高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.3 倍角公式精练

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.3 倍角公式精练，共6页。

A． eq \f(1,2) B． eq \f(\r(3),2)
C． eq \f(1,4) D． eq \f(\r(3),4)
2．sin4 eq \f(π,12)－cs4 eq \f(π,12)的值等于( )
A．－ eq \f(1,2) B．－ eq \f(\r(3),2)
C． eq \f(1,2)D． eq \f(\r(3),2)
3．化简 eq \f(tan14°,1－tan214°)·cs28°的结果为( )
A． eq \f(1,2)sin 28° B．sin 28°
C．2sin 28° D．sin 14°cs 28°
4．函数y＝cs2(x＋ eq \f(π,4))－sin2(x＋ eq \f(π,4))的最小正周期为( )
A． eq \f(π,4) B． eq \f(π,2)
C．π D．2π
5．若sinθ＝ eq \f(\r(2),3)，则sin ( eq \f(π,2)－2θ)＝( )
A．－ eq \f(1,9) B． eq \f(1,9)
C．－ eq \f(5,9) D． eq \f(5,9)
6．已知函数f(x)＝sin2x－cs2x－2 eq \r(3)sinx cs x(x∈R).
(1)求f( eq \f(2π,3))的值；
(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．
7．(多选)若cs eq \f(α,2)＝ eq \f(1,3)，α∈(0，π)，则下列结论正确的是( )
A．cs α＝ eq \f(7,9)
B．sin α＝ eq \f(4\r(2),9)
C．cs (2π－ eq \f(α,2))＝－ eq \f(1,3)
D．cs ( eq \f(π,2)＋ eq \f(α,2))＝－ eq \f(2\r(2),3)
8．(多选)下列各式中，值为 eq \f(\r(3),2)的是( )
A．2sin 15°cs 15° B．2sin215°－1
C． eq \f(3tan15°,1－tan215°)D． eq \f(1＋tan15°,2（1－tan 15°）)
9．(多选)若函数f(x)＝cs 2x－4a cs x－2a的最小值为－ eq \f(5,2)，则a的值可为( )
A．－1 B．－ eq \f(7,4) C． eq \f(1,2) D． eq \f(1,3)
10．已知α∈(0， eq \f(π,2))，2sin 2α＝cs 2α＋1，则sin α＝( )
A． eq \f(1,5) B． eq \f(\r(5),5)
C． eq \f(\r(3),3) D． eq \f(2\r(5),5)
11. eq \r(1＋cs 100°)－ eq \r(1－cs 100°)＝( )
A．－2cs 5° B．2cs 5°
C．－2sin 5° D．2sin 5°
12．(多选)已知函数f(x)＝(1＋cs 2x)sin2x，x∈R，则下列关于f(x)的说法正确的是( )
A．f(x)是最小正周期为π的奇函数
B．f(x)的最小值为－ eq \f(1,2)，最大值为 eq \f(1,2)
C．f(x)的最小值为0，最大值为 eq \f(1,2)
D．f(x)是最小正周期为 eq \f(π,2)的偶函数
13．已知 eq \f(cs2x,\r(2)cs （x＋\f(π,4)）)＝ eq \f(1,5)，则sin 2x＝( )
A．－ eq \f(24,25) B．－ eq \f(4,5)
C． eq \f(24,25)D． eq \f(2\r(5),5)
14．设函数f(x)＝(sin x＋cs x)2＋2 eq \r(3)sin2x－ eq \r(3).
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈( eq \f(π,4)， eq \f(5π,6))时，求函数f(x)的值域．
15.(数学运算命题)已知向量m＝(sinx，－1)，向量n＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)cs x，－\f(1,2)))，函数f(x)＝(m＋n)·m.
(1)求f(x)的最小正周期T；
(2)已知f(A)恰是f(x)在 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最大值，求锐角A.
8．2.3 倍角公式
必备知识基础练
1．答案：C
解析：sin15°sin75°＝sin15°cs15°＝eq \f(1,2)sin30°＝eq \f(1,4)，故选C.
2．答案：B
解析：sin4eq \f(π,12)－cs4eq \f(π,12)＝(sin2eq \f(π,12)＋cs2eq \f(π,12))·(sin2eq \f(π,12)－cs2eq \f(π,12))＝－(cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12))＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，故选B.
3．答案：A
解析：原式＝eq \f(1,2)tan28°·cs28°＝eq \f(1,2)sin28°，故选A.
4．答案：C
解析：函数y＝cs2(x＋eq \f(π,4))－sin2(x＋eq \f(π,4))＝cs(2x＋eq \f(π,2))＝－sin2x，所以该函数的最小正周期是T＝eq \f(2π,2)＝π.
5．答案：D
解析：根据诱导公式得：sin (eq \f(π,2)－2θ)＝cs2θ，由二倍角公式可得，cs2θ＝1－2sin2θ＝1－2×eq \f(2,9)＝eq \f(5,9).故选D
6．解析：由cs2x＝cs2x－sin2x，sin2x＝2sinxcsx，
得f(x)＝－cs2x－eq \r(3)sin2x＝－2sin (2x＋eq \f(π,6))，
(1)f(eq \f(2π,3))＝－2sin (2×eq \f(2π,3)＋eq \f(π,6))＝－2sineq \f(3π,2)＝2.
(2)f(x)的最小正周期是T＝eq \f(2π,2)＝π.
令eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ，k∈Z，
解得eq \f(π,6)＋kπ≤x≤eq \f(2π,3)＋kπ，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋kπ，\f(2π,3)＋kπ))，k∈Z.
关键能力综合练
7．答案：BD
解析：由α∈(0，π)⇒eq \f(α,2)∈(0，eq \f(π,2))，所以sineq \f(α,2)＝eq \r(1－cs2\f(α,2))＝eq \r(1－\f(1,9))＝eq \f(2\r(2),3).
因为cseq \f(α,2)＝eq \f(1,3)，所以csα＝2cs2eq \f(α,2)－1＝2×eq \f(1,9)－1＝－eq \f(7,9)，A不正确；因为cseq \f(α,2)＝eq \f(1,3)，sineq \f(α,2)＝eq \f(2\r(2),3)，所以sinα＝2sineq \f(α,2)cseq \f(α,2)＝2×eq \f(1,3)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(4\r(2),9)，B正确；因为cs (2π－eq \f(α,2))＝cseq \f(α,2)＝eq \f(1,3)，C不正确；因为cs(eq \f(π,2)＋eq \f(α,2))＝－sineq \f(α,2)＝－eq \f(2\r(2),3)，D正确，故选BD.
8．答案：CD
解析：2sin15°cs15°＝sin30°＝eq \f(1,2)，A不合题设；2sin215°－1＝－(1－2sin215°)＝－cs30°＝－eq \f(\r(3),2)，B不合题设；eq \f(3tan15°,1－tan215°)＝eq \f(3,2)tan30°＝eq \f(\r(3),2)，C符合题设；eq \f(1＋tan15°,2（1－tan15°）)＝eq \f(cs15°＋sin15°,2（cs15°－sin15°）)＝eq \f(cs215°－sin215°,2（cs15°－sin15°）2)＝eq \f(cs30°,2（1－sin30°）)＝eq \f(\r(3),2)，D符合题设．故选CD.
9．答案：BC
解析：由题设，f(x)＝2cs2x－4acsx－2a－1＝2(csx－a)2－2a2－2a－1，
令t＝csx∈[－1，1]，则f(x)＝g(t)＝2(t－a)2－2a2－2a－1，其开口向上且对称轴为t＝a，
当a<－1时，f(x)min＝g(－1)＝2a＋1＝－eq \f(5,2)，则a＝－eq \f(7,4)；
当－1≤a≤1时，f(x)min＝g(a)＝－2a2－2a－1＝－eq \f(5,2)，则a＝eq \f(1,2)或a＝－eq \f(3,2)(舍)；
当a>1时，f(x)min＝g(1)＝1－6a＝－eq \f(5,2)，则a＝eq \f(7,12)不合前提；
综上，a＝－eq \f(7,4)或a＝eq \f(1,2).故选BC
10．答案：B
解析：∵2sin2α＝cs2α＋1，∴4sinαcsα＝2cs2α.
∵α∈(0，eq \f(π,2))，∴csα≠0，∴2sinα＝csα，
又sin2α＋cs2α＝1，∴sinα＝eq \f(\r(5),5)，故选B.
11．答案：C
解析：原式＝eq \r(2cs250°)－eq \r(2sin250°)＝eq \r(2)(cs50°－sin50°)＝2×(eq \f(\r(2),2)cs50°－eq \f(\r(2),2)sin50°)＝2sin (45°－50°)＝－2sin5°.
12．答案：CD
解析：因为f(x)＝2cs2x·sin2x＝eq \f(1,2)sin22x＝eq \f(1－cs4x,4)，且定义域为R，所以f(x)的最小正周期为eq \f(π,2)，且为偶函数，最小值为0，最大值为eq \f(1,2)，故选CD.
13．答案：A
解析：因为eq \f(cs2x,\r(2)cs（x＋\f(π,4)）)＝eq \f(1,5)，所以eq \f(cs2x－sin2x,csx－sinx)＝eq \f(1,5)，所以csx＋sinx＝eq \f(1,5)，所以1＋sin2x＝eq \f(1,25)，所以sin2x＝－eq \f(24,25)，故选A.
14．解析：(1)f(x)＝1＋sin2x＋2eq \r(3)×eq \f(1－cs2x,2)－eq \r(3)＝1＋sin2x－eq \r(3)cs2x＝2sin (2x－eq \f(π,3))＋1，
由2kπ－eq \f(π,2)≤2x－eq \f(π,3)≤2kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
得－eq \f(π,12)＋kπ≤x≤eq \f(5π,12)＋kπ，k∈Z，所以函数f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5π,12)))，k∈Z.
(2)由eq \f(π,4)则－eq \f(\r(3),2)即函数f(x)的值域为(1－eq \r(3)，3].
核心素养升级练
15．解析：(1)f(x)＝(m＋n)·m＝sin2x＋eq \r(3)sinxcsx＋eq \f(3,2)＝eq \f(1－cs2x,2)＋eq \f(\r(3),2)sin2x＋eq \f(3,2)＝eq \f(\r(3),2)sin2x－eq \f(1,2)cs2x＋2＝sin (2x－eq \f(π,6))＋2，
所以函数f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.
(2)由(1)知f(x)＝sin (2x－eq \f(π,6))＋2.当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，－eq \f(π,6)≤2x－eq \f(π,6)≤eq \f(5π,6).由正弦函数的图象可知，当2x－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)时，f(x)取得最大值3，即f(A)＝3，此时2A－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，所以A＝eq \f(π,3).
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