2022-2023学年山东省青岛二中高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年山东省青岛二中高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共25页。

A．[1，2）B．C．（0，1]D．（0，2）
2．（5分）已知数列{an}中，a1＝2，2，则数列{an}的前n项和为（ ）
A．3×2n﹣3n﹣3B．5×2n﹣3n﹣5C．3×2n﹣5n﹣3D．5×2n﹣5n﹣5
3．（5分）已知函数f（x）＝2lnx+f'（2）x2+2x+3，则f（1）＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
4．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为8，点H在棱AA1上，且HA1＝2，在侧面BCC1B1内作边长为2的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P在侧面BCC1B1运动时，|HP|2的最小值是（ ）
A．87B．88C．89D．90
5．（5分）设F是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2，则双曲线C的离心率是（ ）
A．B．2C．D．
6．（5分）数列{an}，{bn}满足bn+1+bn≠0，an＝bn2，且a1＝b1＝1，且{bn}的前n项和为，记，n∈N*，数列{cn}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为（ ）
A．B．C．D．﹣1
7．（5分）已知点M是抛物线x2＝4y上一点，F是抛物线的焦点，C是圆（x﹣1）2+（y﹣5）2＝1的圆心，则|MF|+|MC|的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
8．（5分）在△ABC中，已知A＝60°，D是边BC上一点，且BD＝2DC，AD＝2，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）已知直线l：0，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．若直线m：0，则l⊥m
C．点到直线l的距离是2
D．过与直线l平行的直线方程是
（多选）10．（5分）若数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＝an﹣1+an﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{an}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（ ）
A．a7＝13
B．a1+a3+a5+⋯+a2019＝a2020
C．3an＝an﹣2+an+2（n≥3）
D．a2+a4+a6+⋯+a2020＝a2021
（多选）11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆上存在点P，使得PF1＝2PF2，其中F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
（多选）12．（5分）在直四棱柱中ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝AD＝AA1＝2，P为CC1中点，点Q满足．下列结论正确的是（ ）
A．若，则四面体A1BPQ的体积为定值
B．若AQ∥平面A1BP，则AQ+C1Q的最小值为
C．若△A1BQ的外心为O，则为定值2
D．若，则点Q的轨迹长度为
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知空间三点A（0，1，2），B（1，3，5），C（2，5，4﹣k）在一条直线上，则实数k的值是 ．
14．（5分）如图，y＝f（x）是可导函数．直线l是曲线y＝f（x）在x＝2处的切线，令，则g′（2）＝ ．
15．（5分）椭圆C：1（a＞b＞0）的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为 ．
16．（5分）对于正整数n，设xn是关于x的方程：（n2+5n+3）x2+x2lgn+2xn＝1的实根，记an＝[]，其中[x]表示不超过x的最大整数，则a1＝ ，若bn＝ansin，Sn为{bn}的前n项和，则S2022＝ ．
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知点P在曲线上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，求α的取值范围．
18．（12分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为m，且实数a，b满足3a﹣4b＝2m，求（a﹣2）2+（b+1）2的最小值．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
（1）求证：直线BA1∥平面ADC1
（2）求平面ADC1与平面A1BA所成的锐二面角的余弦值．
20．（12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（1）求f（6）的值；
（2）求出f（n）的表达式；
（3）求证：当n≥2时，．
21．（12分）已知椭圆C1：1的左右焦点分别为F1、F2，双曲线C2：1（a＞0，b＞0）与C1共焦点，点在双曲线C2上．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）已知点P在双曲线C2上，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+lnx，．
（1）当a＝1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）设a＜0，若∀x1∈（0，e），x2∈（0，+∞），都有f（x1）＜10g（x2），求实数a的取值范围．
2022-2023学年山东省青岛二中高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，若棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是（ ）
A．[1，2）B．C．（0，1]D．（0，2）
【解答】解：如图建立坐标系，
设AD＝a（a＞0），AP＝x（0＜x＜2），
则P（a，x，2），C（0，2，2），D1（0，0，0），
∴，，
∵D1P⊥PC，∴，
即a2+x（x﹣2）＝0，所以，
当0＜x＜2时，所以﹣（x﹣1）2+1∈（0，1]，所以a∈（0，1]．
故选：C．
2．（5分）已知数列{an}中，a1＝2，2，则数列{an}的前n项和为（ ）
A．3×2n﹣3n﹣3B．5×2n﹣3n﹣5C．3×2n﹣5n﹣3D．5×2n﹣5n﹣5
【解答】解：∵2，
∴an+1﹣3＝2an，
∴an+1+3＝2（an+3），
∵a1＝2，
∴a1+3＝5，
∴数列{an+3}是以5为首项，以2为公比的等比数列，
∴an+3＝5×2n﹣1，
∴an＝5×2n﹣1﹣3
∴数列{an}的前n项和为3n＝5×2n﹣3n﹣5，
故选：B．
3．（5分）已知函数f（x）＝2lnx+f'（2）x2+2x+3，则f（1）＝（ ）
A．﹣2B．2C．﹣4D．4
【解答】解：由已知得，所以f'（2）＝1+4f'（2）+2，解得f'（2）＝﹣1．
故f（1）＝﹣1+2+3＝4，所以D选项正确．
故选：D．
4．（5分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为8，点H在棱AA1上，且HA1＝2，在侧面BCC1B1内作边长为2的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，则当点P在侧面BCC1B1运动时，|HP|2的最小值是（ ）
A．87B．88C．89D．90
【解答】解：建系如图，则F（2，8，6），M（8，8，6），N（0，8，z），
作HM⊥BB1，交BB1于M，连接PM，则HM⊥PM，
作PN⊥CC1，交CC1于N，则PN即为点P到平面CDD1C1距离，
设P（x，8，z），（0≤x≤8，0≤z≤8），则PN＝x，
∵点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长，∴PN＝PF，
由两点间距离公式可得，
化简得4x﹣4＝（z﹣6）2，∵4x﹣4≥0，∴x≥1，∴1≤x≤8．
在Rt△HMP中，|HP|2＝|HM|2+|MP|2
＝82+（x﹣8）2+（z﹣6）2
＝64+（x﹣8）2+4x﹣4
＝（x﹣6）2+88，（1≤x≤8），
∴当且仅当x＝6时，|HP|2的最小值是88．
故选：B．
5．（5分）设F是双曲线C：1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B．若2，则双曲线C的离心率是（ ）
A．B．2C．D．
【解答】解：如图过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为A，延长FA与另一条渐近线交于点B．所以FB⊥OA，又因为2，所以A为线段FB的中点，∴∠2＝∠4，又∠1＝∠3，
∠2+∠3＝90°，所以∠1＝∠2+∠4＝2∠2＝∠3．
故∠2+∠3＝90°＝3∠2⇒∠2＝30°⇒∠1＝60°⇒．
∴3，e2＝4⇒e＝2．
故选：B．
6．（5分）数列{an}，{bn}满足bn+1+bn≠0，an＝bn2，且a1＝b1＝1，且{bn}的前n项和为，记，n∈N*，数列{cn}的前n项和为Sn，则Sn的最小值为（ ）
A．B．C．D．﹣1
【解答】解：设{bn}的前n项和为，则，
∴，
∴，
又bn+1+bn≠0，∴bn+1﹣bn＝1，
∴{bn}是以首项为b1＝1，公差d＝1的等差数列，
∴bn＝n，∴ann2，
∴，
令0，∴n≤3，
∴Sn的最小值为c1+c2．
故选：C．
7．（5分）已知点M是抛物线x2＝4y上一点，F是抛物线的焦点，C是圆（x﹣1）2+（y﹣5）2＝1的圆心，则|MF|+|MC|的最小值为（ ）
A．7B．6C．5D．4
【解答】解：设抛物线x2＝4y的准线方程为l：y＝﹣1，C为圆（x﹣1）2+（y﹣5）2＝1的圆心，所以C的坐标为（1，5），过M作l的垂线，垂足为E，根据抛物线的定义可知|MF|＝|ME|，所以问题求|MF|+|MC|的最小值，就转化为求|MF|+|MC|的最小值，由平面几何的知识可知，当C，M，E在一条直线上时，此时CE⊥l，|ME|+|MC|有最小值，最小值为|CE|＝5﹣（﹣1）＝6，
故选：B．
8．（5分）在△ABC中，已知A＝60°，D是边BC上一点，且BD＝2DC，AD＝2，则△ABC面积的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
【解答】解：因为在△ABC中，已知A＝60°，D是边BC上一点，且BD＝2DC，AD＝2，
；
∴（）；
∴2•；
即：4c2bc•cs60°b2⇒36＝c2+2bc+4b2≥22bc＝6bc；
∴bc≤6，（当且仅当2b＝c时等号成立）；
∵S△ABCbcsinA6．
即△ABC面积的最大值为：．
故选：B．
二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
（多选）9．（5分）已知直线l：0，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．若直线m：0，则l⊥m
C．点到直线l的距离是2
D．过与直线l平行的直线方程是
【解答】解：对A，直线l：0，直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，故A错误，
对B，直线m：0的斜率为，
因为，所以两条直线垂直，故B正确，
对C，点到直线l的距离是2，故C正确，
对D，的斜率为，
故过与直线l平行的直线方程是，
化简得，故D正确．
故选：BCD．
（多选）10．（5分）若数列{an}满足a1＝1，a2＝1，an＝an﹣1+an﹣2（n≥3，n∈N+），则称数列{an}为斐波那契数列，又称黄金分割数列．在现代物理、准晶体结构，化学等领域，斐波那契数列都有直接的应用．则下列结论成立的是（ ）
A．a7＝13
B．a1+a3+a5+⋯+a2019＝a2020
C．3an＝an﹣2+an+2（n≥3）
D．a2+a4+a6+⋯+a2020＝a2021
【解答】解：因为a1＝1，a2＝1，an＝an﹣1+an﹣2（n≥3，n∈N+），
所以a3＝a2+a1＝2，a4＝a3+a2＝3，a5＝a4+a3＝5，a6＝a5+a4＝8，a7＝a6+a5＝13，所以A正确；
an＝an﹣1+an﹣2（n≥3，n∈N+），可得an+2＝an+1+an＝2an+an﹣1＝3an﹣an﹣2，
即有3an＝an﹣2+an+2（n≥3），故C正确；
设数列{an}的前n项和为Sn，
a1+a3+a5+...+a2019＝a1+（a2+a1）+（a4+a3）+…+（a2018+a2017）＝a1+S2018＝1+S2018，
又an+2＝an+1+an＝an+an﹣1+an﹣1+an﹣2＝an+an﹣1+an﹣2+an﹣3+an﹣3+an﹣4＝…＝Sn+1，
所以a2020＝S2018+1＝a1+a3+a5+…+a2019，所以B正确；
a2+a4+a6+……+a2020＝a2+a3+a2+a5+a4+…+a2019+a2018＝a1+a2+a3+a4+a5+…+a2019＝S2019，
但S2019+1＝a2021，所以a2+a4+a6+…+a2020≠a2021，所以D不正确．
故选：ABC．
（多选）11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆上存在点P，使得PF1＝2PF2，其中F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率可能为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：设椭圆的焦距为2c（c＞0），由椭圆定义可得PF1+PF2＝2a，又PF1＝2PF2，
解得PF1，PF2，由题意可得：，
即，解得，又0，
所以椭圆的离心率范围为[），符合范围的答案为AB，
故选：AB．
（多选）12．（5分）在直四棱柱中ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AB＝AD＝AA1＝2，P为CC1中点，点Q满足．下列结论正确的是（ ）
A．若，则四面体A1BPQ的体积为定值
B．若AQ∥平面A1BP，则AQ+C1Q的最小值为
C．若△A1BQ的外心为O，则为定值2
D．若，则点Q的轨迹长度为
【解答】解：对于A，取DD1，DC的中点分别为M，N，连接AM，AN，MN，DQ，
则，，MN∥D1C，
因为，，
所以，2λ+2μ＝1，
所以Q，M，N三点共线，所以点Q在MN，
因为D1C∥A1B，MN∥D1C，所以MN∥A1B，MN⊄平面A1BP，A1B⊂平面A1BP，
所以MN∥平面A1BP，
所以点Q到平面A1BP的距离为定值，因为△A1BP的面积为定值，所以四面体A1BPQ的体积为定值，所以A正确，
对于B，因为AM∥BP，因为AM⊄平面A1BP，BP⊂平面A1BP，
所以AM∥平面A1BP，又AQ∥平面A1BP，AQ∩AM＝M，AQ，AM⊂平面AMQ，
所以平面AMQ∥平面A1BP，
取D1C1的中点E，连接PE，则PE∥D1C，D1C∥A1B，
所以PE∥A1B，所以A1，B，P，E四点共面，
所以平面AMQ∥平面A1BPE，平面A1BPE∩平面DCC1D1＝PE，
平面A1MQ∩平面DCC1D1＝MQ，
所以MQ∥PE，又PE∥D1C，所以MQ∥D1C，
所以点Q的轨迹为线段MN，翻折平面AMN，使其与五边形MNCC1D1
在同一平面，如图，则AQ+C1Q≥AC1，当且仅当A，Q，C1三点共线时等号成立，
所以AQ+C1Q的最小值为AC1，
因为∠BAD＝60°，AB＝AD＝AA1＝2，
所以，，
所以AM2+MN2＝AN2，在△C1MN中，，，
所以，
所以，
所以，
在△AMC1中，，，，
所以，
所以，即AQ+C1Q的最小值为，所以B正确，
对于C，若△A1BQ的外心为O，过O作OH⊥A1B于H，
因为，
所以，所以C错误，
对于D，过A1作A1K⊥C1D1，垂足为K，
因为DD1⊥平面A1B1C1D1，A1K⊂平面A1B1C1D1，
所以DD1⊥A1K，因为C1D1∩DD1＝D1，C1D1，DD1⊂平面DD1C1C，
所以A1K⊥平面DD1C1C，因为KQ平面DD1C1C，
所以A1K⊥KQ，又在△A1KD1中，，
所以，，
在△A1KQ中，，，，
所以KQ＝2，则Q在以K为圆心，2为半径的圆上运动，
在DD1，D1C1上取点A3，A2，使得，
则KA3＝KA2＝2，所以点Q的轨迹为圆弧A2A3，
因为，所以，
则圆弧A2A3等于，所以D正确，
故选：ABD．
三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分
13．（5分）已知空间三点A（0，1，2），B（1，3，5），C（2，5，4﹣k）在一条直线上，则实数k的值是 ﹣4 ．
【解答】解：因为A（0，1，2），B（1，3，5），C（2，5，4﹣k），
所以，，
因为空间三点A（0，1，2），B（1，3，5），C（2，5，4﹣k）在一条直线上，
所以，即，解得，
所以实数k的值是﹣4，
故答案为：﹣4．
14．（5分）如图，y＝f（x）是可导函数．直线l是曲线y＝f（x）在x＝2处的切线，令，则g′（2）＝ ．
【解答】解：由图可知，f（2）＝3，f′（2），
又，∴g′（x），
则g′（2）．
故答案为：．
15．（5分）椭圆C：1（a＞b＞0）的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|＝a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为 ．
【解答】解：不妨设点P在第一象限，由对称性可得|OP|，
∵AP⊥PQ，在Rt△POA中，cs∠POA，
∴∠POA＝60°，∴P（），
代入椭圆方程得：1，
∴a2＝5b2＝5（a2﹣c2），整理得2ac，
∴离心率e．
故答案为：．
16．（5分）对于正整数n，设xn是关于x的方程：（n2+5n+3）x2+x2lgn+2xn＝1的实根，记an＝[]，其中[x]表示不超过x的最大整数，则a1＝ 1 ，若bn＝ansin，Sn为{bn}的前n项和，则S2022＝ 506 ．
【解答】解：当n＝1时，2lg3x＝9，设f（x）2lg3x﹣9，在（0，+∞）单调递减，
f（）＝2＞0，f（）＝2lg32﹣5＜0，∴x1，1，∴a11．
令tn，则方程化为：（2tn）2+nlgn+2（2tn）＝n2+5n+3，
令f（x）＝（2x）2+nlgn+2（2x）﹣n2﹣5n﹣3，
则f（x）在（0，+∞）单调递增，
f（ ）＝nlgn+2n﹣5n﹣3＜0，f（ ）＝1＞0，
由零点存在定理可得∃x∈（ ，），f（x）＝0，
当n＝2k﹣1（k∈N*），tn∈（ ，），an＝[tn]＝k，∴bn＝ansinsin•；
当n＝2k（k∈N*），tn∈（k，k+1），an＝[tn]＝k，∴bn＝ansinsin0．
Sn为{bn}的前n项和，则S2022＝1﹣2+3﹣4﹣…+1009﹣1010+1011＝506．
故答案为：1，506．
四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知点P在曲线上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，求α的取值范围．
【解答】解：∵，则．
∴，即，
∴y'∈[﹣1，0），即tanα∈[﹣1，0），
∵0＜α＜π，∴，即．
18．（12分）已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x+2|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＞4的解集；
（Ⅱ）若f（x）的最小值为m，且实数a，b满足3a﹣4b＝2m，求（a﹣2）2+（b+1）2的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝|2x﹣1|+|x+2|，
由f（x）＞4，得或或，
∴x≤﹣2或﹣2＜x＜﹣1或x＞1，∴x＜﹣1或x＞1，
∴不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞1}．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴，
∴3a﹣4b＝2m＝5，即3a﹣4b﹣5＝0，
∵点（2，﹣1）到直线3x﹣4y﹣5＝0的距离，
∴（a﹣2）2+（b+1）2的最小值为d2＝1．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点．
（1）求证：直线BA1∥平面ADC1
（2）求平面ADC1与平面A1BA所成的锐二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，
因为AB＝AC＝2，AA1＝4，点D是BC的中点，
则A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），所以（2，0，﹣4），
设平面ADC1的法向量为，
因为（1，1，0），（0，2，4），
所以•0，•0，即x+y＝0且y+2z＝0，
取z＝1，得x＝2，y＝﹣2，
所以（2，﹣2，1），
因为，且A1B⊄平面ADC1，
所以A1B∥平面ADC1；
（2）解：取平面ABA1的一个法向量为，
设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ，θ∈（0，），
所以|csθ|，
因此平面ADC1与平面A1BA所成的锐二面角的余弦值为．
20．（12分）某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图中（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺锈最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺锈越漂亮，向按同样的规律刺锈（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（1）求f（6）的值；
（2）求出f（n）的表达式；
（3）求证：当n≥2时，．
【解答】解：（1）根据题意，由题干的图形可得：f（1）＝1，f（2）＝1+4＝5，
f（3）＝1+4+8＝13，f（4）＝1+4+8+12＝25，
f（5）＝1+4+8+12+16＝41，f（6）＝1+4+8+12+16+20＝61．
（2）根据题意，f（2）﹣f（1）＝4＝4×1，
f（3）﹣f（2）＝8＝4×2，
f（4）﹣f（3）＝12＝4×3，
f（5）﹣f（4）＝16＝4×4，
……，
由此类推：f（n+1）﹣f（n）＝4n．
则f（n）＝[f（n）﹣f（n﹣1）]+[f（n﹣1）﹣f（n﹣2）]+⋯+[f（3）﹣f（2）]+[f（2）﹣f（1）]+f（1）
＝4（n﹣1）+4（n﹣2）+⋯+4×2+4×1+12n2﹣2n+1
（3）证明：由（2）的结论，f（n）＝2n2﹣2n+1，
当n≥2时，，
则．
又由，
故命题成立．
21．（12分）已知椭圆C1：1的左右焦点分别为F1、F2，双曲线C2：1（a＞0，b＞0）与C1共焦点，点在双曲线C2上．
（1）求双曲线C2的方程；
（2）已知点P在双曲线C2上，且∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积．
【解答】解：（1）由椭圆方程可知c2＝18﹣14＝4，∴F1（﹣2，0），F2（2，0），
∵在双曲线C2上，
∴2a＝|AF1|﹣|AF2|2，
∴a2＝2，b2＝c2﹣a2＝4﹣2＝2，
∴双曲线C2的方程；
（2）设点P在双曲线的右支上，并且设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
∴，
∴mn＝8，
∴△PF1F2的面积Smn•sin60°＝2．
22．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣ax+lnx，．
（1）当a＝1时，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）设a＜0，若∀x1∈（0，e），x2∈（0，+∞），都有f（x1）＜10g（x2），求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣x+lnx，，
∵f（1）＝0，∴切点为（1，0），
∵f'（1）＝2，∴切线斜率k＝2，
∴切线方程为y＝2x﹣2；
（2），x＞0．
当a＜0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，
∴∀x1∈（0，e），，
，x＞0，，
令h（x）＝x2ex+lnx，x＞0，，
∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（1）＝e＞0，，
∴，使得h（x0）＝0，即，
也即，
令m（x）＝xex，x＞0，m'（x）＝（x+1）ex，显然x＞0时，m'（x）＞0，m（x）单调递增，
∴，即，
∵当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
∴．
∵∀x1∈（0，e），x2∈（0，+∞），都有f（x1）＜10g（x2），∴e2﹣ae+1≤10，得，
故实数a的取值范围为．