北师大版 (2019)选择性必修 第一册4. 1 直线的方向向量与平面的法向量课堂检测

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知识点一直线的方向向量与直线的向量表示
1．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，分别以长方体的两个顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有________个．
2．已知A(1，2，－1)，B(2，0，1)，求直线AB的一个方向向量．
知识点二平面的法向量
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ACC1A1的法向量是( )
A． eq \(BD,\s\up6(→)) B． eq \(BC1,\s\up6(→))C． eq \(BD1,\s\up6(→)) D． eq \(A1B ,\s\up6(→))
4．下列有关平面法向量的说法中，正确的是________.(填写相应序号)
①平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量；②一个平面的所有法向量互相平行；③如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直；④如果a，b与平面α平行，且n⊥a，n⊥b，那么n就是平面α的一个法向量．
5．如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝ eq \r(2)，点D是A1B1的中点．求证： eq \(C1D,\s\up6(→))是平面AA1B1B的一个法向量．
知识点三平面的法向量的应用
6.如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD为正方形，VA⊥平面ABCD，以这五个顶点为起点和终点的向量中，
(1)求直线AB的方向向量；
(2)求证：BD⊥平面VAC，并确定平面VAC的法向量．
关键能力综合练
一、选择题
1．已知向量a＝(2，4，5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则( )
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝ eq \f(15,2)
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝ eq \f(15,2)
2．若 eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，2，3)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(－1，3，4)，则以下向量中是平面OAB的一个法向量的是( )
A．(1，7，5)
B．(1，－7，5)
C．(－1，－7，5)
D．(1，－7，－5)
3．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，以三棱柱的顶点为起点和终点的向量中，平面BB1C1C的法向量有( )
A．0个 B．2个
C．3个 D．4个
4．如图，在正四面体ABCD中，E为CD的中点，F为BC的中点，则下面不是平面AEB的法向量的为( )
A． eq \(CE,\s\up6(→)) B． eq \(DE,\s\up6(→))
C． eq \(FE,\s\up6(→)) D． eq \(CD,\s\up6(→))
5．在空间直角坐标系中，已知点P1(0， eq \r(2)，3)，P2(0，1，－1)，点P在x轴上，若PP1＝2PP2，则点P的坐标为( )
A．(1，0，0)或(－1，0，0)
B．( eq \r(7)，0，0)或(－ eq \r(7)，0，0)
C．(2，0，0)或(－2，0，0)
D．( eq \r(2)，0，0)或(－ eq \r(2)，0，0)
6．[易错题]已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－1，2)，则下列各点在平面α内的是( )
A．(－4，4，0) B．(2，0，1)
C．(2，3，3) D．(3，－3，4)
二、填空题
7．已知直线l过点A(1，2，3)，B(2，5，8)，且a＝(－2，m，n)是直线l的方向向量，则m＋n＝________.
8．已知 eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，2，1)， eq \(AC,\s\up6(→))＝(4，5，3)，写出平面ABC的一个单位法向量为________.
9．[探究题]已知 eq \(AB,\s\up6(→))＝(1，5，－2)， eq \(BC,\s\up6(→))＝(3，1，z)，若 eq \(AB,\s\up6(→))⊥ eq \(BC,\s\up6(→))， eq \(BP,\s\up6(→))＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z的值分别为________.
三、解答题
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PD＝AD，E，F，M分别是PC，PB，AD的中点．证明：
(1) eq \(FM,\s\up6(→))是直线DE的一个方向向量；
(2) eq \(FM,\s\up6(→))是平面PBC的一个法向量．
学科素养升级练
1．[多选题]在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，下列说不正确的是( )
A． eq \(AA1,\s\up6(→))是平面ABCD的法向量
B． eq \(AD1,\s\up6(→))＝ eq \(C1B ,\s\up6(→))
C．〈 eq \(AB,\s\up6(→))， eq \(C1D1,\s\up6(→))〉＝π
D． eq \(AD,\s\up6(→))与 eq \(B1C1,\s\up6(→))不是共面向量
2．已知P是平面ABCD外一点，四边形ABCD是平行四边形， eq \(AB,\s\up6(→))＝(2，－1，－4)， eq \(AD,\s\up6(→))＝(4，2，0)， eq \(AP,\s\up6(→))＝(－1，2，－1)，则直线PA与平面ABCD的位置关系是________.
3．[学科素养——逻辑推理]已知正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC＝2AD＝4，∠ABC＝60°，BA⊥AC.在线段BE上是否存在一点P，使得平面PAC⊥平面BCEF？若存在，求出 eq \f(BP,PE)的值；若不存在，请说明理由．
4．1 直线的方向向量与平面的法向量
必备知识基础练
1．解析：直线AB的方向向量有：，，，，，，，，共8个．
答案：8
2．解析：即直线AB的一个方向向量，＝(2，0，1)－(1，2，－1)＝(1，－2，2).
3．解析：∵BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，∴BD⊥平面ACC1A1，∴为平面ACC1A1的法向量．
答案：A
4．解析：由平面法向量的定义知①②③正确，对于④，当a与b共线时，n就不一定是平面α的法向量，故④错误．
答案：①②③
5．证明：∵ABC－A1B1C1是直三棱柱，
∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°.
又点D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.
∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C1，
∴AA1⊥C1D.
又A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B，
∴是平面AA1B1B的一个法向量．
6．解析：(1)由已知得，在以四棱锥V－ABCD的五个顶点为起点和终点的向量中，直线AB的方向向量有，，，，共4个．
(2)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD.
又∵VA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥VA.
又∵AC∩VA＝A，∴BD⊥平面VAC.
∴平面VAC的法向量有，，共2个．
关键能力综合练
1．解析：由题意可知a∥b，∴eq \f(2,3)＝eq \f(4,x)＝eq \f(5,y)，∴x＝6，y＝eq \f(15,2).
答案：D
2．解析：因为(－1，－7，5)·(1，2，3)＝－1－14＋15＝0，(－1，－7，5)·(－1，3，4)＝1－21＋20＝0，所以向量(－1，－7，5)是平面OAB的一个法向量，易验证其余三个均不是平面OAB的法向量．
答案：C
3．解析：由于三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，且∠ACB＝90°，∴A1C1⊥平面BB1C1C，AC⊥平面BB1C1C，∴平面BB1C1C的法向量有：，，，，共4个．
答案：D
4．解析：∵正四面体ABCD的各面均为正三角形，AE⊥CD，BE⊥CD，又AE∩BE＝E，
∴直线CD⊥平面ABE.
∴直线CD的方向向量均为平面ABE的法向量．四个选项中只有不是平面ABE的法向量．故选C.
答案：C
5．解析：设P(a，0，0)，∵点P1(0，eq \r(2)，3)，P2(0，1，－1)，PP1＝2PP2，
∴eq \r(a2＋2＋9)＝2eq \r(a2＋1＋1)，
解得a＝1或a＝－1，
∴点P的坐标为(1，0，0)或(－1，0，0).
答案：A
6．解析：若点P在平面α内，则n·＝0，设P(x，y，z)，则2(x－1)－(y＋1)＋2(z－2)＝0，经过验证只有点(2，3，3)满足，故选C.
答案：C
7．解析：∵＝(1，3，5)，a∥，∴eq \f(－2,1)＝eq \f(m,3)＝eq \f(n,5)，∴m＝－6，n＝－10，∴m＋n＝－16.
答案：－16
8．解析：设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)，
则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋2y＋z＝0，,4x＋5y＋3z＝0，))取x＝1，则y＝－2，z＝2.
所以n＝(1，－2，2)，由于|n|＝3，
所以平面ABC的一个单位法向量可以是(－eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，－eq \f(2,3)).
答案：(－eq \f(1,3)，eq \f(2,3)，－eq \f(2,3))(答案不唯一)
9．解析：∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，解得z＝4，∴＝(3，1，4)，又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－1＋5y＋6＝0，,3（x－1）＋y－12＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(40,7)，,y＝－\f(15,7)．))
答案：eq \f(40,7)，－eq \f(15,7)，4
10．解析：(1)∵E，F分别是PC，PB的中点，∴EF∥BC，EF＝eq \f(1,2)BC.又BC∥AD，BC＝AD，∴EF∥AD，EF＝eq \f(1,2)AD，又M是AD中点，∴EF∥DM，EF＝DM，∴四边形DEFM是平行四边形，∴FM∥DE，∴是直线DE的一个方向向量．
(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，又DE⊂平面PCD，∴BC⊥DE.∵PD＝CD，E是PC的中点，∴DE⊥PC，又PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PBC，∴是平面PBC的一个法向量．由(1)知＝，∴是平面PBC的一个法向量．
学科素养升级练
1．解析：∵AB∥C1D1，且向量与向量方向相反，
∴〈，〉＝π，易得A，B，D均不正确．故选ABD.
答案：ABD
2．解析：因为·＝(－1，2，－1)·(2，－1，－4)＝－2－2＋4＝0，·＝(－1，2，－1)·(4，2，0)＝－4＋4＋0＝0，所以⊥，⊥，即AP⊥AB，AP⊥AD，又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，故PA⊥平面ABCD.
答案：垂直
3．解析：
存在．如图所示，以A为坐标原点，AB，AC，AF所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2eq \r(3)，0)，D(－1，eq \r(3)，0)，F(0，0，2)，E(－1，eq \r(3)，2).
若P为线段BE上的一点，且＝λ(λ＞0)(点P与点B重合时不满足平面PAC⊥平面BCEF)，则＝λ＝λ(－3，eq \r(3)，2)＝(－3λ，eq \r(3)λ，2λ)，∴P(－3λ＋2，eq \r(3)λ，2λ).
设平面PAC和平面BCEF的法向量分别为m＝(x，y，z)，n＝(a，b，c)，
易知＝(－3λ＋2，eq \r(3)λ，2λ)，＝(0，2eq \r(3)，0)，
则令x＝1，得m＝(1，0，eq \f(3λ－2,2λ))为平面PAC的一个法向量，
同理可求得n＝(1，eq \f(\r(3),3)，1)为平面BCEF的一个法向量．
当m·n＝1＋0＋eq \f(3λ－2,2λ)＝0，即λ＝eq \f(2,5)时，平面PAC⊥平面BCEF，
∴存在点P使得平面PAC⊥平面BCEF，此时eq \f(BP,PE)＝eq \f(2,3).