（学霸思维拓展）最短线路问题（提高）-六年级数学小升初易错题奥数培优押题卷（苏教版）

这是一份（学霸思维拓展）最短线路问题（提高）-六年级数学小升初易错题奥数培优押题卷（苏教版），共39页。试卷主要包含了甲、乙两村之间隔两条河等内容，欢迎下载使用。
1．从A点到B点的路中，有一个湖挡住了路，那么现在最短路线有多少种？
2．如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表面爬向B点．请画出蚂蚁爬行的最短路线．问：这样的路线共有几条？
3．如图，甲、乙两点在直线AB的同侧，在直线AB上求一点，使它到甲、乙两点的距离和最小．
4．如图，爸爸先要从家出发去河边取水，再到菜地浇水，请问怎样走路线最短？
5．如图，设ABCD是长方形台球桌，一个黑球在P点被击中，依次碰撞AB、BC再反弹后击中在Q点的白球．已知P点到AB的距离为5个单位，到BC的距离为12个单位，Q点到AB的距离为7个单位，到BC的距离为4个单位．试问：黑球从P点出发经过AB、BC反弹后到击中Q点的白球的路线长度有多少个单位？
6．如图，公路的两侧有A、B两个小区，现要在公路上修建一座天桥，使两个小区的居民来往时的路线和最短．这座天桥应建在何处？
7．有一个水塔要供应某条公路旁的A～F六个居民点用水（见图，单位：千米），要安装水管，有粗细两种水管，粗管足够供应6个居民点用水，细管只能供应1个居民点用水，粗管每千米要7000元，细管每千米要2000元，粗细管怎样互相搭配，才能使费用最省？费用应是多少？
8．甲、乙两村之间隔两条河（如图所示），为使两村间的行程最短，应在两条河的什么位置各架一座桥．（作图表示）
9．如图，A是邮局，B，C，D，E，F是五户人家．相邻两家的路程如图标所示，邮递员从邮局出发要给这5户人家送信（每家都有信），要求最后把信送到D户．问：邮递员走的最短路程是多少米？
10．图中，AB、CD表示两条海岸线，甲、乙是两个小岛．若某只小船从甲岛出发，先到AB岸，然后再CD岸，最后到乙岛．小船走什么线路是最短的？
11．如图，一个牧童从甲地出发，赶着羊群先到河边饮水，再将羊群赶到乙地吃草．已知从甲地到河边饮水点，以及从饮水点到乙地都是直线路程，请问应该怎么选择河边饮水点的位置，使羊群所走的路线为最短？请在图上表示出来并作文字说明．
12．如图是某地区的街道示意图，由图书馆到汽车站，要求走最短的路线，共有多少种不同的走法？
13．某城市的街道如图所示呈棋盘状，洒水车要在所有街道和城市四周洒水一次，请你为洒水车画出一条最短行驶路线．
14．By村和Girl村中间有一条公路（如图），现在要在公路旁开一家KFC（肯德基），问：KFC建在什么地方可以让这两村的人到KFC买东西的路线和最短？
15．如图，甲、乙两人在公路两侧，两人约好在公路上的某处见面，要使两人到公路上的距离和最短，那么这个见面点应设在公路的哪一处？
16．如图，河道的南北两侧有A、B两个村庄，现要在河道上修建一座桥，使两个村庄的居民来往时的路线和最短．这座天桥应建在何处？
17．A，B，C三地的距离（单位：千米）如图所示．现有一辆载重量4吨的汽车要完成下列任务：从A地运12吨煤到B地，从B地运8吨钢材到C地，从C地运16吨粮食到A地．怎样安排才能使汽车空驶里程最短？
18．一只蚂蚁从如图长方体的A点出发，沿长方体的表面爬行，依次经过前、上、后、底面，最后到P点，设计一条最短的爬行路线．
19．一个城市交通道路如图，数字表示各段路的路程（单位：千米），求出图中从A到F的最短路程．
20．一个邮递员投送信件的街道如图所示，图上数字表示各段街道的千米数．他从邮局出发，要走遍各街道，最后回到邮局．问：走什么样的路线最合理？全程要走多少千米？
21．如图，在一个正方体方块的左下角A点处有一只蚂蚁，它要沿着正方体的表面爬行至右上角的B点，去搬运一块食物．为了使得这个蚂蚁所走的路线长度最短，它应该怎么爬行？它可以选择的最短路线一共有几条？
22．如图是一张道路图，每条路上的数是小王走这段路所需的时间（单位：分）．小王从A到B，最快需要几分钟？
23．如图所示，工地上要把3车渣土从A运到B，把2车砖从C运到D．一辆汽车最少跑多远可完成任务？
24．一个圆柱形桶的高为40厘米，底面周长为60厘米，如图（a）所示．一只蚂蚁从桶的上沿一点出发，沿桶壁爬到桶上离出发点最远的地方．如果它每分钟可爬行20厘米，那么它最少需爬多少分钟？
25．直线l是一条公路，公路两侧有甲、乙两个村子（如图所示），现在要在公路旁修建一所医疗站，让这两个村子的人到医疗站的路线之和最短．问：医疗站应该建在什么地方？
26．如图是一张道路图，每条路上的数是小王走这段路所需的时间（单位：分）．小王从A到B，最快需要几分钟？
27．春蕾学校组织学⽣到某风景区旅游，学校要求每个学⽣从景区入口处进入，游玩结束后要从原入口处返回集合．进入景区后，要求学⽣们把每个景点都玩到，且不⾛重复路线，请设计⼀下最佳线路，并在图上⽤箭头标注下来．
28．如果从A、B两点各修一条小路与公路接通，要使这两条小路最短，应该怎样修？请你在图中画出来。
29．如图，如果角ABC是一个直角，即CB垂直AB，现在由A点到C点有如下四种走法：
①A→D→C；
②A→B→C；
③A→E→F→G→H→I→J→K→C；
④A→C
试比较这四种走法中，哪条路线最近？哪条路线最远？
30．A、B两村位于河的两岸（如图），两村决定修建一座桥，为了使从A村到B村的路程最短，桥应修在何处？请作图表示．
31．如图所示，从A到B，步行走粗线道ADB需要32分钟，乘车细线道A→C→D→E→B需22.5分钟．已知D→E→B段的距离是D→B段距离的4倍，A→C→D段的距离是A→D段的距离的5倍，车速是步行速度的6倍，问先从A至D步行，再从D→E→B乘车所需要的总时间是多少分钟？
32．如图，有一个圆锥形沙堆的底面直径BC为4厘米，圆锥的侧面展开圆心角为120度，母线AC的长度为6厘米．请问：
（1）如果一只蚂蚁想从B点去C点，最短路线应该怎么走？请设计出一条最短路线（蚂蚁只能在圆锥表面走）；
（2）如果一只蚂蚁需要由B点出发到达线段AC上（可以到其上的任意一点），那么最短路线应该怎么走？
33．王大伯从家（A点处）去河边挑水，然后把水挑到积肥潭里（B点处）．请帮他找一条最短路线，在如图表示出来，并写出过程．
34．如图所示，A、E为长方体同一条棱上的两个顶点，且AE＝8厘米，底面是边长为2厘米的正方形，B、C、D到底面的距离分别为2厘米、4厘米、6厘米，连接AB、BC、CD、DE，则折线ABCDE是以A点为起点，以E为终点绕棱柱侧面一周最短和路线，请说明其中的理由．
35．如图，通信员王叔叔从营地骑马出发去送信，先要到河边让马匹去饮水，再把信送到目的地，请问怎样走路线最短？
36．东升乡有8个行政村．分布如图所示，点表示村庄，线表示道路，数字表示道路的长（单位：千米）．现在这个乡要建立有线广播网，沿道路架设电线．问：电线至少要架多长？
37．小红和小芳准备一起去游乐园，她们约好在马路某处见面，如果她们所走路线的距离和最小，那么，她们应该约在哪见面最合适？
38．如图是某小区的街道分布图，街道长度如图所示（单位：公里），图中各字母表示不同楼的代号，一辆垃圾清扫车从垃圾站（垃圾站位于C楼与D楼之间的P处）出发要清扫完所有街道后仍回到垃圾站，问怎样走路线最短，最短路线是多少公里？
39．如图是一个正方体，从顶点A沿着棱到顶点′C怎样走路线最短？最短线路有几条？
40．如图是一个由12个相同的小正方体组成的一个长方体，这个长方体摆在地上．有一只蚂蚁要沿着图中的格线（注意，蚂蚁不能沿着与地面接触的面爬，但可以从后面的两个看不见的面爬）从A点爬到B点，则这只蚂蚁可选择的最短路线一共有多少条？
41．如图，这是一张街道图，每一小段路的长度都是500米．小悦从A点出发，任选一条最短路线走向B点，冬冬从B点出发，任选一条最短路线走向A点，小悦每分钟走18米，冬冬每分钟走24米．他们两人在途中相遇的概率是多少？
42．如图，小明住在甲村，奶奶住在乙村，星期天小明去看奶奶，先在北山坡打一捆草，又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去．请问：小明应选择怎样的路线使路程最短？
43．在如图所示的道路中，数字表示各段路的路程，求出从A到B的最短路程．
44．从甲村到乙村要经过一条河，现要在小河上架一座桥，要求甲村到乙村之间的线路最短，在图中画出架桥的地点。
45．如图所示，AB、CD表示两条海岸线，O是小岛，若某只小船从O岛出发，先到AB海岸接人，再到CD海岸接人，最后回到O岛上，小船走什么路线最短，请画出示意图或用语言描述．
46．这是一张台球桌面的示意图，图中所有的小方格都是正方形，现在点A处沿AB方向将小球击出，请问小球与桌沿碰撞几次后能达到点M处？请画出小球由点A至点M的运动路径．
47．如图，P点是一个村庄，要在距离村庄不远的地方修两条通往高速公路的水泥路，怎样修最近？在图上画出来。
48．从直线外一点A向直线l画三条线段，其中要有一条是到直线l最短的线段，你会画吗？
49．如图，A、B两村想在河边合修一个码头，请问，这个码头应设在何处，才能使两村所走的路程和最短？
50．一条公路上有A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7七个村庄，现要在这段公路上设一车站，使这七个村庄的人到车站的步行路程总和最小，车站应该建在何处？
51．如图，假如角ABC是一个直角，CB垂直AB，现在由A点到C点，有如下四种走法：
（1）A→D→C （2）A→B→C （3）A→E→C （4）A→C
试比较四种走法中哪条路线最近？哪条路线最远？
52．如图有六个荔枝产地，产量（吨）写在产地旁，问荔枝收购站应设在交通图中的哪个地方，可使运力最省？
53．如图，小明要把一本课外书借给小红看，约好在公路见面，要使两人所走的路程和最短，见面点应设在公路的何处？
54．如图是一个粮店和居民点的位置示意图，“〇”表示粮店，〇内的数字表示该粮店存粮数（吨），“•”表示居民点，线段表示道路，线段上的数字表示距离（千米）．假设运输1吨粮食每千米运费0.3元，每个居民点都需要30吨粮食，应如何调运才能使运费最省？运费为多少元？
55．古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位将军向他请教一个问题：如图16﹣3，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后再回到乙地的马棚，为了使走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？
56．如图，在A、B位于直线L的同侧，在L上找一点P，使得AP+PB最短．
57．古希腊亚历山大城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．他精通数学、物理，聪慧过人．有一天，一位远道而来的将军向他请教一个问题：从甲地出发到河边饮马，然后再去乙地马棚（如图所示），走什么样的路线最短？
海伦听了将军的问题，稍加思索，便回答了这个问题，将军听后恍然大悟．这个问题后来被人们称为“将军饮马”问题．那么，海伦是怎样回答将军饮马问题的呢？
最短线路问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共57小题）
1．【答案】见试题解答内容
【分析】要求最短路线即只能走9条线段，从A向上走有4种路线，从A向右走有3种路线，共有4+3＝7种路线，据此解答即可．
【解答】解：求最短路线即只能走9条线段，从A向上走有4种路线，从A向右走有3种路线，
4+3＝7（种）
答：现在最短路线有7种．
【分析】解答本题的关键是理解要求最短路线即只能走9条线段．
2．【答案】见试题解答内容
【分析】根据勾股定理可得出最短路径为45，然后标出即可．
【解答】解：
路线有6条，如图2所示：
【分析】本题考查了勾股定理的拓展应用．“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
3．【答案】见试题解答内容
【分析】因为甲、乙两点在直线AB的同侧，要使直线AB上的点到甲、乙两点的距离和最小．首先作乙关于直线AB的对称点乙′，然后连接甲乙′交直线AB于D点，D点就是所求的点．如图所示：
【解答】解：作出乙关于直线AB的对称点乙′，然后连接甲乙′交直线AB于D点，D点就是所求的点．如图所示．
D点到甲、乙两点的距离和最小．
【分析】此题考查了学生作某一点关于直线对称点的方法，以及分析问题的能力．
4．【答案】见试题解答内容
【分析】根据两点之间线段最短的知识即可解答．
【解答】解：
沿红色线路走，路线最短．
【分析】本题考查的是两点之间线段最短的知识，解答此题的关键是熟知轴对称的性质．
5．【答案】见试题解答内容
【分析】如图，首先作出P点关于AB的对称点M，Q点关于BC的对称点N，再做MO垂直于ON，垂足为O，由轴对称的性质可知所求黑球从P点出发经过AB、BC反弹后到击中Q点的白球的路线长度就等于MN的长度，由此计算得出结论即可．
【解答】解：如图，
作出P点关于AB的对称点M，Q点关于BC的对称点N，再做MO垂直于ON，垂足为O，
由已知P点到AB的距离为5个单位，到BC的距离为12个单位，Q点到AB的距离为7个单位，到BC的距离为4个单位；
可知MO＝12+4＝16，NO＝7+5＝12，
所以MN2＝162+122＝400，
MN＝20；
答：黑球从P点出发经过AB、BC反弹后到击中Q点的白球的路线长度有20个单位．
【分析】此题考查利用轴对称图形的性质求最短距离，注意结合图形和所给的数据解决问题．
6．【答案】见试题解答内容
【分析】设公路宽为CD，然后根据两点之间线段最短、垂线段最短、平移的性质的知识即可解答．
【解答】解：①沿垂直公路方向作AA′＝CD，
②连接A′B，交公路另一侧于点D，
③作垂线CD，交公路一侧于C点，则CD就是这座天桥应建的位置．
【分析】本题考查的是两点之间线段最短的知识，解答此题的关键是熟知垂线段最短和平移的性质．
7．【答案】见试题解答内容
【分析】粗管每千米7000元，可以供6个居民点用水；细管每千米2000元，可以供1个居民点用水．如果用细管供水，供3个居民点用水，就需要2000×4＝8000元，比粗管贵．所以当居民点不少4个时，用粗管合算；居民点少于4个的时候，用细管合算．那么从水塔到C，都用粗管，从C到F用细管，费用最省，费用为：（30+5+2）×7000+（4+5+10）×2000＝279000（元）．从水塔到C点铺粗管，最后三个居民点铺细管，总费用为279000元．（如图）
【解答】解：7000÷2000＝3…1000，
四根细管花费超过一根粗管，
所以从水塔至C点用粗管，
其余用细管．
费用：（30+5+2）×7000+（4+5+10）×2000
＝259000+38000
＝297000（元）．
答：从水塔到C，都用粗管，从C到F用细管，费用最省，费用为297000元．
【分析】在解答此题时要注意“当长度相同时，四根细管的费用超过一根粗管，所以最后三个居民点用细管”，这是解题的关键．
8．【答案】见试题解答内容
【分析】在河的垂直方向分别截取FH等于河宽，AT等于河宽，连接HT分别与河交于点C、D，构造平行四边形FHDE，平行四边形ABCT，根据两点之间线段最短，可知两村之间A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的行程最．
【解答】解：如图所示：在这两条河的DE和BC处各架一座桥即可，
在河的垂直方向分别截取FH等于河宽，AT等于河宽，连接HT，构造平行四边形FHDE，平行四边形ABCT，根据两点之间线段最短，可知两村之间A﹣B﹣C﹣D﹣E﹣F的行程最短．
【分析】本题考查复杂作图，两点之间线段最短，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质解决最短问题．
9．【答案】见试题解答内容
【分析】由题意，最短路线是A→B→C→F→E→D，由此即可解决问题．
【解答】解：由题意，最短路线是A→B→C→F→E→D，
最短路程为100+100+100+100+100＝500米．
答：邮递员走的最短路程是500米．
【分析】本题考查最短问题、一笔画问题等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找路线．
10．【答案】见试题解答内容
【分析】根据两点之间线段最短的知识即可解答，先作出关于AB的对称点甲′，然后连接乙甲′交AB于P点，然后做出P点关于CD对称点P′，然后连接乙P′交CD于M点，然后沿着红色线行走即可．
【解答】解：如图，
小船沿甲→P→M→乙线路走最短的．
【分析】本题考查的是两点之间线段最短的知识，解答此题的关键是熟知轴对称的性质．
11．【答案】见试题解答内容
【分析】作甲点相对于河边的对称点，然后连接对称点和乙点，与河相交的点就是饮水点．
【解答】解：
【分析】点与对称点到对称轴之间的距离相等，根据这个知识点找到对称点．
12．【答案】见试题解答内容
【分析】利用标数法表上数字，求出线路的总条数即可．
【解答】解：如图，
由图书馆到汽车站，要求走最短的路线，共有126种不同的走法．
【分析】此题考查利用标数法求线路的问题，注意数据的填写．
13．【答案】见试题解答内容
【分析】洒水车要在所有街道和城市四周洒水一次，尽量为洒水车画出一条最短行驶路线，应该是少重复跑路．
【解答】解：如图，
【分析】此题考查了最短线路问题．
14．【答案】见试题解答内容
【分析】根据两点之间线段最短的知识即可解答．
【解答】解：
所以KFC建在P点可以让这两村的人到KFC买东西的路线和最短．
【分析】本题考查的是两点之间线段最短的知识．
15．【答案】见试题解答内容
【分析】因为两个地点之间走直线最近，所以，只要在甲、乙两人间连一条直线，这条直线与公路交点P，就是所求的见面处．
【解答】解：
【分析】通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的，人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．
16．【答案】见试题解答内容
【分析】设河宽为CD，然后根据两点之间线段最短、垂线段最短、和平移的性质的知识即可解答．
【解答】解：①沿垂直河岸方向作AA′＝CD，
②连接A′B，交河岸另一侧于点D，
③作垂线CD，交河岸一侧于C点，则CD就是这座天桥应建的位置．
【分析】本题考查的是两点之间线段最短的知识，解答此题的关键是熟知、垂线段最短、和平移的性质．
17．【答案】见试题解答内容
【分析】如图所示，将各段需运输的次数（括号内的数）及运输走向（箭头指向）标在图上．
由于C到A的次数最多，所以应从 C开始．按C→A→B→C，两次循环后，B地的钢材运完，C地还有8吨粮食待运，A地还有4吨煤待运．再从C运4吨粮食到A，然后空驶回C地，再从C运4吨粮食到A，最后从A运4吨煤到B．这样的安排只空驶了7千米，空驶里程最短．
【解答】解：如图所示，从C开始，按C→A→B→C，两次循环后，B地的钢材运完，C地还有8吨粮食待运，A地还有4吨煤待运．
再从C运4吨粮食到A，然后空驶回C地，再从C运4吨粮食到A，最后从A运4吨煤到B．
这样的安排只空驶了7千米，空驶里程最短．
【分析】此题属于最短线路问题，在做题时应做到统筹兼顾，考虑周全．
18．【答案】见试题解答内容
【分析】本题考查最短线路问题．
【解答】解：因为小虫在长方体的表面爬行，所以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成平面图形（如图）；又因为在平面上“两点之间的线段长度最短”，所以连接AP，则线段AP为小虫爬行的最短路线．
【分析】本题关键在于把长方体展开图画出来，利用两点之间线段最短进行解答．
19．【答案】见试题解答内容
【分析】从A到F的路线有很多，根据两点之间直线最短，比较短的路线有AIHGF，ABCEF，AJKGF，然后分别算出这三条比较短的路线的路程各是多少，然后再进行比较即可．
【解答】解：①沿AIHGF路线走：7+1+5+2＝15（千米）
②沿ABCEF路线走：5+2+5+2＝14（千米）
③沿AJKGF路线走：5+4+2+2＝13（千米）
因为13＜14＜15，所以从A到F的最短路程是13千米．
【分析】本题考查的是最短路线问题，因为两点之间直线最短，要保证走的路程最短，就要尽可能的走直线．
20．【答案】见试题解答内容
【分析】选择最短的路线最合理．那么，什么路线最短呢？一笔画路线应该是最短的．邮递员从邮局出发，还要回到邮局，按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点．因此，要能一笔把路线画出来，必须途径的各点全是偶点．但是图中有8个奇点，显然邮递员要走遍所有街道而又不走重复的路是不可能的．要使邮递员从邮局出发，仍回到邮局，必须使8个奇点都变成偶点，就是要考虑应在哪些街道上重复走，也就是相当于在图上添哪些线段，能使奇点变成偶点．如果有不同的添法，就还要考虑哪一种添法能使总路程最短．为使8个奇点变成偶点，我们可以用如图的4种方法走重复的路线．
图中添虚线的地方，就是重复走的路线．重复走的路程分别为：
（1）3×4＝12（千米）
（2）3×2+2×2＝10（千米）
（3）2×4＝8（千米）
（4）3×2+4×2＝14（千米）
当然，重复走的路程最短，总路程就最短．从上面的计算不难找出最合理的路线了．
【解答】解：邮递员应按图4（c）所示的路线走，这条路重复的路程最短，所以最合理．全程为：
（1+2+4+2+1）×2+3×6+2×4
＝20+18+8
＝46（千米）．
答：邮递员应按图（c）所示的路线走，这条路重复的路程最短，所以最合理．全程为46千米．
【分析】解决此题的关键是按一笔画问题，就是从偶点出发，回到偶点，且要考虑重复走的路程最短，总路程就最短．
21．【答案】见试题解答内容
【分析】将正方体表面展开，连接A、B两点，根据“两点之间线段最短”线段AB即为蚂蚁爬行的最短距离，线段AB即为点A和点B所在的长方形的对角线，即经过正方体棱的中点；
以不同的方法将正方体表面展开，点A和点B能在6个不同的长方形中，即它可以选择的最短路线一共有6条．
【解答】解：（1）当蚂蚁爬的是一条直线时，路径才会最短；即经过正方体棱的中点；
（2）路线有6条，如图所示：
【分析】“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键．
22．【答案】见试题解答内容
【分析】到B点必须经过G点或F点，经过G点必须经过D或O点，经过F点必须经过C点或O点；到G点的最短时间是15+11+10，到F点的最短时间是15+11+5，比较这两条路线的长短即可．
【解答】解：
经过G点到B点的最短时间是15+11+10+12＝48（分钟）
经过F点到B点的最短时间是15+11+5+18＝49（分钟）
答：最快需要48分钟．
【分析】此题要分析到各个点的最短时间，然后比较．
23．【答案】见试题解答内容
【分析】工地上要把3车渣土从A运到B，把2车砖从C运到D．按A→B→C→D→A→B→C→D→A→B路线走在A装上渣土，B点卸下渣土，C点装上砖，D点卸下砖，一辆汽车最少跑的距离是：400+200+500+300+400+200+500+300+400＝3200（米）；
如果逐项完成，按A→B→A→B→A→B→C→D→C→D从A→B运完渣土，再到C运砖，一辆汽车跑的距离是：400+400+400+400+400+200+500+500+500＝2000+200+1500＝3700＞3200；其他方法也可进行比较，明显得出结论，只有第一种方法最好．
【解答】解：工地上要把3车渣土从A运到B，把2车砖从C运到D．
按A→B→C→D→A→B→C→D→A→B路线走在A装上渣土，B点卸下渣土，C点装上砖，D点卸下砖，一辆汽车最少跑的距离是：400+200+500+300+400+200+500+300+400＝3200（米）；
答：工地上要把3车渣土从A运到B，把2车砖从C运到D．一辆汽车最少跑3200米可完成任务．
【分析】此题考查了最短线路问题，尽量少空车，运送次数多的优先开始，可以提高效率．
24．【答案】见试题解答内容
【分析】下图是桶壁侧面展开图，展开图围成铁桶后，左右两个点是重合的．B点是底面的中点，这样就可以求出AB的长度．
【解答】解：
60÷2＝30（厘米）
AB的长度是302+402=50（厘米）
50÷20＝2.5（分）
答：它最少需爬2.5分钟．
【分析】此题主要考查的是勾股定理．
25．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“两点之间，直线段最短”解答即可．
【解答】解：
所以医疗站应该建在P点处，才能使这两个村子的人到医疗站的路线之和最短．
【分析】通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的，人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．
26．【答案】见试题解答内容
【分析】此题可以采用分析排除法．（如图）从A到O有两条路线，A→H→O用14+13＝27分钟；A→E→O用15+11＝26分钟，所以可将OH抹去．但AH不能抹去，因为从A到B还有其他线路经过AH．
用同样的方法逐一排除，最后只剩下A→E→O→F→B这条最近的线路．
这条线路共用时间：15+11+5+18＝49（分钟）．
【解答】解：用排除法求得小王从A到B最近的线路是：A→E→O→F→B，
用时：15+11+5+18＝49（分钟）．
答：小王从A到B最快需要49分钟．
【分析】此题线路较多，采用分析排除法比较简便．
27．【答案】见试题解答内容
【分析】从景区入口进去，还从景区入口出来，那就要使每个点都是偶数点才行．按这个思路将一些路径去掉．
【解答】解：
【分析】此题实际上是一笔画问题，如果图形中的每个点都是都是偶数点，那么从任意一点出发，不重复可以走过所有路线后仍然能回到这一点．
28．【答案】
【分析】因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以只要分别作出A、B两点到公路的垂线段即可。
【解答】解：
【分析】此题主要考查直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短。
29．【答案】见试题解答内容
【分析】本题考查最短线路问题．利用线段之间进行平移长度不变的原理，可以分别计算出每种线路所走的路程和，最后利用两点之间线段最短比较出最近的线路是④，最远的线路是②和③．
【解答】解：因为两点之间，线段最短．
所以④A→C路线最近．
线路①所走的路程为AD+DC，
线路②所走的路程为AB+BC，
线路③所走的路程为AE+FG+HI+JK+EF+GH+IJ+KC＝AB+BC，
因为AB+BD＝AD+DB+BC＞AD+DC，
所以线路②和③的路线最远．
答：④路线最近，②和③路线最远．
【分析】本题主要考查学生对线段相关知识点的理解，基础题，细心解答即可．
30．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“两点之间线段最短”，将点A沿竖直方向平移（平移的距离等于河宽）到C点，连接BC，交B点的河岸于E点，过E点
作一条垂直与河岸的线段就可以了．
【解答】解：将点A沿竖直方向平移（平移的距离等于河宽）到C点，连接BC，交B点的河岸于E点，过E点作一条垂直与河岸的线段EF即可．
【分析】此题考查了学生垂直的知识，以及作图能力．
31．【答案】见试题解答内容
【分析】设AD段长a，DB段长b，则A→C→D段长为5a，D→E→B段长为4b；再设出步行速度为v，则车速就是6v，由此利用路程、速度与时间的关系，根据题干中的条件进行推理，利用等量代换的思想，将未知数逐个消掉，从而即可解决问题．
【解答】解：设AD段长a，DB段长b，则A→C→D段长为5a，D→E→B段长为4b；
步行速度为v，则车速就是6v，根据题意得：a+bv=32；5a+4b6v=22.5，
将上面两个等式整理可得：
a+b＝32v，①，
5a+4b＝135v，②，
根据等式的基本性质可知：
①×5﹣②，可得：
b＝25v，a＝7v；
先从A→D段步行，再从D→E→B段乘车，那么行驶的时间和为：
av+4b6v，
=7vv+4×25v6v，
＝7+1006，
＝2323（分钟），
答：先从A至D步行，再从D→E→B乘车所需要的总时间是2323分钟．
【分析】利用字母代替数字进行讨论分析，然后利用等量代换的思想解决问题，是本题的关键所在．
32．【答案】见试题解答内容
【分析】（1）要求蚂蚁爬行的最短距离，将圆锥的侧面展开，根据“两点之间线段最短”线段B′C即为最短路线．
（2）根据“垂线段最短”，在圆锥的侧面展开图中，从点B′向AC所在的直线作垂线，垂线段B′D即为最短路线．
【解答】解：解答作图如下：
【分析】圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，运用弧长公式即可求出扇形的圆心角．
33．【答案】见试题解答内容
【分析】以河流为轴，取A点的对称点C，连结BC与河流相交于D点，再连续AD．则王大伯可沿着AD走一条直线去河边D点挑水，然后再沿DB走一条直线到积肥潭去．这就是一条最短路线．
【解答】解：根据分析可得，
以河流为轴，取A点的对称点C，连结BC与河流相交于D点，再连续AD即可．
【分析】两点之间的距离，直线段最短，AD＝CD，也就是从AD到DB就等于从C到B，是直线的距离，所以最短，要注意把小河看成一条直线．
34．【答案】见试题解答内容
【分析】先将长方体的侧面展开在一个平面上，然后分析B、C、D三点与对角线AE之间的关系．
【解答】解：先将长方体的侧面展开在一个平面上，它的长为8厘米，宽为2×4＝8（厘米），所以它恰是一个正方形（如答图6所示），由线段的长度关系，ABCDE恰好为正方形的对角线，即折线ABCDE是绕侧面一周的最短路线．
【分析】此题运用“两点之间线段最短”解决问题．
35．【答案】见试题解答内容
【分析】根据两点之间线段最短的知识即可解答．
【解答】解：
沿着红色路线走最短．
【分析】本题考查的是两点之间线段最短的知识，解答此题的关键是熟知轴对称的性质．
36．【答案】见试题解答内容
【分析】按照就近输送原则，把有线广播站建在H点或在G点，用线最少．比较两者线路的长度，即可得解．
【解答】解：有线广播站建在H点，沿道路架设电线，
电线至少要架HB，HC，HD，DE，HG，GA，EF；
10+7+8+5+5+8+7＝50（千米）；
有线广播站建在G点，沿道路架设电线，
电线至少要架GA，GE，ED，EF，GH，HC，HB；
8+11+5+7+5+7+10＝53（千米）；
所以，选择第一种方法，电线至少要架50千米．
【分析】此题考查了最短线路问题，按照就近输送原则，比较探讨，得出最佳方案．
37．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“两点之间，直线段最短”解答即可．
【解答】解：
根据上图，他们应该约在P点见面最合适．
【分析】通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的，人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．
38．【答案】见试题解答内容
【分析】要想全程最少，则应该按照下面线路行走：如图，找出最短线路，即P→C→B→A→M→L→H→C→B→L→H→G→D→E→F→G→D→P，然后找出需要重复走的路程，计算即可．
【解答】解：如图，最短线路为：P→C→B→A→M→L→H→C→B→L→H→G→D→E→F→G→D→P，其中红色线部分走一次，绿色线标注的BC、BL、LH、GD需要重复走2次；
所以走的路程即所有街道的路程加上需要重复走的BC、BL、LH、GD的路程，
即（1+2+4+2）×2+3×5+2+3+3+2＝43（公里）．
答：最短线路为：P→C→B→A→M→L→H→C→B→L→H→G→D→E→F→G→D→P，最短路线是43公里．
【分析】解答本题的关键是找出最短路线，再计算出总路程．
39．【答案】见试题解答内容
【分析】从顶点A沿着棱到顶点′C，只能经过3条棱走路线最短，据此解答即可．
【解答】解：如图所示：
走法有：①A﹣B﹣C﹣′C；②A﹣B﹣′B﹣′C；③A﹣D﹣C﹣′C；④A﹣D﹣′D﹣′C；⑤A﹣′A﹣′B﹣′C；⑥A﹣′A﹣′D﹣′C．
共有6种走法．
【分析】本题主要考查了认识立体图形，通过正方体考查了路线问题，注意按顺序依次寻找，不要遗漏和重复．
40．【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意可知：蚂蚁从A点沿着一个长方体框架的棱爬到B点，至少应爬一个长、一个宽、一个高，解答即可．
【解答】解：蚂蚁从A点沿着一个长方体框架的棱爬到B点，至少应爬一个长、一个宽、一个高，共有5条．
答：这只蚂蚁可选择的最短路线一共有5条．
【分析】解答此题应根据长方体的特征，并结合题意，进行分析、解答即可．
41．【答案】见试题解答内容
【分析】如图：分别求出两人有多少种走法，两人速度比为：18：24＝3：4，求出两人可能相遇的地点，根据概率公式解答即可．
【解答】解：如图，单程有35种走法，作图旋转180°即为冬冬的速度，
因为两人的速度之比为3：4，
所以小悦走3格后冬冬走4格，
小悦走3格可能在C、D、E、F，
A→C→B：1×1＝1，
A→D→B：3×4＝12，
A→E→B：3×6＝18，
A→F→B：1×4＝4，
同时，冬冬也是一样的方法数，
所以，P=12+122+182+42352=97245．
【分析】解答本题的关键是根据两人速度比判断两人可能相遇的地点．
42．【答案】见试题解答内容
【分析】根据两点之间，直线段最短，这就是一种极端情况；如图，用“对称”方法找出甲′和乙′，连接甲′和乙′后交北山坡于A，交南山坡于B．据此解答．
【解答】解：两点之间，直线段最短，这就是一种极端情况．如图，用“对称”方法找出甲′和乙′，连接甲′和乙′后交北山坡于A，交南山坡于B；
小明应在A处打草，在B处砍柴．
【分析】明确两点之间，直线段最短，是解答此题的关键．
43．【答案】见试题解答内容
【分析】要求出从A到B的最短路程，要用到“两点之间线段最短”这一知识点．从A到B的最短路程应是（如图箭头所示）：A﹣C﹣D﹣E﹣B＝1+5+6+4＝16，其他线路的路程都大于16．
【解答】解：根据两点之间线段最短，可知从A到B的最短路程应是：A﹣C﹣D﹣E﹣B＝1+5+6+4＝16，其他线路的路程都大于16．
答：从A到B的最短路程是16．
【分析】此题为数学知识的应用，考查知识点两点之间线段最短．
44．【答案】
【分析】过乙村（A），先作出AA′等于河的宽度，且AA′垂直河边，连接甲村和A′点，与河岸的交点是C，作CD垂直河岸，D点是垂足，这就是架桥的地点。
【解答】解：
【分析】通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的，人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题。
45．【答案】见试题解答内容
【分析】作点O关于直线AB的对称点O′，点O关于直线CD的对称点O″，连接O′O″交AB于N，交CD于M，连接OM，ON．则O→N→M→O，即为最短路线．
【解答】解：作点O关于直线AB的对称点O′，点O关于直线CD的对称点O″，连接O′O″交AB于N，交CD于M，连接OM，ON．
则O→N→M→O，即为最短路线．
【分析】本题考查最短问题、轴对称、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题．
46．【答案】见试题解答内容
【分析】小球经过撞击后，反弹的路线与撞击的路线呈对称关系，因此只要画出每次撞击之后的对称路线即可．
【解答】解：
从图上可以看出9次撞击后，球到了M处．
【分析】这题主要考查的是对称知识，两条线与对称轴所成的角相等，那两条直线就对称，根据这个知识点去画图．
47．【答案】
【分析】根据垂直线段的性质：从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。把公路看作一条直线，P点看作一个点，由点向直线画垂直线段即可。
【解答】解：根据分析画图如下：
【分析】本题是考查垂直线段的性质，利用这一性质作最短线路图。
48．【答案】
【分析】先从A点作已知直线的垂线段，再画两条斜线段即可。
【解答】解：
【分析】解答本题关键是明确“垂线段最短”这一知识点。
49．【答案】见试题解答内容
【分析】根据两点之间线段最短的知识即可解答．
【解答】解：
所以这个码头应设在P点处，才能使两村所走的路程和最短．
【分析】本题考查的是两点之间线段最短的知识，解答此题的关键是熟知轴对称的性质．
50．【答案】见试题解答内容
【分析】根据“当点数为奇数个点时，应设在中点上；当点数为偶数时，应设在中间相邻的两点或其两点之间的任何地方，距离之和为最小”的规律，本题有7个村庄，应设在中点A4上．如图：
【解答】解：因为有7个村庄，是奇数点，所以应设在中间点上，即设在A4点上．
【分析】此题属于最短路线问题，考查学生“当点数为奇数个点时，应设在中点上；当点数为偶数时，应设在中间相邻的两点或其两点之间的任何地方，距离之和为最小”的规律的掌握情况．
51．【答案】见试题解答内容
【分析】因为两点之间，线段最短．所以最近的是A→C；很明显A→D→C 要比A→B→C与A→E→C近一些；最远的是A→B→C与A→E→C．
【解答】解：最近的是A→C；最远的是A→B→C与A→E→C．
【分析】此题考查了“两点之间，线段最短”这一知识点，并利用这一知识解决问题的能力．
52．【答案】见试题解答内容
【分析】两个以上产地分布在一条没有形成圈的交通图上，先计算各地的产量总和，然后看各地的产量，如果产量小于和的一半，把它运往前一站，结合图解决问题．
【解答】解：因为A+B+C+D+E＝4+7+10+8+5＝34，又A+B＝11＜34÷2，把它们运往前一站（即C站）；
又D+E＝13＜34÷2，所以也把它们运往前一站（即C站）．
答：收购站应设在交通图中的C站，可使运力最省．
【分析】此题属于最优化问题，经过考虑后作出最佳选择．
53．【答案】见试题解答内容
【分析】根据两点之间线段最短的知识即可解答．
【解答】解：
【分析】本题考查的是两点之间线段最短的知识．
54．【答案】见试题解答内容
【分析】按照就近输送原则，不够的再就近调配，如图所示：带箭头的线段，箭头指运送方向，上面的数字指运输粮食吨数．粮食吨数×路程千米数×运输1吨粮食每千米运费0.3元，即可得解．
【解答】解：20×2×0.3+30×4×0.3+30×1×0.3+40×3×0.3+10×2×0.3，
＝12+36+9+36+6，
＝99（元）；
答：运费为99元．
【分析】此题考查了最短线路问题．按照就近输送原则，不够的再就近调配，才能使运费最省．流向图可以清晰的表明运输的方向和数量．
55．【答案】见试题解答内容
【分析】根据：在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定．作出点A关于直线MN的对称点A′，根据轴对称确定最短路线问题，连接A′B与MN的交点即为饮马处C．
【解答】解：饮马处的C点如图所示．
【分析】本题考查了轴对称确定最短路线问题，此类问题理论依据是线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等和三角形的任意两边之和大于第三边．
56．【答案】见试题解答内容
【分析】过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′即可得出P点位置．
【解答】解：作图如下：
【分析】此题主要考查了轴对称最短路线问题，找出A点关于L的对称点是解答此题的关键．
57．【答案】见试题解答内容
【分析】根据两点之间线段最短的知识即可解答．
【解答】解：
所以海伦沿着红色线走即可．