2023版新教材高中数学第二章平面解析几何综合测试卷新人教B版选择性必修第一册

这是一份2023版新教材高中数学第二章平面解析几何综合测试卷新人教B版选择性必修第一册，共10页。

第二章综合测试卷时间：120分钟　满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1的渐近线方程为(　　)A．y＝±eq \f(1,2)xB．y＝±2xC．y＝±eq \r(2)xD．y＝±eq \f(\r(2),2)x2．已知A(－2，0)，B(4，a)两点到直线l：3x－4y＋1＝0的距离相等，则a＝(　　)A．2B．eq \f(9,2)C．2或－8D．2或eq \f(9,2)3．已知椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,b2)＝1(b>0)上的动点P到右焦点距离的最小值为3－2eq \r(2)，则b＝(　　)A．1B．eq \r(2)C．eq \r(3)D．eq \r(6)4．已知O为坐标原点，抛物线x＝eq \f(1,4)y2的焦点为F，点M在抛物线上，且|MF|＝3，则M点到x轴的距离为(　　)A．2B．eq \f(47,16)C．2eq \r(3)D．2eq \r(2)5．已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率为(　　)A．eq \f(\r(7),2)B．eq \f(\r(13),2)C．eq \r(7)D．eq \r(13)6．若过原点的直线l与圆x2－4x＋y2＋3＝0有两个交点，则l的倾斜角的取值范围为(　　)A．(－eq \f(π,3)，eq \f(π,3)) B．(－eq \f(π,6)，eq \f(π,6)) C．[0，eq \f(π,6))∪(eq \f(5π,6)，π) D．[0，eq \f(π,3))∪(eq \f(2π,3)，π)7．已知F1，F2是椭圆C：eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)A．13B．12C．9D．68．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是C的右支上一点，连接PF1与y轴交于点M，若|F1O|＝2|OM|(O为坐标原点)，PF1⊥PF2，则双曲线C的离心率为(　　)A．eq \r(2)B．2C．eq \r(5)D．3二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知双曲线C：x2－eq \f(y2,3)＝1，则(　　)A．双曲线C与圆(x－eq \f(1,2))2＋y2＝1有3个公共点B．双曲线C的离心率与椭圆eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1的离心率的乘积为1C．双曲线C与双曲线eq \f(y2,3)－x2＝1有相同的渐近线D．双曲线C的一个焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同10．已知方程x2＋y2－4x＋8y＋2a＝0，则下列说法正确的是(　　)A．当a＝10时，表示圆心为(2，－4)的圆B．当a<10时，表示圆心为(2，－4)的圆C．当a＝0时，表示的圆的半径为2eq \r(5)D．当a＝8时，表示的圆与y轴相切11．已知F是抛物线y2＝4x的焦点，P是抛物线y2＝4x上一动点，Q是⊙C：(x－4)2＋(y－1)2＝1上一动点，则下列说法正确的有(　　)A．|PF|的最小值为1B．|QF|的最小值为eq \r(10)C．|PF|＋|PQ|的最小值为4D．|PF|＋|PQ|的最小值为eq \r(10)＋112．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”，如图在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点F(0，2)，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与y轴交于点G.若过原点O的直线与上半椭圆交于点A，与下半圆交于点B，则(　　)　　A．椭圆的长轴长为4eq \r(2)B．线段AB长度的取值范围是[4，2＋2eq \r(2)]C．△ABF面积的最小值是4D．△AFG的周长为4＋4eq \r(2)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中的横线上．13．若拋物线y2＝8x的焦点也是双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的焦点，则a＝________．14．若椭圆eq \f(x2,k－1)＋eq \f(y2,3－k)＝1的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是________．15．已知圆C：x2＋(y－1)2＝10，直线l过点P(2，2)且与圆C交于A，B两点，若P为线段AB的中点，O为坐标原点，则△AOB的面积为________．16．直线l：y＝x＋m与曲线C：y＝eq \r(4－x2)有两个交点，则实数m的取值范围是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知圆C经过坐标原点O和点(4，0)，且圆心在x轴上．(1)求圆C的方程；(2)已知直线l：3x＋4y－11＝0与圆C相交于A，B两点，求所得弦长|AB|的值．18．(12分)已知圆C：(x－4)2＋(y－2)2＝4，圆M：x2－4x＋y2－5＝0.(1)试判断圆C与圆M的位置关系，并说明理由；(2)若过点(6，－2)的直线l与圆C相切，求直线l的方程．19．(12分)已知椭圆C：x2＋4y2＝16和点M(2，1).(1)求椭圆C的焦点坐标和离心率；(2)设直线l：x＋2y－4＝0与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|；(3)求通过M点且被这点平分的弦所在的直线方程．20．(12分)已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(\r(　,3),2)，短轴端点到焦点的距离为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设A，B为椭圆C上任意两点，O为坐标原点，且以AB为直径的圆经过原点，求证：原点O到直线AB的距离为定值，并求出该定值．21．(12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线为l，过抛物线上一点B向x轴作垂线，垂足恰好为抛物线C的焦点F，且|BF|＝4.(1)求抛物线C的方程；(2)设l与x轴的交点为A，过x轴上的一个定点(1，0)的直线m与抛物线C交于D，E两点．记直线AD，AE的斜率分别为k1，k2，若k1＋k2＝eq \f(1,3)，求直线m的方程．22．(12分)已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率e＝eq \f(\r(3),2)，且点(1，eq \f(\r(3),2))在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)直线l与椭圆E交于A，B两点，且线段AB的垂直平分线经过点(0，eq \f(1,2)).求△AOB(O为坐标原点)面积的最大值．第二章综合测试卷1．答案：B解析：由双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1得a＝1，b＝2，所以渐近线方程为y＝±2x.故选B.2．答案：D解析：因为A(－2，0)，B(4，a)两点到直线l：3x－4y＋1＝0的距离相等，所以有eq \f(|3×（－2）＋0×（－4）＋1|,\r(32＋（－4）2))＝eq \f(|3×4－4a＋1|,\r(32＋（－4）2))⇒|13－4a|＝5⇒a＝2或a＝eq \f(9,2).故选D.3．答案：A解析：根据椭圆的性质，椭圆上的点到右焦点距离最小值为a－c，即a－c＝3－2eq \r(2)，又a＝3，所以c＝2eq \r(2)，由c2＝a2－b2，所以b＝1.故选A.4．答案：D解析：由题意得y2＝4x，所以准线为x＝－1，又因为|MF|＝3，设点M的坐标为(x0，y0)，则有|MF|＝x0＋1＝3，解得x0＝2，将x0＝2代入解析式y2＝4x得y0＝±2eq \r(2)，所以M点到x轴的距离为2eq \r(2).故选D.5．答案：A解析：因为|PF1|＝3|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a；因为∠F1PF2＝60°，由余弦定理可得4c2＝9a2＋a2－2×3a·a·cos60°，整理可得4c2＝7a2，所以e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(7,4)，即e＝eq \f(\r(7),2).故选A.6．答案：C解析：由x2－4x＋y2＋3＝0得(x－2)2＋y2＝1，所以圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2，0)，半径为r＝1，因此为使过原点的直线l与圆x2－4x＋y2＋3＝0有两个交点，直线l的斜率必然存在，不妨设直线l的方程为y＝kx，即kx－y＝0，则有eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))0)的焦点，所以a2＋12＝4，又因为a>0，所以a＝eq \r(3).14．答案：(1，2)解析：因为椭圆eq \f(x2,k－1)＋eq \f(y2,3－k)＝1的焦点在y轴上，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－k>k－1,3－k>0,k－1>0))，解得1b>0)的离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),2)，短轴端点到焦点的距离为a＝2，故c＝eq \r(3)，b＝1，故椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消y得(4k2＋1)x2＋8kbx＋4b2－4＝0，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝－\f(8kb,4k2＋1)，,x1x2＝\f(4b2－4,4k2＋1)，))又以AB为直径的圆经过原点，故eq \o(OA,\s\up6(→))·eq \o(OB,\s\up6(→))＝(x1，y1)·(x2，y2)＝x1x2＋(kx1＋b)(kx2＋b)＝0，即(k2＋1)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝0，即(k2＋1)eq \f(4b2－4,4k2＋1)－kb·eq \f(8kb,4k2＋1)＋b2＝0，化简整理得到5b2＝4k2＋4，原点O到直线AB的距离为eq \f(|b|,\r(1＋k2))＝eq \f(|b|,\r(\f(5,4)b2))＝eq \f(2\r(5),5).当直线斜率不存在时，△AOB为等腰直角三角形，设A(m，m)，则eq \f(m2,4)＋m2＝1，解得m＝±eq \f(2\r(5),5)，即直线方程为x＝±eq \f(2\r(5),5)，原点到直线AB的距离为eq \f(2\r(5),5).综上所述，原点O到直线AB的距离为定值，该定值为eq \f(2\r(5),5).21．解析：(1)由题意B(eq \f(p,2)，4)，代入y2＝2px，得p2＝16，p＝4，∴抛物线C的方程为y2＝8x.(2)当直线m的斜率不存在时，k1＋k2＝0与题意不符，所以直线的斜率一定存在，设直线m的方程为y＝k(x－1)代入到y2＝8x中，k2x2－(2k2＋8)x＋k2＝0，设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(2k2＋8,k2),x1x2＝\f(k2,k2)＝1))，k1＋k2＝eq \f(y1,x1＋2)＋eq \f(y2,x2＋2)＝eq \f(k（x1－1）,x1＋2)＋eq \f(k（x2－1）,x2＋2)＝eq \f(k[2x1x2＋（x1＋x2）－4],（x1＋2）（x2＋2）)＝eq \f(8k,9k2＋16)＝eq \f(1,3)，∴k＝eq \f(4,3)，所以直线m的方程为4x－3y－4＝0.22．解析：(1)由已知e2＝1－eq \f(b2,a2)＝eq \f(3,4)，所以a2＝4b2，因为点(1，eq \f(\r(3),2))在椭圆上，所以eq \f(1,a2)＋eq \f(3,4b2)＝1，解得a＝2，b＝1．所以所求椭圆方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为AB的垂直平分线过点(0，eq \f(1,2))，所以AB的斜率k存在．当直线AB的斜率k＝0时，所以x1＝－x2，y1＝y2，所以S△AOB＝eq \f(1,2)·2|x1||y1|＝eq \r(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) （1－\f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ,4)）)＝eq \f(1,2)eq \r(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) （4－x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ）)≤eq \f(1,2)eq \f(x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＋4－x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ,2)＝1，当且仅当x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) ＝4－x eq \o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)) 时取“＝”，所以x1＝±eq \r(2)时，(S△AOB)max＝1，当直线AB的斜率k≠0时，设l：y＝kx＋m(m≠0).联立方程eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，由Δ＝(8km)2－4×(1＋4k2)(4m2－4)>0得4k2＋1>m2，　①所以x1＋x2＝－eq \f(8km,1＋4k2)，x1x2＝eq \f(4m2－4,1＋4k2)，所以eq \f(x1＋x2,2)＝－eq \f(4km,1＋4k2)，eq \f(y1＋y2,2)＝keq \f(x1＋x2,2)＋m＝eq \f(m,1＋4k2)，所以AB的中点为(eq \f(－4km,1＋4k2)，eq \f(m,1＋4k2))，由直线的垂直关系有k·eq \f(\f(m,1＋4k2)－\f(1,2),\f(－4km,1＋4k2))＝－1，化简得4k2＋1＝－6m，　②由①②得－6m>m2，所以－6