2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共21页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
1．（5分）直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为（ ）
A．0B．1C．D．2
2．（5分）函数的一条对称轴方程是（ ）
A．x＝0B．C．D．
3．（5分）若集合，则A∩B＝（ ）
A．∅B．{4}C．{0，4}D．{0，1，2，3，4}
4．（5分）如图，在同一平面内以平行四边形ABCD两边AB，AD为斜边向外作等腰直角△ABE，△ADF，若AB＝2，AD＝1，∠BAD，则（ ）
A．B．C．D．
5．（5分）6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同，不同的分配方案共有（ ）
A．540种B．360种C．180种D．120种
6．（5分）双曲线的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点重合，两曲线有一个公共点为P，若|PF|＝4，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
7．（5分）函数f（x）＝x10+x9+…+x﹣1（x＞0）的零点属于区间（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知x，y，θ∈R，若ex﹣2≤（x﹣y﹣1）ey，则x2+y2﹣2xcsθ﹣2ysinθ的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知复数z＝﹣2+i，则（ ）
A．z的虚部是﹣2
B．z的共轭复数是﹣2﹣i
C．z的模是
D．z在复平面内对应的点是（﹣2，1）
（多选）10．（5分）下列数列{an}中，单调递增的数列是（ ）
A．an＝（n﹣3）2B．an＝﹣（）n
C．an＝tannD．
（多选）11．（5分）法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河．他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程x3+y3＝3axy所表示的曲线称为笛卡尔叶形线．当a＝1时，笛卡尔叶形线具有的性质是（ ）
A．经过第三象限
B．关于直线y＝x对称
C．与直线x+y+1＝0有公共点
D．与直线x+y+1＝0没有公共点
（多选）12．（5分）过下列哪些点恰可以作函数f（x）＝2x3﹣3x的两条切线（ ）
A．（﹣2，﹣10）B．（﹣2，3）C．（﹣2，6）D．（﹣2，8）
三、本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）的展开式的常数项是 （用数字作答）．
14．（5分）圆x2+y2＝1与圆（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25的公共弦长等于 ．
15．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，异面直线AD1和BM所成的角为θ，则θ的取值范围是 ．（用区间表示）
16．（5分）曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设计．曲线y＝f（x）在点（x，f（x））曲率的计算公式是，其中y″是y'的导函数．则曲线xy＝1上点的曲率的最大值是 ．
三、本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台．该平台首次实现了“有组织，有管理，有指导，有服务”的学习，极大地满足了广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求，日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP．某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取1000人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
（1）估计该市市民每周利用“学习强国”时长在区间[6，8）内的概率和每周利用“学习强国”的平均时长；
（2）若宣传部为了解市民每周利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从[4，6）和[10，12）组中抽取7人了解情况，从这7人中随机选取2人参加座谈会，求所选取的2人来自不同的组的概率．
18．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：．
19．（12分）如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（b+c+a）（b+c﹣a）＝3bc．
（1）求A的大小；
（2）若△ABC内点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝∠PAC，求∠BPC的大小．
20．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2BB1＝2，E为BB1的中点．
（1）直线BC与平面AEC1的交点记为M，直线A1B1与平面AEC的交点记为N．证明：直线MN∥平面ACC1A1．
（2）求二面角E﹣AC1﹣C的大小；
21．（12分）设F，E分别是椭圆的左，右焦点，椭圆上存在点N，满足∠ENF＝90°且△ENF的面积为20．
（1）求b的值；
（2）设点P的坐标为（1，1），直线过点P，与椭圆交于点A，B，线段AB的中点记为M．若|FM|是|FA|与|FB|的等比中项，求a的最小值，并求出此时直线l的方程．
22．（12分）设函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax，a∈R，曲线y＝f（x）在原点处的切线为x轴．
（1）求a的值；
（2）求方程的解；
（3）证明：．
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为（ ）
A．0B．1C．D．2
【解答】解：直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值2．
故选：D．
2．（5分）函数的一条对称轴方程是（ ）
A．x＝0B．C．D．
【解答】解：函数csx•tanx＝sinx（x≠kπ，k∈Z），
对称轴方程是，
取k＝0，知是一条对称轴．
故选：C．
3．（5分）若集合，则A∩B＝（ ）
A．∅B．{4}C．{0，4}D．{0，1，2，3，4}
【解答】解：A＝{4}，B＝{0，1，2，3，4}，
∴A∩B＝{4}．
故选：B．
4．（5分）如图，在同一平面内以平行四边形ABCD两边AB，AD为斜边向外作等腰直角△ABE，△ADF，若AB＝2，AD＝1，∠BAD，则（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由已知可得




，
故选：B．
5．（5分）6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到一个社区，每个社区至少分配一名志愿者且人数各不相同，不同的分配方案共有（ ）
A．540种B．360种C．180种D．120种
【解答】解：由题意6名志愿者被分成1，2，3三组，然后再分配到3个社区全排，
所以共有种，
故选：B．
6．（5分）双曲线的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点重合，两曲线有一个公共点为P，若|PF|＝4，则该双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．2
【解答】解：不妨设点P在第一象限，
由抛物线方程为y2＝8x可得F（2，0），
因为|PF|＝4＝xP+2，
即xP＝2，
则yP＝4，
所以P的坐标为（2，4）．
因为双曲线的焦点是F（2，0），F1（﹣2，0），
根据双曲线的定义，
则．
故选：A．
7．（5分）函数f（x）＝x10+x9+…+x﹣1（x＞0）的零点属于区间（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵f（x）＝x10+x9+…+x﹣1（x＞0），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，
又，，
∴f（x）有唯一的零点，
故选：C．
8．（5分）已知x，y，θ∈R，若ex﹣2≤（x﹣y﹣1）ey，则x2+y2﹣2xcsθ﹣2ysinθ的最小值等于（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题设ex﹣y﹣2﹣（x﹣y﹣2）﹣1≤0，
设f（x）＝ex﹣x﹣1，则f′（x）＝ex﹣1，
当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以f（x）≥f（0）＝0，即ex﹣y﹣2﹣（x﹣y﹣2）﹣1≥0，
综上，ex﹣y﹣2﹣（x﹣y﹣2）﹣1＝0，
即f（x﹣y﹣2）＝0，
所以x﹣y﹣2＝0，
设P是直线x﹣y﹣2＝0上的点，Q（csθ，sinθ）是圆x2+y2＝1上的点，
而目标式为x2+y2﹣2xcsθ﹣2ysinθ＝（x﹣csθ）2+（y﹣sinθ）2﹣1＝|PQ|2﹣1，
由|PQ|min11，
故（|PQ|2﹣1）min＝（1）2﹣1＝2﹣2．
故选：B．
二、选择题：本共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
（多选）9．（5分）已知复数z＝﹣2+i，则（ ）
A．z的虚部是﹣2
B．z的共轭复数是﹣2﹣i
C．z的模是
D．z在复平面内对应的点是（﹣2，1）
【解答】解：复数z＝﹣2+i，
则z的虚部为1，故A错误；
z的共轭复数是﹣2﹣i，故B正确；
，故C正确；
z在复平面内对应的点是（﹣2，1），故D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（5分）下列数列{an}中，单调递增的数列是（ ）
A．an＝（n﹣3）2B．an＝﹣（）n
C．an＝tannD．
【解答】解：A：因为a1＝4，a2＝1，显然不是递增数列；
B：an﹣an﹣1＝（）n﹣10，
故an＞an﹣1，即数列为递增数列；
C：由正切函数的周期性可知，y＝tann不是单调递增数列；
D：令bn1，则bn﹣bn﹣10，
所以bn＞bn+1，
所以lnbn＞lnbn+1，即an+1＞an，即数列为递增数列．
故选：BD．
（多选）11．（5分）法国数学家笛卡尔开创了解析几何思想方法的先河．他研究了许多优美的曲线，在平面直角坐标系中，方程x3+y3＝3axy所表示的曲线称为笛卡尔叶形线．当a＝1时，笛卡尔叶形线具有的性质是（ ）
A．经过第三象限
B．关于直线y＝x对称
C．与直线x+y+1＝0有公共点
D．与直线x+y+1＝0没有公共点
【解答】解：当a＝1时，笛卡尔叶形线为x3+y3＝3xy，
A：若x＜0，y＜0，则x3+y3＜0，3xy＞0，x3+y3≠3xy，故不经过第三象限，故A错误；
B：若点（x，y）在曲线上，则点（y，x）也在曲线上，故笛卡尔叶形线关于直线y＝x对称，故B正确；
C，D：由方程组，得，得，此方程组无解，故笛卡尔叶形线与直线x+y+1＝0没有公共点，故D正确，C错误；
故选：BD．
（多选）12．（5分）过下列哪些点恰可以作函数f（x）＝2x3﹣3x的两条切线（ ）
A．（﹣2，﹣10）B．（﹣2，3）C．（﹣2，6）D．（﹣2，8）
【解答】解：函数f（x）＝2x3﹣3x的导数f′（x）＝6x2﹣3，
设切点坐标为（a，2a3﹣3a），
由题意当切线经过（﹣2，﹣10）时，可得，解得a＝1，此时切线方程：y+10＝3（x+2），
因为（﹣2，﹣10）在曲线上，所以切线方程有：y+10＝21（x+2）．所以A正确；
由题意当切线经过（﹣2，3）时，可得6a2﹣3，
得4a3+12a2﹣3＝0，方程有三个解，此时经过（﹣2，3）可以作函数f（x）＝2x3﹣3x的三条切线，所以B不正确；
由题意当切线经过（﹣2，6）时，可得6a2﹣3，
解得a＝0或a＝﹣3，此时经过（﹣2，6）可以作函数f（x）＝2x3﹣3x的两条切线，所以C正确；
由题意当切线经过（﹣2，8）时，可得6a2﹣3，
解得a＝0，此时经过（﹣2，8）可以作函数f（x）＝2x3﹣3x的一条切线，所以D不正确；
故选：AC．
三、本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）的展开式的常数项是 ﹣20 （用数字作答）．
【解答】解：（x﹣x﹣1）6展开式中的通项公式为Tr+1，
令6﹣2r＝0，解得r＝3，
故的展开式的常数项是．
故答案为：﹣20．
14．（5分）圆x2+y2＝1与圆（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25的公共弦长等于 ．
【解答】解：圆x2+y2＝1与圆（x﹣4）2+（y﹣4）2＝25的方程相减得：x+y﹣1＝0，
由圆x2+y2＝1的圆心（0，0），半径r为1，
且圆心（0，0）到直线x+y﹣1＝0的距离d，
则公共弦长为．
故答案为：．
15．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，动点M在线段A1C上，异面直线AD1和BM所成的角为θ，则θ的取值范围是 ．（用区间表示）
【解答】解：连结BC1，则BC1∥AD1，
所以异面直线AD1和BM所成的角即为直线BC1与BM所成的角，
所以θ的最小值为BC1与平面A1BC所成的角，
设CD1，C1D的交点为O，则∠OBC1为BC1与平面A1BC所成的角，
所以sin∠OBC1，
因为∠OBC1为锐角，所以∠OBC1，即θ的最小值为，
当点M与点A1重合时，直线BC1与BM所成的角为∠A1BC，此时θ取得最大值，为，
所以θ的取值范围是．
故答案为：．
16．（5分）曲线的曲率就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大，工程规划中常需要计算曲率，如高铁的弯道设计．曲线y＝f（x）在点（x，f（x））曲率的计算公式是，其中y″是y'的导函数．则曲线xy＝1上点的曲率的最大值是 ．
【解答】解：由xy＝1，得y，y′，可得y″，
∴，
当且仅当|x|＝1时等号成立．
故答案为：．
三、本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台．该平台首次实现了“有组织，有管理，有指导，有服务”的学习，极大地满足了广大党员干部和人民群众多样化、自主化、便捷化的学习需求，日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门APP．某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取1000人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，下图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
（1）估计该市市民每周利用“学习强国”时长在区间[6，8）内的概率和每周利用“学习强国”的平均时长；
（2）若宣传部为了解市民每周利用“学习强国”的具体情况，准备采用分层抽样的方法从[4，6）和[10，12）组中抽取7人了解情况，从这7人中随机选取2人参加座谈会，求所选取的2人来自不同的组的概率．
【解答】解：（1）由题意知，该市市民每周利用“学习强国”时长在[6，8）内的频率为0.15×2＝0.3，
所以估计该市市民每周利用“学习强国”时长在[6，8）内的概率为0.3；
由题意知各组的频率分别为0.05，0.1，0.25，0.3，0.15，0.1，0.05，
所以，
所以估计该市市民每周利用“学习强国”的平均时长是6.8小时．
（2）由（1）知，利用“学习强国”时长在[4，6）和[10，12）的频率分别为0.25，0.1，
故两组人数分别为250，100，采用分层抽样的方法从[4，6）组抽取5人，从[10，12）组抽取2人，
从7人中抽取2人的基本事件有21种情况，
所求事件的个数共有10种情况，
故所求概率．
18．（12分）记Sn为数列{an}的前n项和，已知是公差为的等差数列．
（1）求{an}的通项公式；
（2）证明：．
【解答】解：（1）因为a1＝1，所以．
又因为是公差为的等差数列，所以，
所以，
当n≥2时，Sn﹣1（n﹣1）n（2n﹣1），
两式相减得时，a1＝1也满足上式．
所以{an}的通项公式是．
（2）证明：由（1）可知，，
当n＝1时，，不等式成立；
当n≥2时，．
19．（12分）如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（b+c+a）（b+c﹣a）＝3bc．
（1）求A的大小；
（2）若△ABC内点P满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝∠PAC，求∠BPC的大小．
【解答】解：（1）因为（b+c+a）（b+c﹣a）＝3bc，
所以b2+c2﹣a2＝bc，
由余弦定理，得，
因为0＜A＜π，
所以．
（2）设∠PCB＝α，∠PBA＝β，
因为，∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝∠PAC，
所以∠PAB＝∠PBC＝30°，
在△PBC和△PAB中分别应用正弦定理，得，，
因为PA＝PC，
所以，
又因为，
所以sinαsin（α）＝sinα（csαsinα）（sin2αcs2α）sin（2α），可得sin（2α）＝1，
所以2α，
所以，
所以∠BPC．
20．（12分）如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2BB1＝2，E为BB1的中点．
（1）直线BC与平面AEC1的交点记为M，直线A1B1与平面AEC的交点记为N．证明：直线MN∥平面ACC1A1．
（2）求二面角E﹣AC1﹣C的大小；
【解答】（1）证明：以B为坐标原点，BC，BB1，BA所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为AB＝BC＝2BB1＝2，E为BB1的中点，
所以A（0，0，2），B（0，0，0），C（2，0，0），E（0，，0），C1（2，1，0），
所以（2，1，﹣2），（2，0，﹣2），
因为直线BC与C1E的交点即为直线BC与平面AEC1的交点M，直线AE与A1B1的交点即为直线A1B1与平面AEC的交点N，
所以M（﹣2，0，0），N（0，1，﹣2），
所以（2，1，﹣2），即，
所以MN∥AC1，
又AC1⊂平面ACC1A1，MN⊄平面ACC1A1，
所以直线MN∥平面ACC1A1．
（2）解：设G为AC的中点，则BG⊥AC，G（1，0，1），
因为平面ABC⊥平面ACC1A1，且平面ABC∩平面ACC1A1＝AC，
所以BG⊥平面ACC1A1，即平面ACC1A1的一个法向量为，
由（1）知，，
设是平面AEC1的法向量，则，即，
令y0＝2，则x0，z0，所以（，2，），
所以0，即⊥，
故二面角E﹣AC1﹣C的大小是90°．
21．（12分）设F，E分别是椭圆的左，右焦点，椭圆上存在点N，满足∠ENF＝90°且△ENF的面积为20．
（1）求b的值；
（2）设点P的坐标为（1，1），直线过点P，与椭圆交于点A，B，线段AB的中点记为M．若|FM|是|FA|与|FB|的等比中项，求a的最小值，并求出此时直线l的方程．
【解答】解：（1）设|NE|＝m，|NF|＝n，根据题意得，解得b2＝20，
所以b的值为2；
（2）由中线长公式|FM|2（|FA|2+|FB|2）|AB|2，左准线的方程为x，
又因为|FM|2＝|FA|⋅|FB|，所以|AB|2＝2（|FA|﹣|FB|）2，①
设A（x1，y1），B（x2，y2），由（1）可得c，
由椭圆的第二定义可得：e，所以|FA|x1+a，
同理可得|FB|x2+a，
所以|FA|﹣|FB|（x1﹣x2），
代入①中：（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2＝2•（x1﹣x2）2，
所以（y1﹣y2）2•（x1﹣x2）2•（x1﹣x2）2•（x1﹣x2）2，
又因为（y1﹣y2）2≥0，所以a2≥40，a∈N*，所以a的最小值为7，
此时（y1﹣y2）2（x1﹣x2）2，
可得直线l的斜率为：±，
因为P（1，1）在直线l上，
所以直线l的方程为：y﹣1＝±（x﹣1），
综上所述：a的最小值是7，此时直线l的方程为3x﹣7y+4＝0或3x+7y﹣10＝0．
22．（12分）设函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax，a∈R，曲线y＝f（x）在原点处的切线为x轴．
（1）求a的值；
（2）求方程的解；
（3）证明：．
【解答】解：（1）因为函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax，a∈R，所以f′（x）a，
又因为曲线y＝f（x）在原点处的切线为x轴，所以f′（0）＝1﹣a＝0，解得a＝1．
（2）由（1）知f（x）＝ln（x+1）﹣x，方程，即为，
所以x＝0是的解；
设，则，且只有h'（0）＝0，
所以h（x）在（﹣1，+∞）上单调递增，所以方程有唯一的解为x＝0．
（3）证明：由（2）知，当x＞0时，，即，
特别地，取，得；
设s（x）＝ln（x+1），s′（x），
当时，s'（x）＜0，所以s（x）在区间上单调递减，
当时，s（x）＜s（0）＝0，ln（x+1），即，
特别地，取，得；
即e．