2023版新教材高中数学第八章向量的数量积与三角恒等变换素养测评新人教B版必修第三册

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第八章　素养测评时间：120分钟　　满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知sin α＝－ eq \f(1,3)，则cos 2α的值为(　　)A．－ eq \f(4\r(2),9) B． eq \f(4\r(2),9) C． eq \f(7,9) D．－ eq \f(7,9)2．已知向量a＝(1，0)，b＝(3，2)，则(a＋b)·(a－b)＝(　　)A．3 B．5 C．－6 D．－123．已知向量a＝(2，1)，b＝(x，3)，若a·b＝|b|，则x的值为(　　)A．－2 B．－4或0 C．－2或0 D．04．函数f(x)＝4sin (3x＋ eq \f(π,3))＋cos (3x－ eq \f(π,6))的最大值为(　　)A．2 B．3 C．4 D．55．已知α，β都是锐角，sin α＝ eq \f(3,5)，cos (α＋β)＝－ eq \f(12,13)，则sin β＝(　　)A．1 B． eq \f(\r(15)＋1,4) C．－ eq \f(16,65) D． eq \f(56,65)6．平面向量a＝(1，0)，b＝(－1， eq \r(3))，则向量b在向量a方向上的投影的数量为(　　)A．－1 B． eq \r(3) C． eq \f(\r(3),2) D．27．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，D为AB的中点， eq \o(BE,\s\up6(→))＝2 eq \o(EC,\s\up6(→))，则 eq \o(CD,\s\up6(→))· eq \o(AE,\s\up6(→))＝(　　)A．0 B．2 C．－2 D．－48．已知函数f(x)＝sin ωx(sin ωx＋ eq \r(3)cos ωx)(ω>0)，若函数f(x)的图象与直线y＝1在(0，π)上有3个不同的交点，则ω的取值范围是(　　)A．( eq \f(7,6)， eq \f(3,2)] B．( eq \f(7,6)， eq \f(4,3)] C．( eq \f(6,5)， eq \f(3,2)] D．( eq \f(6,5)， eq \f(4,3)]二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．9．已知向量m＋n＝(3，1)，m－n＝(1，－1)，则(　　)A．(m－n)∥n B．(m－n)⊥n C．|m|＝ eq \r(2)|n| D．〈m，n〉＝45°10．下列选项中，值为 eq \f(1,2)的是(　　)A．cos  eq \f(7π,6) B．cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°C．2sin 15°cos 15° D． eq \f(tan 30°＋tan 15°,1－tan 30°tan 15°)11．已知x∈( eq \f(π,2)，π)，3cos x＝8tan x，则(　　)A．sin x＝ eq \f(1,3) B．tan 2x＝－ eq \f(4\r(2),7)C．cos 2x＝ eq \f(1,3) D．sin (x＋ eq \f(π,4))cos (x＋ eq \f(3,4)π)＝ eq \f(4\r(2)－9,18)12．已知向量a＝(2sin x，－1)，b＝(sin x＋ eq \r(3)cos x，1)，且函数f(x)＝a·b，则下列说法不正确的是(　　)A．x1，x2是方程f(x)＝1的两根，则x1－x2是π的整数倍B．当x＝ eq \f(π,6)时，f(x)取得最大值C．[－ eq \f(π,6)， eq \f(π,3)]是函数f(x)的一个单调递增区间D．将函数f(x)的图象向左平移 eq \f(π,3)个单位长度得到一个偶函数图象三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．计算：cos215°－sin215°＝________．14．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，1)，若a与a＋λb垂直，则λ的值为________．15．已知tan(α＋β)＝ eq \f(2,5)，tan (β－ eq \f(π,4))＝ eq \f(3,4)，则tan (α＋ eq \f(π,4))的值为________．16．已知函数f(x)＝A cos (ωx－φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，设函数g(x)＝f(x＋ eq \f(π,6))＋f(2x＋ eq \f(π,6))，则g(x)的值域为________．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.(10分)如图，点P是角α的终边与单位圆的交点，点Q是角－β的终边与单位圆的交点，其中α，β∈(0， eq \f(π,2)).(1)求PQ；(2)求证：cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.18．(12分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求|a＋b|.19．(12分)已知0<α< eq \f(π,4)，f(α)＝ eq \f(2cos （\f(π,2)＋α）·\r(1－sin 2α),tan （α＋π）·\r(2＋2cos 2α)).(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝－ eq \f(1,5)，求tan 2α的值．20．(12分)已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)(|φ|< eq \f(π,2)，ω>0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴之间的距离为π.(1)求f( eq \f(π,4))的值；(2)求函数y＝ eq \r(3)f(x)＋f(x＋ eq \f(π,2))的最大值及对应的x的值．21．(12分)如图，OPQ是半径为2，圆心角为 eq \f(π,3)的扇形，C是扇形弧上的一动点，记∠COP＝θ，四边形OPCQ的面积为S.(1)求S与θ的函数关系；(2)试探求当θ取何值时，S最大，并求出这个最大值．22．(12分)已知向量a＝(cos x＋sin x， eq \r(3)cos x)，b＝(cos x－sin x，－2sin x)，记函数f(x)＝a·b.(1)求函数f(x)在[0， eq \f(π,2)]上的取值范围；(2)若g(x)＝f(x＋t)为偶函数，求|t|的最小值．第八章　素养测评1．答案：C解析：cos2α＝1－2sin2α＝1－2×(－eq \f(1,3))2＝eq \f(7,9).故选C.2．答案：D解析：a＋b＝(4，2)，a－b＝(－2，－2)，所以(a＋b)·(a－b)＝(4，2)·(－2，－2)＝－8－4＝－12.故选D.3．答案：D解析：向量a＝(2，1)，b＝(x，3)，且有a·b＝|b|，则2x＋3＝eq \r(x2＋32)，两边平方解得x＝0或x＝－4，而当x＝－4时，等式2x＋3＝eq \r(x2＋32)无意义，舍去，当x＝0时，等式成立，所以x的值为0.故选D.4．答案：D解析：f(x)＝4sin(3x＋eq \f(π,3))＋cos (3x－eq \f(π,6))＝4(eq \f(1,2)sin3x＋eq \f(\r(3),2)cos3x)＋eq \f(\r(3),2)cos3x＋eq \f(1,2)sin3x＝2sin3x＋2eq \r(3)cos3x＋eq \f(\r(3),2)cos3x＋eq \f(1,2)sin3x＝eq \f(5,2)sin3x＋eq \f(5\r(3),2)cos3x＝5sin (3x＋eq \f(π,3))，∴f(x)最大值为5.故选D.5．答案：D解析：由于0<α<eq \f(π,2)，0<β<eq \f(π,2)，所以0<α＋β<π，所以cosα＝eq \r(1－sin2α)＝eq \f(4,5)，sin(α＋β)＝eq \r(1－cos2（α＋β）)＝eq \f(5,13)，所以sinβ＝sin [(α＋β)－α]＝sin (α＋β)cosα－cos (α＋β)sinα＝eq \f(5,13)×eq \f(4,5)＋eq \f(12,13)×eq \f(3,5)＝eq \f(56,65).故选D.6．答案：A解析：∵a＝(1，0)，b＝(－1，eq \r(3))，∴a·b＝－1，|a|＝1，∴b在a方向上的投影的数量为|b|cos〈a，b〉＝eq \f(a·b,|a|)＝－1，故选A.7．答案：A解析：在△ABC中，D为AB的中点，＝2，取，为基底，所以＝＋＝＋eq \f(2,3)＝＋eq \f(2,3)(－)＝eq \f(1,3)＋eq \f(2,3)，＝－＝eq \f(1,2)－.所以·＝(eq \f(1,2)－)·(eq \f(1,3)＋eq \f(2,3))＝eq \f(1,6)2－eq \f(2,3)2.因为AB＝4，AC＝2，所以eq \f(1,6)2－eq \f(2,3)2＝eq \f(1,6)×16－eq \f(2,3)×4＝0.即·＝0.故选A.8．答案：A解析：由f(x)＝sinωx(sinωx＋eq \r(3)cosωx)＝eq \f(1－cos2ωx,2)＋eq \f(\r(3),2)sin2ωx＝sin (2ωx－eq \f(π,6))＋eq \f(1,2)，f(x)与直线y＝1在(0，π)上有3个不同交点，即sin (2ωx－eq \f(π,6))＝eq \f(1,2)在(0，π)上有3个实根，由x∈(0，π)得：2ωx－eq \f(π,6)∈(－eq \f(π,6)，2ωπ－eq \f(π,6))，所以eq \f(13π,6)<2ωπ－eq \f(π,6)≤eq \f(17π,6)，解得eq \f(7,6)<ω≤eq \f(3,2).故选A.9．答案：BCD解析：由m＋n＝(3，1)，m－n＝(1，－1)，得m＝(2，0)，n＝(1，1)，则|m|＝2，|n|＝eq \r(2)，m·n＝2，若(m－n)∥n，则1×1＝(－1)×1，不符合题意，故A错误；若(m－n)⊥n，则1×1＋(－1)×1＝0，符合题意，故B正确；由|m|＝2，|n|＝eq \r(2)得|m|＝eq \r(2)|n|，故C正确；cos〈m，n〉＝eq \f(m·n,|m||n|)＝eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(\r(2),2)，由〈m，n〉∈[0，π]知，〈m，n〉＝45°，故D正确．故选BCD.10．答案：BC解析：对于A选项，coseq \f(7π,6)＝cos (π＋eq \f(π,6))＝－coseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2)，故错误；对于B选项，cos18°cos42°－sin18°sin42°＝cos (42°＋18°)＝cos60°＝eq \f(1,2)，故正确；对于C选项，2sin15°cos15°＝sin30°＝eq \f(1,2)，故正确；对于D选项，eq \f(tan30°＋tan15°,1－tan30°tan15°)＝tan (30°＋15°)＝tan45°＝1，故错误．故选BC.11．答案：ABD解析：∵3cosx＝8tanx，∴3cos2x＝8sinx，∴3sin2x＋8sinx－3＝0，解得sinx＝eq \f(1,3)或sinx＝－3(舍)，故选项A正确；∵x∈(eq \f(π,2)，π)，∴cosx＝－eq \f(2\r(2),3)，tanx＝eq \f(sinx,cosx)＝eq \f(\f(1,3),－\f(2\r(2),3))＝－eq \f(\r(2),4)，tan2x＝eq \f(2tanx,1－tan2x)＝eq \f(2×（－\f(\r(2),4)）,1－（－\f(\r(2),4)）2)＝eq \f(－4\r(2),7)，故选项B正确；cos2x＝2cos2x－1＝2×(－eq \f(2\r(2),3))2－1＝eq \f(7,9)，故选项C错误；sin(x＋eq \f(π,4))cos (x＋eq \f(3,4)π)＝(eq \f(\r(2),2)sinx＋eq \f(\r(2),2)cosx)·(－eq \f(\r(2),2)cosx－eq \f(\r(2),2)sinx)＝－eq \f(1,2)(1＋2sinxcosx)＝eq \f(4\r(2)－9,18)，故选项D正确．故选ABD.12．答案：AB解析：根据题意，f(x)＝2sinx(sinx＋eq \r(3)cosx)－1＝2sin2x＋2eq \r(3)sinxcosx－1＝eq \r(3)sin2x－cos2x＝2sin (2x－eq \f(π,6)).对A：若f(x)＝1，故可得sin (2x－eq \f(π,6))＝eq \f(1,2)，解得2x－eq \f(π,6)＝2kπ＋eq \f(π,6)或2x－eq \f(π,6)＝2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，即x＝kπ＋eq \f(π,6)或x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，则当k＝0时，不妨取x1＝eq \f(π,2)，x2＝eq \f(π,6)，则x1－x2＝eq \f(π,3)不是π的整数倍，故错误；对B：因为f(eq \f(π,6))＝2sineq \f(π,6)＝1，而f(x)的最大值为2，故错误；对C：当x∈[－eq \f(π,6)，eq \f(π,3)]时，2x－eq \f(π,6)∈[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]，又y＝2sinx在[－eq \f(π,2)，eq \f(π,2)]单调递增，故f(x)在[－eq \f(π,6)，eq \f(π,3)]单调递增，故正确；对D：将函数f(x)的图象向左平移eq \f(π,3)个单位，故可得y＝2sin (2x＋eq \f(π,2))＝2cos2x，其为偶函数，故正确．故选AB.13．答案：eq \f(\r(3),2)解析：cos215°－sin215°＝cos30°＝eq \f(\r(3),2).14．答案：－eq \f(5,3)解析：由题意得，a＋λb＝(1＋λ，2＋λ)，∵a与a＋λb垂直，∴a·(a＋λb)＝1＋λ＋2(2＋λ)＝0，解得λ＝－eq \f(5,3).15．答案：－eq \f(7,26)解析：tan (α＋eq \f(π,4))＝tan [(α＋β)－(β－eq \f(π,4))]＝eq \f(\f(2,5)－\f(3,4),1＋\f(2,5)×\f(3,4))＝－eq \f(7,26).16．答案：[－eq \f(9,4)，4]解析：观察函数f(x)图象知，令函数f(x)周期为T，则eq \f(T,2)＝eq \f(2π,3)－eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即T＝π，ω＝eq \f(2π,T)＝2，而当x＝eq \f(π,6)时，f(x)＝Acos (2x－φ)取得最大值，则2×eq \f(π,6)－φ＝2kπ，k∈Z，又0<φ<π，则有k＝0，φ＝eq \f(π,3)，又f(0)＝Acos(－φ)＝Acos (－eq \f(π,3))＝eq \f(1,2)A＝1，解得A＝2，因此，f(x)＝2cos (2x－eq \f(π,3))，则g(x)＝2cos [2(x＋eq \f(π,6))－eq \f(π,3)]＋2cos [2(2x＋eq \f(π,6))－eq \f(π,3)]＝2cos2x＋2cos4x＝4cos22x＋2cos2x－2＝4(cos2x＋eq \f(1,4))2－eq \f(9,4)，因－1≤cos2x≤1，则当cos2x＝－eq \f(1,4)时，g(x)min＝－eq \f(9,4)，当cos2x＝1时，g(x)max＝4，所以g(x)的值域为[－eq \f(9,4)，4].17．解析：(1)因为点P是角α的终边与单位圆的交点，点Q是角－β的终边与单位圆的交点，所以P(cosα，sinα)，Q(cos(－β)，sin (－β))，所以Q(cosβ，－sinβ)，所以PQ＝eq \r(（cosα－cosβ）2＋（sinα＋sinβ）2)＝eq \r(2－2cosαcosβ＋2sinαsinβ)＝eq \r(2－2cos（α＋β）).(2)因为＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，－sinβ)，所以·＝cosαcosβ－sinαsinβ.又因为，的夹角为α＋β，所以·＝||·||cos (α＋β)＝cos (α＋β)，所以cos (α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.18．解析：(1)因为(2a－3b)·(2a＋b)＝61，所以4a2－4a·b－3b2＝61.因为|a|＝4，|b|＝3，所以4×42－4×4×3cosθ－3×32＝61，解得cosθ＝－eq \f(1,2).又θ∈[0，π]，所以θ＝eq \f(2π,3).(2)由题意|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×4×3coseq \f(2π,3)＋9＝13，所以|a＋b|＝eq \r(13).19．解析：(1)f(α)＝eq \f(－2sinα·\r(sin2α－2sinα·cosα＋cos2α),tanα·\r(2·2cos2α))＝－eq \f(sinα·|sinα－cosα|,\f(sinα,cosα)·|cosα|)，∵0<α<eq \f(π,4)，sinα－cosα<0，cosα>0，∴f(α)＝－eq \f(sinα·（cosα－sinα）,\f(sinα,cosα)·cosα)＝sinα－cosα.(2)∵0<α<eq \f(π,4)，∴cosα>sinα>0，由sinα－cosα＝－eq \f(1,5)sin2α＋cos2α＝1，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinα＝\f(3,5),cosα＝\f(4,5)))，∴tanα＝eq \f(sinα,cosα)＝eq \f(3,4)，∴tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(2×\f(3,4),1－\f(9,16))＝eq \f(24,7).20．解析：(1)f(x)＝sin(ωx＋φ)－cos (ωx＋φ)＝－eq \r(2)×[eq \f(\r(2),2)cos (ωx＋φ)－eq \f(\r(2),2)sin (ωx＋φ)]＝－eq \r(2)cos (ωx＋φ＋eq \f(π,4))，因为f(x)为偶函数，所以φ＋eq \f(π,4)＝kπ(k∈Z)，解得φ＝－eq \f(π,4)＋kπ(k∈Z).又|φ|<eq \f(π,2)，所以φ＝－eq \f(π,4)，所以f(x)＝－eq \r(2)cos (ωx)，由题意得eq \f(2π,ω)＝2×π，所以ω＝1，所以f(x)＝－eq \r(2)cosx，故f(eq \f(π,4))＝－eq \r(2)coseq \f(π,4)＝－1.(2)y＝eq \r(3)f(x)＋f(x＋eq \f(π,2))＝－eq \r(2)×[eq \r(3)cosx＋cos (x＋eq \f(π,2))]＝－2eq \r(2)×(eq \f(\r(3),2)cosx－eq \f(1,2)sinx)＝2eq \r(2)sin (x－eq \f(π,3))，当x－eq \f(π,3)＝2kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，即x＝2kπ＋eq \f(5π,6)(k∈Z)时，y有最大值2eq \r(2).21．解析：(1)过C作CM⊥OP，垂足为M，过CN⊥OQ，垂足为N.易知CM＝OC·sinθ，CN＝OC·sin (eq \f(π,3)－θ).所以S＝S△POC＋S△OQC＝eq \f(1,2)OP·CM＋eq \f(1,2)OQ·CN＝2sinθ＋2sin (eq \f(π,3)－θ)，θ∈(0，eq \f(π,3)).(2)由(1)知S＝2sinθ＋2sin (eq \f(π,3)－θ)＝2sinθ＋eq \r(3)cosθ－sinθ＝sinθ＋eq \r(3)cosθ＝2(eq \f(1,2)sinθ＋eq \f(\r(3),2)cosθ)＝2sin (θ＋eq \f(π,3)).因为θ∈(0，eq \f(π,3))，所以θ＋eq \f(π,3)∈(eq \f(π,3)，eq \f(2π,3))，故当θ＋eq \f(π,3)＝eq \f(π,2)，即θ＝eq \f(π,6)时，S最大，且最大值为2.22．解析：(1)f(x)＝a·b＝(cosx＋sinx)·(cosx－sinx)－2eq \r(3)sinxcosx＝cos2x－sin2x－eq \r(3)sin2x＝cos2x－eq \r(3)sin2x＝2cos (2x＋eq \f(π,3)).∵x∈[0，eq \f(π,2)]，∴eq \f(π,3)≤2x＋eq \f(π,3)≤eq \f(4π,3)，∴－1≤cos (2x＋eq \f(π,3))≤eq \f(1,2)，∴f(x)的取值范围为[－2，1].(2)因为g(x)＝f(x＋t)＝2cos (2x＋2t＋eq \f(π,3))为偶函数，所以2t＋eq \f(π,3)＝kπ(k∈Z)，∴t＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,6)(k∈Z)，因此当k＝0时，|t|min＝eq \f(π,6).