2023版新教材高中数学第二章平面解析几何2.6双曲线及其方程2.6.1双曲线的标准方程课时作业新人教B版选择性必修第一册

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2．6.1　双曲线的标准方程　1．已知定点F1(－3，4)，F2(5，4)，动点M满足|MF1|－|MF2|＝2a，当a＝3和a＝4时，点M的轨迹为(　　)A．双曲线和一条直线 B．双曲线的一支和一条直线C．双曲线和一条射线 D．双曲线的一支和一条射线2．已知双曲线C： eq \f(x2,16)－ eq \f(y2,9)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝(　　)A．16　　 B．18　 C．4或16 D．2或183．与椭圆C： eq \f(y2,16)＋ eq \f(x2,12)＝1共焦点且过点P(1， eq \r(3))的双曲线的标准方程为(　　)A．x2－ eq \f(y2,3)＝1 B．y2－2x2＝1 C． eq \f(y2,2)－ eq \f(x2,2)＝1 D． eq \f(y2,3)－x2＝14．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线3x－4y＋12＝0上的等轴双曲线方程是(　　)A．x2－y2＝8 B．x2－y2＝4 C．y2－x2＝8 D．y2－x2＝45．已知圆x2＋y2－4x－9＝0与y轴的两个交点A，B都在某双曲线上，且A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，则此双曲线的标准方程为(　　)A． eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,36)＝1 B． eq \f(y2,9)－ eq \f(x2,72)＝1C． eq \f(y2,36)－ eq \f(x2,9)＝1 D． eq \f(y2,72)－ eq \f(x2,9)＝16．已知F1，F2是双曲线C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P为双曲线C上的一点，且PF1⊥PF2．若△PF1F2的面积为9，则b＝________．　7．(多选)若θ为任意实数，则方程x2＋y2cos θ＝3表示的曲线可能是(　　)A．圆 B．线段 C．椭圆 D．双曲线8．若方程 eq \f(x2,t－3)＋ eq \f(y2,5－t)＝1表示的是双曲线，则t的取值范围是(　　)A．(3，4)∪(4，5) B．(3，5)C．(－∞，3)∪(5，＋∞) D．(－∞，－3)∪(5，＋∞)9．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|＝(　　)A．2 B．4 C．6 D．810．(多选)若双曲线y2－5x2＝－m的焦距等于12，则实数m的值可以为(　　)A．30 B．－30 C．120 D．－12011．过双曲线 eq \f(x2,4)－ eq \f(y2,3)＝1的左焦点F1的直线交双曲线的左支于M，N两点，F2为双曲线的右焦点，则|MF2|＋|NF2|－|MN|的值为________．12．如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：x2＋y2－10x＋9＝0，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．13．已知F是双曲线C： eq \f(x2,9)－ eq \f(y2,7)＝1的右焦点，P为C右支上一点，A(4，1)，则|PA|＋|PF|的最小值为(　　)A． eq \r(65)－3 B． eq \r(65)－6 C． eq \r(65)＋6 D．214．在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：(x＋6)2＋y2＝4，点B(6，0)，点P在圆A上运动，设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q，则点Q的轨迹方程为(　　)A．x2－ eq \f(y2,35)＝1 B．x2－ eq \f(y2,37)＝1 C． eq \f(x2,37)＋y2＝1 D． eq \f(x2,35)＋y2＝12．6.1　双曲线的标准方程必备知识基础练1．答案：D解析：由已知，得|F1F2|＝eq \r(（－3－5）2＋（4－4）2)＝8.当a＝3时，|MF1|－|MF2|＝6<|F1F2|，故点M的轨迹是双曲线的一支；当a＝4时，|MF1|－|MF2|＝8＝|F1F2|，故点M的轨迹是一条射线．D正确．故选D.2．答案：D解析：由双曲线C：eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，可知a＝4，b＝3，c＝5，因为|PF1|＝10>a＋c＝9，所以当点P在该双曲线左支上时，|PF2|＝2a＋|PF1|＝2×4＋10＝18.当点P在该双曲线右支上时，|PF2|＝|PF1|－2a＝10－2×4＝2.故选D.3．答案：C解析：椭圆C的焦点坐标为(0，±2)，设双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，双曲线的焦点是F1(0，2)，F2(0，－2)，由双曲线的定义可得2a＝||PF2|－|PF1||＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(　\r(12＋（\r(3)＋2）2)－\r(12＋（\r(3)－2）2)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(（\r(6)＋\r(2)）－（\r(6)－\r(2)）))＝2eq \r(2)，所以a＝eq \r(2)，因为c＝2，所以b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(2)，因此，双曲线的标准方程为eq \f(y2,2)－eq \f(x2,2)＝1.故选C.4．答案：A解析：在直线3x－4y＋12＝0中，令y＝0，得x＝－4，∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4，0)，∴c＝4，∴a2＝eq \f(1,2)c2＝eq \f(1,2)×16＝8，∴所求双曲线方程为x2－y2＝8.故选A.5．答案：B解析：在x2＋y2－4x－9＝0中，令x＝0，得y＝±3，不妨设A(0，－3)，B(0，3)，双曲线的标准方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，则eq \f(9,a2)＝1.又A，B两点恰好将此双曲线的焦距三等分，可得：双曲线的焦点为(0，－9)，(0，9).所以a2＋b2＝81.综上，a2＝9，b2＝72，此双曲线的标准方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,72)＝1.故选B.6．答案：3解析：由题意知||PF1|－|PF2||＝2a，∴(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2，∴4c2－2|PF1|·|PF2|＝4a2，∵△PF1F2的面积为9，PF1⊥PF2，∴|PF1|·|PF2|＝2×9＝18，∴4c2－2×18＝4a2，∴b2＝c2－a2＝9，∴b＝3.关键能力综合练7．答案：ACD解析：当cosθ＝1时，由x2＋y2cosθ＝3，得x2＋y2＝3，方程表示圆，故A正确；当cosθ＝－1时，由x2＋y2cosθ＝3，得eq \f(x2,3)－eq \f(y2,3)＝1，方程表示双曲线，故D正确；当cosθ＝eq \f(1,2)时，由x2＋y2cosθ＝3，得eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,6)＝1，方程表示焦点在y轴上的椭圆，故C正确；当cosθ＝0时，x2＝3，得x＝±eq \r(3)，表示垂直于x轴的直线，故B不正确．故选ACD.8．答案：C解析：因为方程eq \f(x2,t－3)＋eq \f(y2,5－t)＝1表示的是双曲线，所以(t－3)(5－t)<0，解得t∈(－∞，3)∪(5，＋∞).故选C.9．答案：B解析：在双曲线C：x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝eq \r(2)，因为点P在C上，则||PF1|－|PF2||＝2a＝2，|F1F2|＝2eq \r(2)，又∠F1PF2＝60°，在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，于是得8＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1|·|PF2|(1－cos60°)＝4＋|PF1|·|PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝4.故选B.10．答案：AB解析：当m>0时，方程化为eq \f(x2,\f(m,5))－eq \f(y2,m)＝1，焦点在x轴上，a2＝eq \f(m,5)，b2＝m，所以eq \f(m,5)＋m＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,2)))eq \s\up12(2)，解得m＝30；当m<0时，方程化为eq \f(y2,－m)－eq \f(x2,－\f(m,5))＝1，焦点在y轴上，a2＝－m，b2＝－eq \f(m,5)，所以－eq \f(m,5)－m＝(eq \f(12,2))2，解得m＝－30，综上，m＝±30.故选AB.11．答案：8解析：因为M，N两点在双曲线的左支上，所以由双曲线的定义得|MF2|－|MF1|＝2a＝4，|NF2|－|NF1|＝2a＝4，所以|MF2|－|MF1|＋|NF2|－|NF1|＝4a＝8，又|MF1|＋|NF1|＝|MN|，所以|MF2|＋|NF2|－|MN|＝8.12．解析：圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，所以圆心F1(－5，0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝16，所以圆心F2(5，0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，所以|MF2|－|MF1|＝3.|MF2|－|MF1|<|F1F2|，所以M点的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线(左支)，且a＝eq \f(3,2)，c＝5，所以b2＝eq \f(91,4)，所以动圆圆心M的轨迹方程为eq \f(4,9)x2－eq \f(4,91)y2＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x≤－\f(3,2))).核心素养升级练13．答案：B解析：记双曲线C的左焦点为F′，则F′(－4，0)，因为P为C右支上一点，由双曲线的定义可得，|PF′|－|PF|＝2a＝6，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF′|－6≥|AF′|－6＝eq \r(（4＋4）2＋1)－6＝eq \r(65)－6，当且仅当F′，P，A三点共线时，取得最小值．故选B.14．答案：A解析：圆A的圆心为A(－6，0)，半径为r＝2，由中垂线的性质可得|PQ|＝|BQ|，当点P在圆A的右半圆上时，|QA|－|QB|＝|PA|＋|PQ|－|QB|＝|PA|＝2<|AB|＝12，当点P在圆A的左半圆上时，|QB|－|QA|＝|QP|－|QA|＝|QA|＋|PA|－|QA|＝|PA|＝2<|AB|＝12，所以点Q的轨迹是以A，B为焦点的双曲线，且2a＝2，2c＝12，所以a＝1，c＝6，∴b＝eq \r(c2－a2)＝eq \r(35)，因此点Q的轨迹方程为x2－eq \f(y2,35)＝1.故选A.