二项式存在常数项，故C正确；
令为整数，可得r＝0，2，4，6，8，10，故该二项式存在6个有理项，故D正确，
故选：BCD．
（多选）10．（5分）设{an}是各项为正数的等比数列，q是其公比，Tn是其前n项的积，且T6＜T7，T7＝T8＞T9，则下列结论正确的是（ ）
A．q＞1
B．a8＝1
C．T10＞T6
D．T7与T8均为Tn的最大值
【解答】解：根据题意，{an}是各项为正数的等比数列，q是其公比，Tn是其前n项的积，
由T7＝T8可得a81，故B正确；
由T6＜T7可得a7＞1，则q∈（0，1），故A错误；
{an}是各项为正数的等比数列，q∈（0，1），则有a1＞a2＞……＞a7＞a8＝1＞a9＞a10＞……，
对于C，a7a8a9a10＝（a8a9）2＝a92＜1，则有T10＜T6，C错误，
对于D，T1＜T2……＜T7＝T8＞T9＞T10……，则T7与T8均为Tn的最大值，D正确，
故选：BD．
（多选）11．（5分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，沿对角线AC将矩形折成一个大小为θ的二面角B﹣AC﹣D，若csθ，则（ ）
A．四面体ABCD外接球的表面积为16π
B．点B与点D之间的距离为2
C．四面体ABCD的体积为
D．异面直线AC与BD所成的角为45°
【解答】解：如图，因为△ABC和△ADC都是以AC为斜边的直角三角形，则AC为四面体ABCD外接球的直径．
因为，则2R＝AC＝4，
所以四面体ABCD外接球的表面积为S＝4πR2＝16π，故A正确；
分别作BE⊥AC，DF⊥AC，垂足为E，F，则．
由已知可得，．因为，则

，所以，故B错误；
因为CD2+BD2＝12＝BC2，
则CD⊥BD．同理AB⊥BD．又CD⊥AD，AD∩BD＝D，AD，BD⊂平面ABD，
则CD⊥平面ABD，所以，故C正确；由已知可得，∠CAD＝30°，∠CAB＝60°，
则，则，得，
所以异面直线AC与BD所成的角为45°，故D正确，
故选：ACD．
（多选）12．（5分）已知椭圆的焦距为6，焦点为F1、F2，长轴的端点为A1、A2，点M是椭圆上异于长轴端点的一点，椭圆C的离心率为e，则下列说法正确的是（ ）
A．若△MF1F2的周长为16，则椭圆的方程为
B．若△MF1F2的面积最大时，∠F1MF2＝120°，则
C．若椭圆C上存在点M使，则e∈（0，]
D．以MF1为直径的圆与以A1A2为直径的圆内切
【解答】解：由椭圆的焦距为6，
则2c＝6，
即c＝3，
对于选项A，因为△MF1F2的周长为16，
则2a+2c＝16，
即a＝5，
则b＝4，
即椭圆的方程为，
即选项A正确；
对于选项B，当△MF1F2的面积最大时，点M在短轴顶点处，
又∠F1MF2＝120°，
则，
即，
即选项B正确；
对于选项C，椭圆C上存在点M使，
设N为短轴顶点，
则∠F1NF2≥90°，
即∠ONF2≥45°，
则，
即，
即选项C错误；
对于选项D，设以MF1为直径的圆的圆心为O1，
则，
即以MF1为直径的圆与以A1A2为直径的圆内切，
即选项D正确，
故选：ABD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班．假设每名候选人都有相同的机会被选到，则甲班恰有2名同学被选到的概率为 ．
【解答】解：设甲班恰有2名同学被选到为事件A，
基本事件总数为99×5，
事件A包含的基本事件数为•168，
∴P（A），
故答案为：．
14．（5分）直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为﹣9，则离心率e＝ ．
【解答】解：∵直线与双曲线都关于原点对称，
∴两交点A，B也关于原点对称，
又两交点A，B的横坐标之积为﹣9，
∴两交点的横坐标为±3，又交点在直线上，
∴其中一个交点坐标为（3，2），将其代入双曲线方程：中，
可得，其中a＞0，
∴解得a，又b2＝8，∴，
∴该双曲线的离心率为，
故答案为：．
15．（5分）已知函数f（x）＝xlnx+mex有两个极值点，则实数m的取值范围是 （，0） ．
【解答】解：因为f（x）＝xlnx+mex，所以f'（x）＝1+lnx+mex，
令f'（x）＝0，得，
要使函数f（x）＝xlnx+mex有两个极值点，只需有两个不同根，
从而函数与y＝﹣m的图象有两个交点，
，令，
则h（x）在（0，+∞）上单调递减且h（1）＝0，
∴当x∈（0，1）时，h（x）≥0，即g'（x）≥0，g（x）在（0，1]上单调递增；
当x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减，
故，
令得，
当时，1+lnx＜0，g（x）＜0，当时，1+lnx＞0，g（x）＞0，
若f（x）有两极值点，只要y＝﹣m和g（x）的图象在（0，+∞）上有两个交点，
所以，
故实数m的取值范围是．
故答案为：．
16．（5分）设等差数列{an}的各项均为整数，首项a1＝3，且对任意正整数n，总存在正整数m，使得a1+a2+…+an＝am，则这样的数列{an}的个数为 3 ．
【解答】解：∵等差数列{an}的各项均为整数，首项a1＝3，
且对任意正整数n，总存在正整数m，使得a1+a2+…+an＝am，
设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，
即对任意正整数n，总存在正整数m，使得Sn＝am，
∴3n3+（m﹣1）d，不妨令n＝2，可得3＝（m﹣2）d，
即（m﹣2）d＝1×3＝3×1＝（﹣1）×（﹣3），由于m﹣2不会是﹣3，
∴d＝3，1，﹣3，
则这样的数列{an}的个数为3，
故答案为：3．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）已知函数f（x）＝ax2+6lnx，a∈R．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若a＝﹣3，求函数f（x）的极值．
【解答】解：（1）f（x）＝ax2+6lnx，a∈R，x∈（0，+∞），，
当a≥0时，f'（x）≥0，所以f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，取，解得（舍去负值），
当时，f'（x）＞0，函数单调递增；
当时，f'（x）＜0，函数单调递减；
综上所述：当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减．
（2）当a＝﹣3时，，取f'（x）＝0，解得x＝1（舍去负值），
当0＜x＜1时，f'（x）＞0，函数单调递增；当x＞1时，f'（x）＜0，函数单调递减，
所以f（x）有极大值为f（1）＝﹣3，无极小值．
18．（12分）有3台机床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台机床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．
（1）任取一个零件，计算它是次品的概率；
（2）任取一个零件，如果取到的零件是次品的条件下，零件来自第一台机床将损失1万元，来自第二台机床将损失2万元，来自第三台机床将损失3万元．设该工厂的损失为X万元，求X的分布列与数学期望．
【解答】解：（1）设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台车机床加工”，i＝1，2，3，
则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，
依题意得P（A1）＝0.25，P（A2）＝0.3，P（A3）＝0.45，P（B|A1）＝0.06，P（B|A2）＝P（B|A3）＝0.05，
由全概率公式，得P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05＝0.0525；
（2）由题意得x的可能取值为1，2，3，
则，
所以随机变量X的分布列为：
所以数学期望．
19．（12分）已知数列{an}的各项均为正数，对任意的n∈N*，它的前n项和Sn满足Sn，并且a2，a4，a9成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝（﹣1）n+1an•an+1，Tn为数列{bn}的前n项和，求T2n．
【解答】解（1）∵对任意n∈N*，有①
∴当n＝1时，有，解得a1＝1或2，
当n≥2时，有②
①﹣②并整理得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣3）＝0，
而数列{an}的各项均为正数，∴an﹣an﹣1＝3，
当a1＝1时，an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，此时成立；
当a1＝2时，an＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1，此时不成立，舍去，
∴；
（2）由（1）可知，数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，且an＝3n﹣2，
∴T2n＝b1+b2+…+b2n
＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…﹣a2na2n+1
＝a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）
＝﹣6a2﹣6a4﹣…﹣6a2n＝﹣6（a2+a4+…+a2n）

＝﹣18n2﹣6n．
20．（12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形四边形ADPQ是梯形，PD∥QA，∠PDA，平面ADPQ⊥平面ABCD，且AD＝PD＝2QA＝2．
（1）求证：QB∥平面PDC；
（2）求二面角C﹣PB﹣Q的正弦值；
（3）已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成的夹角为θ，求csθ的取值范围．
【解答】解：（1）证明：∵平面ADPQ⊥平面ABCD，
又平面ADPQ∩平面ABCD＝AD，PD⊂平面ADPQ，PD⊥AD，
∴PD⊥平面ABCD，
根据题意，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正向，建立如图空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A（2，0，0），Q（2，0，1），P（0，0，2），
∵四边形ABCD是正方形，∴AD⊥CD，
又PD⊥AD，PD∩CD＝D，PD⊂面PDC，CD⊂面PDC，
∴AD⊥面PDC．
∴是平面PDC的一个法向量，
又，∴，
又直线QB⊄平面PDC，∴QB∥平面PDC；
（2）∵，
设）为平面PBC的法向量，
则，∴，取，
设）为平面PBQ的法向量，又
则，∴，取，
∴，
∴二面角C﹣PB﹣Q的正弦值为；
（3）设H（0，0，h）（0≤h＜2），则，
又，，
∴，
设，x∈[0，2），
则0，
∴f（x）在区间[0，2）上单调递增，
又f（0），f（2），
∴，
∴csθ的取值范围为[，）．
21．（12分）已知函数g（x）x+lnx．
（1）函数f（x）＝g（x）﹣mx，若f（x）存在单调递减区间，求实数m的取值范围；
（2）设x1，x2（x1＜x2）是（1）中函数f（x）的两个极值点，若m，求f（x1）﹣f（x2）的最小值．
【解答】解：（1）f（x）＝g（x）﹣mx（1﹣m）x+lnx，
则由题意得0在（0，+∞）上有解，
令h（x）＝x2+（1﹣m）x+1，x＞0，
即m﹣1＞x在（0，+∞）上有解，
故m﹣1＞2，
所以m＞3，
故m的取值范围为{m|m＞3}；
（2）由题意得0的两根分别为x1，x2（x1＜x2），
所以x2+（1﹣m）x+1＝0两根分别为x1，x2（0＜x1＜x2），
则，
因为f（x1）﹣f（x2）（）+（1﹣m）（x1﹣x2）+lnx1﹣lnx2
（）﹣（x1+x2）（x1﹣x2）+lnx1﹣lnx2
＝ln（）＝lnln（），
令t，则0＜t＜1，
因为m，所以（m﹣1）2，
而t2，
整理得4t2﹣17t+4≥0，
解得t或t≥4（舍），
令m（t）＝lnt（t），，
则0，
故m（t）在（0，]单调递减，
所以m（t）min＝m（），
故f（x1）﹣f（x2）的最小值为．
22．（12分）已知椭圆C：1，A1，A2为椭圆C的左、右顶点，F1，F2为左、右焦点，Q为椭圆C上任意一点．
（1）求直线QA1和QA2的斜率之积；
（2）直线l交椭圆C于点M，N两点（l不过点A2），直线MA2与直线NA2的斜率分别是k1，k2且k1k2，直线A1M和直线A2N交于点P（x0，y0）．
①探究直线l是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；
②证明：x0为定值，并求出该定值．
【解答】解：（1）椭圆C：1，则a＝2，
∴A1（﹣2，0），A2（2，0），
设Q（x0，y0），1．
则••．
（2）①设M（x1，y1），N（x2，y2），
直线MN的方程为my＝x﹣t，联立，
化为（3m2+4）y2+6mty+3t2﹣12＝0，
Δ＞0，
y1+y2，y1y2，
∵k1k2，
∴•，
化为4y1y2+9（my1+t﹣2）（my2+t﹣2）＝0，
整理为9m（t﹣2）（y1+y2）+（4+9m2）y1y2+9（t﹣2）2＝0，
∴9m（t﹣2）（）+（4+9m2）9（t﹣2）2＝0，
化为：t＝1．
∴直线l过定点（1，0）．
②证明：直线A1M和直线A2N的方程分别为：y（x+2），
y（x﹣2），
联立解得1，
不妨取y1，y2，
则1，
解得x0＝4． X
1
2
3
P