2022-2023学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷（含答案详解）

这是一份2022-2023学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷（含答案详解），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）在等差数列{an}中，a1+a2＝1，a3+a4＝5，则a2022+a2023＝（ ）
A．2022B．2023C．4043D．4044
2．（5分）“m＝2”是“直线2x+（m+1）y+4＝0与直线mx+3y﹣2＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）一组数据如下：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，则该组数据的第30百分位数是（ ）
A．12B．12.5C．13D．13.5
4．（5分）已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离是2，则该点到y轴的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．（5分）某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：
①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；
②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；
③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．
已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5．则甲通过测试的概率为（ ）
A．0.1B．0.25C．0.3D．0.35
6．（5分）已知点P在直线y＝x+3上，A（1，0），B（3，0），则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
7．（5分）已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，，经过M的直线l与C的一个交点为N，若△MNF是正三角形，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）已知数列1，1，3，1，3，9，1，3，9，27，……（也可表示为30，30，31，30，31，32，30，31，32，33，…．，30，31……3k﹣1）k∈N*若该数列的前n项和为Sn，则满足60≤Sn≤1600的整数n的个数为（ ）
A．15B．16C．17D．18
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
（多选）9．（5分）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．若（4，0）是双曲线C的一个焦点，则m＝6
C．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m
（多选）10．（5分）已知{an}是正项等差数列，首项为a1，公差为d，且a1＝d，Sn为{an}的前n项和（n∈N*），则（ ）
A．数列{Sn+1﹣Sn}是等差数列
B．数列{}是等差数列
C．数列是等比数列
D．数列{lgan}是等比数列
（多选）11．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0），直线x＝ty+m与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）
A．若，则
B．若m＝p，则
C．若m＝2p，则OA⊥OB
D．若m＝4p，则△OAB面积最小值为
（多选）12．（5分）已知椭圆，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线AB过右焦点F2，则
B．若λ＝1，则直线AB方程为2x+3y﹣5＝0
C．若λ＝2，则直线AB方程为3x+2y﹣5＝0
D．若动点Q满足，则点Q的轨迹方程为2x+3y﹣6＝0
三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）某电路由A、B、C三个部件组成（如图），每个部件正常工作的概率都是，则该电路正常运行的概率为 ．
14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣2x，则过点（2，﹣4）与曲线y＝f（x）相切的直线有 条．
15．（5分）在数列{an}中，a1＝1，（n∈N*），若t∈Z，则当|a7﹣t|取得最小值时，整数t的值为 ．
16．（5分）已知曲线C1方程：x2+ky2＝1（2≤k≤3），曲线C2方程：tx2+y2＝1（3≤t≤4），曲线C3为焦点在x轴上的双曲线，且它的渐近线过C1与C2的交点，则曲线C3的离心率的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数．
（1）求f（x）在点x＝1处的切线方程；
（2）求f（x）在上的最值．
18．（12分）某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户．根据这100名用户的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），⋯，[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40，60），[60，80），[80，100）的中抽取20人，则评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人？
（3）用每组数据的中点值代替该组数据，试估计用户对该APP评分的平均分．
19．（12分）已知点A（1，2），圆C：x2+y2+2mx+2y+2＝0．
（1）若过点A可以作两条圆的切线，求m的取值范围；
（2）当m＝﹣2时，过直线2x﹣y+3＝0上一点P作圆的两条切线PM、PN，求四边形PMCN面积的最小值．
20．（12分）已知正项数列{an}满足，a1＝2，且an+1an+an+1＝22an．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn，记{bn}的前项和为Tn，若anTn+n+（﹣1）n•λan﹣1＞0对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
21．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点坐标为，点P为直线上任意一点，以P为圆心，PF为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线C于点D、E．
（1）求抛物线C的方程；
（2）请问直线DE是否过定点，若是求出该定点；若不是，请说明理由．
22．（12分）在△AnBC中，已知，记bn＝|AnC|，cn＝|AnB|且对∀n∈N*，均有bn+1，其中b1+c1＝2且b1＞c1．
（1）求点An的轨迹方程；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）记△AnBC的面积为Sn，判断{Sn}的单调性并给出证明．
2022-2023学年浙江省舟山市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．（5分）在等差数列{an}中，a1+a2＝1，a3+a4＝5，则a2022+a2023＝（ ）
A．2022B．2023C．4043D．4044
【解答】解：∵{an}为等差数列，
∴，解得，
∴an＝a1+（n﹣1）d＝n﹣1，
∴a2022+a2023＝2022﹣1+2023﹣1＝4043．
故选：C．
2．（5分）“m＝2”是“直线2x+（m+1）y+4＝0与直线mx+3y﹣2＝0平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：∵直线2x+（m+1）y+4＝0与直线mx+3y﹣2＝0平行，
∴，解得m＝2或﹣3，
故“m＝2”是“直线2x+（m+1）y+4＝0与直线mx+3y﹣2＝0平行”的充分不必要条件，
故选：A．
3．（5分）一组数据如下：10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，则该组数据的第30百分位数是（ ）
A．12B．12.5C．13D．13.5
【解答】解：根据题意得，该组数据有11个数，且已经从小到大排列，
则该组数据的第30百分位数是0.3×11＝3.3，所以取第4个数13．
故选：C．
4．（5分）已知抛物线y2＝4x上一点P到焦点F的距离是2，则该点到y轴的距离为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【解答】解：由抛物线方程得焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
点P到焦点F的距离是2，
由抛物线的定义得点P到准线的距离为2，
所以P到y轴的距离为2﹣1＝1．
故选：A．
5．（5分）某学校冰壶队举行冰壶投掷测试，规则为：
①每人至多投3次，先在点M处投第一次，冰壶进入营垒区得3分，未进营垒区不得分；
②自第二次投掷开始均在点A处投掷冰壶，冰壶进入营垒区得2分，未进营垒区不得分；
③测试者累计得分高于3分即通过测试，并立即终止投掷．
已知投掷一次冰壶，甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5．则甲通过测试的概率为（ ）
A．0.1B．0.25C．0.3D．0.35
【解答】解：由题知甲得3分和2分的概率分别为0.1和0.5，
甲若通过测试，则有以下可能：
点M处进入营垒区，两次点A处投掷中，前一次进，投掷结束，
概率为：0.1×0.5＝0.05；
点M处进入营垒区，两次点A处投掷中，前一次不进，后一次进，
则概率为：0.1×0.5×0.5＝0.025；
点M处未进营垒区，两次点A处投掷中，进入两次，
则概率为：0.9×0.5×0.5＝0.225，
故甲通过测试的概率为：0.05+0.025+0.225＝0.3．
故选：C．
6．（5分）已知点P在直线y＝x+3上，A（1，0），B（3，0），则|PA|+|PB|的最小值为（ ）
A．B．5C．D．
【解答】解：由题知，过点A做关于直线y＝x+3的对称点C（x，y），
取直线y＝x+3上一点P，连接PA，PB，PC，
连接BC交y＝x+3于点P1，连接AP1，P1C，AC，如图所示：
则有，解得，即C（﹣3，4），
因为A，C关于直线y＝x+3对称，
所以直线y＝x+3是线段AC的垂直平分线，
所以|PA|＝|PC|，则|PA|+|PB|＝|PC|+|PB|≥|BC|，
当且仅当点P运动到P1处时|P1C|+|P1B|＝|BC|，
所以．
故选：D．
7．（5分）已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，，经过M的直线l与C的一个交点为N，若△MNF是正三角形，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：不妨设F（c，0），由得，，M（﹣3c，0），
又MF的中点为左焦点F1（﹣c，0），
在等边△MNF中，，
由椭圆定义，，
所以椭圆C的离心率为．
故选：D．
8．（5分）已知数列1，1，3，1，3，9，1，3，9，27，……（也可表示为30，30，31，30，31，32，30，31，32，33，…．，30，31……3k﹣1）k∈N*若该数列的前n项和为Sn，则满足60≤Sn≤1600的整数n的个数为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【解答】解：由题记第一组数为：1，个数为1，和为1，最后一个数为第1项，S1＝1；
第二组数为：1，3，个数为2，和为，
最后一个数为第1+2项，；
第三组数为：1，3，9，个数为3，和为，
最后一个数为第1+2+3项，；
第四组数为：1，3，9，27，个数为4，和为，
最后一个数为第1+2+3+4项，；⋯；
第k组数为：1，3，9，27，⋯，3k﹣1，个数为k，和为，
最后一个数为第项，，
因为S10＝58，所以S11＝59，S12＝62，
由60≤Sn≤1600可知，n从12开始计数，
因为，第28项是第七组的最后一项，
第七组的数为：1，3，9，27，⋯，729，
所以S27＝S28﹣729＝1636﹣729＝907＜1600，
所以要满足60≤Sn≤1600，则12≤n≤27，n∈N*，
故n的个数为27﹣12+1＝16个．
故选：B．
二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）
（多选）9．（5分）已知双曲线C：，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线C的实轴长为2
B．若（4，0）是双曲线C的一个焦点，则m＝6
C．若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2
D．双曲线C的焦点到渐近线的距离为m
【解答】解：对A选项，∵双曲线C：1的实轴长为2a＝4，∴A错误；
对B选项，∵（4，0）是双曲线C的一个焦点，
∴c＝4，∴4+2m＝16，∴m＝6，∴B正确；
对C选项，∵双曲线C：的渐近线为，
∴，∴m＝2，∴C正确；
对D选项，∵双曲线C的焦点到渐近线的距离为，∴D错误．
故选：BC．
（多选）10．（5分）已知{an}是正项等差数列，首项为a1，公差为d，且a1＝d，Sn为{an}的前n项和（n∈N*），则（ ）
A．数列{Sn+1﹣Sn}是等差数列
B．数列{}是等差数列
C．数列是等比数列
D．数列{lgan}是等比数列
【解答】解：由题意得，a1＝d＞0．
因为数列{an}是等差数列，Sn+1﹣Sn＝an+1，所以数列{Sn+1﹣Sn}是等差数列，故A正确；
当a1＝d＝1时，an＝n，，因为，
所以数列{}不是等差数列，故B错误；
因为，所以数列是等比数列，故C正确；
当a1＝d＝1时，an＝n，lga1＝0，数列{lgan}不是等比数列，故D错误，
故选：AC．
（多选）11．（5分）已知抛物线y2＝2px（p＞0），直线x＝ty+m与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，则（ ）
A．若，则
B．若m＝p，则
C．若m＝2p，则OA⊥OB
D．若m＝4p，则△OAB面积最小值为
【解答】解：对于A项，因为，AB直线方程为x＝ty+m，
联立，可得y2﹣2pty﹣2pm＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴y1y2＝﹣2pm，当时，解得，故A正确；
对于B项，∵，，∴，又m＝p，
∴，故选项B错误；
对于C项，∵y1y2＝﹣2pm且，∴，
又m＝2p，∴，∴OA⊥OB，故C正确；
对于D项，∵AB直线方程为x＝ty+m，∴设直线AB与x轴的交点坐标为D（m，0）．
∴S△OAB＝S△OAD+S△ODB，
又y1y2＝﹣2pm，且m＝4p，∴，
∴，故，
∴，当且仅当时等号成立，
即S△OAB的面积最小值是，故D正确．
故选：ACD．
（多选）12．（5分）已知椭圆，过点P（1，1）的直线与椭圆C交于A，B两点，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线AB过右焦点F2，则
B．若λ＝1，则直线AB方程为2x+3y﹣5＝0
C．若λ＝2，则直线AB方程为3x+2y﹣5＝0
D．若动点Q满足，则点Q的轨迹方程为2x+3y﹣6＝0
【解答】解：对于A，∵椭圆的右焦点为（1，0），又直线过点P（1，1），
∴直线AB的方程为x＝1，
所以或，
当时，，，此时；
当时，，，此时，
∴若直线AB过右焦点F2，则，故选项A正确；
对于B，由选项A可知：直线AB的斜率存在，
设直线AB的方程为：y＝k（x﹣1）+1，
联立，得（2+3k2）x2﹣（6k2﹣6k）x+3k2﹣6k﹣3＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴，
∵λ＝1，∴，∴x1+x2＝2，
∴，解得：，
此时直线AB的方程为：2x+3y﹣5＝0，故选项B正确；
对于C，同选项B可得，
∵λ＝2，∴，∴x1+2x2＝3，∴x1＝3﹣2x2，
∴，解得，
∴，
∴，
化简得23k2+32k+10＝0，显然不是方程的根，故选项C错误；
对于D，设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（m，n），
∴，，∴，
两式相乘可得：，
同理可得：，
则，
∴，
又A，B在椭圆上，∴，
又根据题意可知λ≠±1，∴，
∴动点Q的轨迹方程为：2m+3n﹣6＝0，即2x+3y﹣6＝0，故选项D正确，
故选：ABD．
三、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）某电路由A、B、C三个部件组成（如图），每个部件正常工作的概率都是，则该电路正常运行的概率为 ．
【解答】解：电路正常工作，即：A正常且B或C至少有一个正常，
所以电路正常运行的概率为：．
故答案为：．
14．（5分）已知函数f（x）＝x3﹣2x，则过点（2，﹣4）与曲线y＝f（x）相切的直线有 2 条．
【解答】解：曲线方程为f（x）＝x3﹣2x，点（2，﹣4）不在曲线上，
设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足，
由f（x）＝x3﹣2x，得f'（x）＝3x2﹣2，
由导数的几何意义知，y＝f（x）在M（x0，y0）处的切线的斜率为，
故切线的方程为，
因为点（2，﹣4）在切线上，所以
联立①②得，解得x0＝0或x0＝3，
故所求切线方程为y＝﹣2x或y＝25x﹣54，
则过点（2，﹣4）与曲线y＝f（x）相切的直线有2条．
故答案为：2．
15．（5分）在数列{an}中，a1＝1，（n∈N*），若t∈Z，则当|a7﹣t|取得最小值时，整数t的值为 4 ．
【解答】解：∵a1＝1，（n∈N*），
∴，，，，，，
又t∈Z，则当|a7﹣t|取得最小值时，整数t的值为4，
故答案为：4．
16．（5分）已知曲线C1方程：x2+ky2＝1（2≤k≤3），曲线C2方程：tx2+y2＝1（3≤t≤4），曲线C3为焦点在x轴上的双曲线，且它的渐近线过C1与C2的交点，则曲线C3的离心率的取值范围是 ．
【解答】解：联立C1，C2的方程，整理得（k﹣1）y2＝（t﹣1）x2，
∵2≤k≤3，3≤t≤4，则k﹣1∈[1，2]，t﹣1∈[2，3]，
∴，故曲线C1与曲线C2的交点均在，
又∵曲线C3为焦点在x轴上的双曲线，设双曲线的渐近线为，则，
故双曲线的离心率，
∵k﹣1∈[1，2]，t﹣1∈[2，3]，则，
∴，
∴．
故答案为：．
四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数．
（1）求f（x）在点x＝1处的切线方程；
（2）求f（x）在上的最值．
【解答】解：（1）∵，
∴f'（1）＝0，
∵，所以切线方程为，即．
（2），
∴在单调递增；x∈（1，e），f'（x）＜0，f（x）在（1，e）单调递减，
∴x＝1时，f（x）取极大值也是最大值，
∴，，
∴，
∴．
18．（12分）某公司为了解所开发APP使用情况，随机调查了100名用户．根据这100名用户的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为[40，50），[50，60），⋯，[90，100]．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）若采用比例分配的分层随机抽样方法从评分在[40，60），[60，80），[80，100）的中抽取20人，则评分在[40，60）内的顾客应抽取多少人？
（3）用每组数据的中点值代替该组数据，试估计用户对该APP评分的平均分．
【解答】解：（1）由（0.004+a+0.022+0.028+0.022+0.018）×10＝1，解得a＝0.006；
（2）由频率分布直方图可知，
评分在[40，60），[60，80），[80，100]内的顾客人数之比为：（0.004+0.006）：（0.022+0.028）：（0.022+0.018）＝1：5：4，
所以评分在[40，60）内的顾客应抽取（人）；
（3）用户对该APP评分的平均分为：76.2．
19．（12分）已知点A（1，2），圆C：x2+y2+2mx+2y+2＝0．
（1）若过点A可以作两条圆的切线，求m的取值范围；
（2）当m＝﹣2时，过直线2x﹣y+3＝0上一点P作圆的两条切线PM、PN，求四边形PMCN面积的最小值．
【解答】解：（1）由题意得A（1，2）在圆外，
则1+4+2m+6＞0，即，
又4m2+4﹣8＞0，即m＞1或m＜﹣1，
所以或m＞1；
故m的取值范围为（，﹣1）∪（1，+∞）；
（2）m＝﹣2时，圆方程为（x﹣2）2+（y+1）2＝3，
则圆的半径，圆心C（2，﹣1），
∴
直线方程为2x﹣y+3＝0，设圆心（2，﹣1）到直线2x﹣y+3＝0的距离为d，
∴，

20．（12分）已知正项数列{an}满足，a1＝2，且an+1an+an+1＝22an．
（1）求{an}的通项公式；
（2）设数列{bn}满足bn，记{bn}的前项和为Tn，若anTn+n+（﹣1）n•λan﹣1＞0对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）∵，
∴，即（an+1﹣2an）（an+1+an）＝2an﹣an+1，
∵数列{an}为正项数列，
∴an+1﹣2an＝0，即an+1＝2an，
故数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴；
（2）由（1）得，则，
∴①，②，
由①﹣②得，
∴，
又，对任意n∈N*恒成立，
∴当n为奇数时，，解得，
当n为偶数时，，解得，
∴，
故实数λ的取值范围为（，）．
21．（12分）已知抛物线C的顶点在坐标原点O，焦点坐标为，点P为直线上任意一点，以P为圆心，PF为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线C于点D、E．
（1）求抛物线C的方程；
（2）请问直线DE是否过定点，若是求出该定点；若不是，请说明理由．
【解答】解：（1）因为抛物线的焦点坐标为，位于y轴正半轴，
所以，
所以p＝1，
所以抛物线的方程为：x2＝2y；
（2）直线DE恒过定点，理由如下：
如图所示：
设P（t，s），
则，
所以圆P的方程为：，
由，
可得x2﹣2tx+2s＝0，①
设，
则x1+x2＝2t，x1x2＝2s且，
又因为P（t，s）在直线上，
所以，
所以x1+x2＝2t，x1x2＝2s＝t﹣6，②
又因为，
所以直线DE的方程为：，
即为，
所以直线DE恒过定点．
22．（12分）在△AnBC中，已知，记bn＝|AnC|，cn＝|AnB|且对∀n∈N*，均有bn+1，其中b1+c1＝2且b1＞c1．
（1）求点An的轨迹方程；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）记△AnBC的面积为Sn，判断{Sn}的单调性并给出证明．
【解答】解：（1）∵，
∴，
又b1+c1﹣2＝0，
∴bn+cn＝2，即|AnB|+|AnC|＝2，
∴点An的轨迹是以为焦点，长轴长为2的椭圆，
则点An的轨迹方程为；
（2）由得，
∴{bn﹣1}为等比数列，即，
则；
（3）{Sn}为单调递增数列，证明如下：
由（2）得：，又bn+cn＝2，则cn＝1﹣（b1﹣1）•（）n﹣1，
由b1+c1＝2且b1＞c1得b1＞1，
△AnBC中，，
则，
∴

，
因为在R单调递减，，
所以Sn关于n单调递增，即{Sn}为单调递增数列．
m；学号：3710394