14.2乘法公式+期末复习解答题专题提升训练+2023-2024学年人教版八年级数学上册++

这是一份14.2乘法公式+期末复习解答题专题提升训练+2023-2024学年人教版八年级数学上册++，共15页。试卷主要包含了计算，运用完全平方公式计算，用简便方法计算，先化简，再求值，已知下列等式等内容，欢迎下载使用。

1．计算：
(1)a+ba−2；
(2)x−12x+12；
(3)m+nm−n；
(4)0.1−x0.1+x；
(5)x+y−y+x．
2．运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2；
(2)y−122；
(3)(−a−b)2；
(4)(−a+b)2．
3．计算：
(1)4x−3y2；
(2)x+y+1x+y−1；
(3)2x+3y2−2x+y2x−y；
(4)−x2y5⋅xy3．
4．用简便方法计算：
(1)20232−2022×2024
(2)982+4×98+4
5．计算：2y−x2−5y−3x−3x−5y．
6．计算：
(1)3x−y+43x+y−4；
(2)x+12−x−1x+2．
7．先化简，再求值：x+yx−2y−x+2y2÷12y，其中x=−1，y=14．
8．先化简，再求值．2x−3y2−x−2yx−5y−2x+y2x−y，其中x≡−1，y=2．
9．试证明代数式(2n−3)2+14m+2n⋅14m−2n+12n的值与n无关．
10．已知下列等式：32−12=8，52−32=16，72−52=24，…请观察规律，并用你发现的规律解答下面的问题：
(1)写出第4个等式 ；
(2)写出第n个等式，并证明等式的正确性；
(3)利用（2）中的规律计算：80+88+96+⋅⋅⋅+224+232．
11．从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．

(1)上述操作能验证的等式是______（请选择正确的一个）
A．a2−2ab+b2=a−b2 B．a2−b2=a+ba−b C．a2+ab=aa+b
(2)若x2−9y2=12，x+3y=4，求x−3y的值；
(3)计算：1−1221−1321−142⋅⋅⋅1−1202921−120302
12．数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．现在用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2所示的大正方形．观察图形并解答下列问题．
(1)由图1到图2的过程可得到的因式分解等式为 （用含a，b的代数式表示）；
(2)小敏用图1中的A、B、C三种纸片拼出一个面积为(3a+b)(a+2b)的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；
(3)如图3，C为线段AB上的动点，分别以AC，BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB=5，记正方形ACDE和正方形BCFG的面积分别为S1,S2，且S1+S2＝17，利用（1）中的结论求图中三角形ACF的面积．
13．如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成正方形ABCD．

(1)观察图2，试猜想式子m+n2，m−n2，mn之间的数量关系，并证明你的结论；
(2)根据（1）中的数量关系，解决问题：已知x−y=5，xy=−6，求x+y的值．
14．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律．
(1)如图①是2023年11月份的日历，我们用如图所示的“Z”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），将位置B，D上的数相乘，位置A，E上的数相乘，再相减，例如：6×20−5×21=______，3×17−2×18=______，不难发现，结果都等于______．（请完成填空）
(2)设“Z”字型框架中位置C上的数为x，请利用整式的运算对（1）中的规律加以证明．
(3)如图②，在某月历中，正方形方框框住部分（阴影部分）9个位置上的数，如果最小的数和最大的数乘积为17，那么中间位置上的数a=______．
15．有足够多的长方形和正方形卡片，如下图(边长如图所示)：

(1)如果选取4张1号卡，1张2号卡，4张3号卡，恰好拼成一个正方形（不重叠无缝隙），请将拼图前后的面积用一个等式表示出来 ．
(2)如果要拼出一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，那么需要用到1号卡 张，2号卡 张，3号卡片 张；
(3)如果拼出的长方形面积为2a2+7ab+3b2，请你画出这个长方形的草图．
16．（1）拼一拼、画一画：请你用如图1所示的4个长为a，宽为b的长方形拼成一个大正方形，并且正中间留一个洞，这个洞恰好是一个小正方形．请画出草图．
（2）用不同方法计算中间的小正方形的面积，聪明的你能写出什么样的等量关系式？
（3）当拼成的这个大正方形的边长比中间小正方形的边长多3cm时，面积就多24cm2，求中间小正方形的边长．
（4）实际上有许多代数恒等式可以用同一个图形面积

17．阅读：若x满足80−xx−60=30，求(80−x)2+(x−60)2的值．
解：设80−x=a,x−60=b，则80−xx−60=ab=____________，
a+b=80−x+x−60=____________．
所以：(80−x)2+(x−60)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=____________
请仿照上例解决下面的问题：

（1）补全题目中横线处；
（2）已知30−xx−20=−10，求(30−x)2+(x−20)2的值；
（3）若x满足(2021−x)2+(2020−x)2=2019，求2021−xx−2020的值；
（4）如图，正方形ABCD的边长为x,AE=10,CG=25，长方形EFGD的面积是400，四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）．
18．【阅读材料】
“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法．比如：北师大版七年级下册教材在学习“完全平方公式”时，通过构造几何图形，用几何直观的方法解释了完全平方公式：a+b2=a2+2ab+b2（如图1）．利用“数形结合”的思想方法，可以从代数角度解决图形问题，也可以用图形关系解决代数问题．
【方法应用】
根据以上材料提供的方法，完成下列问题：
(1)由图2可得等式： ；由图3可得等式： ；
(2)利用图3得到的结论，解决问题：若a+b+c=15，ab+ac+bc=35，则a2+b2+c2= ；
(3)如图4，若用其中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为a，b的长方形纸片拼出一个面积为2a+ba+2b长方形（无空隙、无重叠地拼接）．
①请画出拼出后的长方形；
②x+y+z= ；
(4)如图4，若有3张边长为a的正方形纸片，4张边长分别为a，b的长方形纸片，5张边长为b的正方形纸片．从中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张．把取出的这些纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为 ．
四、问答题
19．阅读下列材料，完成后面的任务．
完全平方公式的变形及其应用
我们知道，完全平方公式有： a+b2=a²+2ab+b²;a−b2=a2−2ab+b2．
在解题过程中，根据题意，若将公式进行变形，则可以达到快速求解的目的，其变形主要有下列几种情形：
a2+b2=a+b2−2ab;a2+b2=a−b2+2ab;a2+b2=12a+b2+a−b2；
ab=14a+b2−a−b2．
根据上述公式的变形，可以迅速地解决相关问题．
例如： 已知x+y=3，x−y=1，求 x2+y2的值．
解： x2+y2=12×x+y2+x−y2=12×32+12=5．
任务：
(1)已知x+y=5,x−y=3，则xy= ．
(2)已知x+y=7,x2+y2=25，求x−y2的值．
20．【知识生成】通过学习：我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，请结合图形解答下列问题：
(1)写出下图中所表示的数学等式______．
(2)如下图，是用4块完全相同的长方形拼成正方形，用两种不同的方法求图中阴影部分的面积，得到的数学等式是______．
(3)【知识应用】若x+y=7,xy=134，求x−y的值；
(4)【灵活应用】下图中有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得到图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得到图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和11，则正方形A,B的面积之和______．
参考答案
1．（1）解：a+ba−2=a2+ba−2a−2b；
（2）解：x−12x+12=x2−14；
（3）解：m+nm−n=m2−n2；
（4）解：0.1−x0.1+x=0.01−x2；
（5）解：x+y−y+x=x2−y2．
2．（1）解：(4m+n)2
=16m2+8mn+n2；
（2）解：y−122
=y2−y+14；
（3）解：(−a−b)2
=a2+2ab+b2；
（4）解：(−a+b)2
=a2−2ab+b2．
3．（1）解：4x−3y2=16x2−24xy+9y2；
（2）解：x+y+1x+y−1
=x+y2−1
=x2+2xy+y2−1；
（3）解：2x+3y2−2x+y2x−y
=4x2+12xy+9y2−4x2+y2
=12xy+10y2；
（4）解：−x2y5⋅xy3
=−x2y5⋅x3y3
=−x5y8．
4．（1）解：20232−2022×2024
=20232−2023−1×(2023+1)
=20232−(20232−1)
=20232−20232+1
=1；
（2）解：982+4×98+4
=(98+2)2
=10000．
5．解:原式=x2−4xy+4y2−9x2−25y2
=x2−4xy+4y2−9x2+25y2
=−8x2−4xy+29y2．
6．（1）解：原式=3x−y−43x+y−4
=9x2−y−42
=9x2−y2−8y+16
=9x2−y2+8y−16．
（2）解：原式=x2+2x+1−x2+x−2
=x2+2x+1−x2−x+2
=x+3．
7．解： x+yx−2y−x+2y2÷12y
=x2+xy−2xy−2y2−x2+4xy+4y2÷12y
=x2−xy−2y2−x2−4xy−4y2÷12y
=−5xy−6y2÷12y
=−10x−12y，
当x=−1，y=14时，原式=−10×−1−12×14=10−3=7．
8．解：2x−3y2−x−2yx−5y−2x+y2x−y
=4x2−12xy+9y2−x2−5xy−2xy+10y2−4x2−y2，
=4x2−12xy+9y2−x2+5xy+2xy−10y2−4x2+y2，
=−x2−5xy，
当x=−1，y=2时，
原式=−−12−5×−1×2
=−1+10
=9．
9．解:(2n−3)2+14m+2n⋅14m−2n+12n
=4n2−12n+9+116m2−4n2+12n
=116m2+9
∵这个代数式化简的结果是不含字母n的代数式，
∴代数式(2n−3)2+14m+2n⋅14m−2n+12n的值与n无关．
10．（1）解：第1个等式为32−12=8，
第2个等式为52−32=16，
第3个等式为72−52=24，
第4个等式为92−72=32；
故答案为：92−72=32
（2）解：根据题意得： 第n个等式为2n+12−2n−12=8n，证明如下：
左边=2n+12−2n−12
=4n2+4n+1−4n2−4n+1
=4n2+4n+1−4n2+4n−1
=8n
=右边
（3）解：80+88+96+⋅⋅⋅+224+232
=8×10+8×11+8×12+⋯+8×28+8×29
=8×10+11+12+⋯+28+29
=8×212−192+232−212+252−232+⋯+572−552+592−572
=8×592−192
=24960．
11．（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，
图1可以拼成长a+b，宽为a−b的长方形，
如图2，因此面积为a+ba−b，
因此有a2−b2=a+ba−b，
上述操作能验证的等式是a2−b2=a+ba−b，
故选：B
（2）解：依题意，
因为x2−9y2=x+3yx−3y=12，且x+3y=4
所以x+3yx−3y=4x−3y=12
即x−3y=3，
即x−3y的值为3；
（3）解：依题意，
1−1221−1321−142⋅⋅⋅1−1202921−120302
=1−121+121−131+13…1−120291+120291−120301+12030
=12×32×23×43×…×20282029×20302029×20292030×20312030
=12×32×23×43×…×20282029×20302029×20292030×20312030
=12×20312030
=20314060．
12．解:（1）根据题意得，a2+2ab+b2=a+b2，
故答案为：a2+2ab+b2=a+b2；
（2）∵3a+ba+2b=3a2+7ab+2b2，
∴所需A、B两种纸片各2张，C种纸片7张；
（3）设AC=a，BC=CF=b，则a+b=5，
∵S1+S2=17，
∴a2+b2=17，
∵a+b2=a2+2ab+b2，
∴a2+b2=a+b2−2ab，
∴17=52−2ab，
∴ab=4，
∴S阴影=12ab=2．
13．（1）解：关系：(m+n)2−(m−n)2=4mn；
由图1，4个小长方形面积之和S=2m⋅2n=4mn，
由图2，4个小长方形面积之和S=(m+n)2−(m−n)2，
∴(m+n)2−(m−n)2=4mn．
（2）解：由（1）知，(x+y)2−(x−y)2=4xy，
∴(x+y)2=(x−y)2+4xy=52+4×(−6)=1．
∴x+y=±1．
14．（1）解：6×20−5×21=120−105=15，
3×17−2×18=51−36=15，
故答案为：15，15，15；
（2）证明：设C为x，则A,B,D,E四个数依次为x−8,x−7,x+7,x+8，
∴x−7x+7−x−8x+8=15，
故结果都等于15；
（3）解：∵中间位置上的数为a，则最小的数为a−8，最大的数为a+8，
依题意，得(a−8)(a+8)=17=1×17，
∵a−8>0且a−8，a+8为正整数，a−8∴a−8=1a+8=17，
解得：a=9，
故答案为：9．
15．（1）解：根据题意得：拼图前后的面积用一个等式表示出来为
4a2+4ab+b2=2a+b2；
故答案为：4a2+4ab+b2=2a+b2
（2）解：∵要拼出一个长为2a+b，宽为a+2b的长方形，
∴大长方形的面积=2a+ba+2b=2a2+5ab+2b2，
∴需要用到1号卡2张，2号卡2张，3号卡片5张；
故答案为：2；2；5
（3）解：∵拼出的长方形面积为2a2+7ab+3b2，
∴需要用到1号卡2张，2号卡3张，3号卡片7张，
画出这个长方形的草图如下：

16．解：（1）图形如下：

（2）解：∵大正方形的边长为：a+b，
∴大正方形的面积为a+b2；
∵大正方形是由4个长为a，宽为b的小长方形和边长为a−b的正方形拼接成，
∴大正方形的面积为a−b2+4ab，
∴ a+b2=a−b2+4ab；
（3）设小正方形的边长为x，由题意得：
x+32−x2=24
解得;x=2.5
故中间小正方形得边长为：2.5cm；
（4）根据图形知，该矩形的长为2m+n，宽为m+n，
则该矩形的面积为m+n2m+n，
∵该矩形是由2个边长为m，面积为m2的正方形、一个边长为n，面积为n2的正方形和3个长为m，宽为n，面积为mn的小长方形拼接成，
∴ m+n2m+n=2m2+3mn+n2，
故答案为：m+n2m+n=2m2+3mn+n2．
17．解：（1）设80−x=a，x−60=b，
则80−xx−60=ab=30，a+b=80−x+x−60=20，
所以(80−x)2+(x−60)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=202−2×30=340；
故答案为：30，20，340；
（2）设30−x=a，x−20=b，
则ab=−10，a+b=10，
∴(30−x)2+(x−20)2=a2+b2=(a+b)2−2ab=102−2×(−10)=120；
（3）设2021−x=m，2020−x=n，
则m2+n2=2019，m−n=1，
∵(m−n)2=m2−2mn+n2，
∴1=2019−2mn，
∴mn=1009，即2021−xx−2020=−1009；
（4）由题意得：DE=x−10，DG=x−25，
则(x−10)(x−25)=400，
设a=x−10，b=x−25，
则a−b=15，ab=400，
∴S阴=(a+b)2=(a−b)2+4ab=152+4×400=1825．
18．（1）解：由图2知，∵大长方形的面积=2a+ba+b，
大长方形的面积=3个小正方形的面积+3个小长方形的面积=a2+a2+b2+3ab=2a2+b2+3ab，
∴2a+ba+b=2a2+b2+3ab；
由图3知，∵大正方形的面积=a+b+c2，
大正方形的面积＝3个正方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积+2个小长方形的面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：2a+ba+b=2a2+b2+3ab，a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．
（2）∵由（1）知：a+b+c2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴a2+b2+c2=a+b+c2−2ab+2ac+2bc，
=a+b+c2−2ab+ac+bc，
把a+b+c=15,ab+ac+bc=35代入，
a2+b2+c2=152−2×35=225−70=155．
故答案为：155．
（3）①∵2a+ba+2b=2a2+4ab+ab+2b2=2a2+5ab+2b2，
2a2+5ab+2b2可以看成2张边长为a的正方形，2张边长为b的正方形，5张边长分别为a、b的长方形纸片拼成的大长方形的面积，
如图：

②由①知：x=2,y=2,z=5，
∴x+y+z=9．
故答案为：9．
（4）3张边长为a的正方形纸片的面积为3a2，4张边长分别为ab的长方形纸片的面积为4ab，5张边长为b的正方形纸片的面积为5b2，要想从中取出若干张纸片拼成一个正方形（无空隙、无重叠地拼接），则选取的纸片的面积和必须构成完全平方式，
∴可以选取1张边长为a的正方形纸片、2张边长分别为a，b的长方形纸片、1张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为a2+2ab+b2=a+b2，此时正方形的边长=a+b，
也可以选取1张边长为a的正方形纸片、4张边长分别为ab的长方形纸片、4张边长为b的正方形纸片，此时围成的正方形面积为a2+4ab+4b2=a+2b2，此时正方形的边长=a+2b，
∴拼成的正方形的边长最长为a+2b．
故答案为：a+2b．
19．（1）解：∵ab=14a+b2+a−b2，
∴xy=14x+y2−x−y2，
∵ x+y=5,x−y=3，
∴xy=14×52−32=4，
故答案为：4；
（2）解：∵ a2+b2=12a+b2+a−b2，
∴x2+y2=12x+y2+x−y2，
∵ x+y=7,x2+y2=25，
∴25=12×72+x−y2，
∴ 50=49+x−y2，
∴x−y2=1．
20．（1）解：图1中大正方形的边长为a+b，因此面积为(a+b)2，图1中4个部分的面积和为a2+2ab+b2，因此有(a+b)2=a2+2ab+b2，
故答案为：(a+b)2=a2+2ab+b2；
（2）解：图2中阴影部分是4个长为a，宽为b的长方形组成，因此阴影部分的面积为4ab，阴影部分也可以看作边长为a+b，与边长为a−b的面积差，即(a+b)2−(a−b)2，因此有(a+b)2−(a−b)2=4ab，
故答案为：(a+b)2−(a−b)2=4ab；
（3）解：∵x+y=7，
∴(x+y)2=49，
∴(x−y)2
=(x+y)2−4xy
=49−13
=36，
∴x−y=±6；
（4）解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，所以图3甲中的阴影部分的面积为(a−b)2，即(a−b)2=2，
图3乙中阴影部分的面积为(a+b)2−a2−b2=4ab=11，
所以正方形A、B的面积之和为a2+b2=(a−b)2+4ab=2+11=13，
故答案为：13．