2022-2023学年河南省济源六中高二（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年河南省济源六中高二（上）期末数学试卷（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=2：3：4，那么csC的值为( )
A. −14B. 14C. −23D. 23
2.{an}是单调递增的等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
3.已知△ABC中，a= 5，b= 15，∠A=30°，则c=( )
A. 15B. 5C. 2 5或 5D. 15或 5
4.在各项均为正数的等比数列{bn}中，若b7⋅b8=3，则lg3b1+lg3b2+…+lg3b14等于( )
A. 5B. 6C. 8D. 7
5.与向量(−3,−4,5)共线的单位向量是( )
A. (3 210,2 25,− 22)和(−3 210,−2 25, 22)
B. (3 210,2 25,− 22)
C. (3 210,2 25, 22)和(−3 210,−2 25,− 22)
D. (−3 210,−2 25, 22)
6.若双曲线x23−16y2p2=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上，则p的值为
( )
A. 2B. 3C. 4D. 4 2
7.在数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln(1+1n)，则an=( )
A. 2+lnnB. 2+(n−1)lnnC. 2+nlnnD. 1+n+lnn
8.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC1=xAB+2yBC+3zC1C，则x+y+z=( )
A. 1B. 76C. 56D. 23
9.如图所示，D，C，B三点在地面的同一直线上，CD=a，从D，C两点测得A的仰角分别是α，β(α0,b>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双曲线离心率的取值范围是( )
A. e> 2B. 12D. 10恒成立．
(1)若p是真命题，求实数a的取值范围；
(2)若p∧q是假命题，p∨q是真命题.求实数a的取值范围．
18.(本小题12分)
若00)，离心率为12，点G(0,2)与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线y=kx+m与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点直线OM，ON的斜率之积等于−34，试探求△OMN的面积是否为定值，并说明理由．
22.(本小题12分)
如图1，在△MBC中，BM=2BC=4，BM⊥BC，A，D分别为BM，MC的中点．将△MAD沿AD折起到△PAD的位置，使∠PAB=90°，如图2，连结PB，PC．
(Ⅰ)求证：平面PAD⊥平面ABCD；
(Ⅱ)若E为PC中点，求直线DE与平面PBD所成角的正弦值；
(Ⅲ)线段PC上是否存在一点G，使二面角G−AD−P的余弦值为3 1010？若存在，求出PGPC的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：sinA：sinB：sinC=2：3：4，
则由正弦定理可设，a=2k，b=3k，c=4k，
故csC=a2+b2−c22ab=4k2+9k2−16k22×2k×3k=−14．
故选：A．
由正弦定理可设，a=2k，b=3k，c=4k，再结合余弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】【分析】
通过记前三项分别为a2−d、a2、a2+d，代入计算即可．
本题考查等差数列的通项公式，注意解题方法的积累，属于基础题．
【解答】
解：由题可知3a2=12，①
(a2−d)a2(a2+d)=48，②
将①代入②得：(4−d)(4+d)=12，
解得：d=2或d=−2(舍)，
∴a1=a2−d=4−2=2，
故选：B．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理的应用，解题时要注意讨论，不要漏解，属于基本知识的考查．
利用已知及正弦定理可求sinB，进而可求B，C的值，再由正弦定理即可求c的值．
【解答】
解：∵a= 5，b= 15，∠A=30°，
∴由正弦定理可得：sinB=bsinAa= 15×12 5= 32，
∴B=60°或120°．
∴C=180°−A−B=90°或30°，可得sinC=1或12
∴由c=asinCsinA可得c=2 5或 5．
故选：C．
4.【答案】D
【解析】解：∵数列{bn}为等比数列
∴b1b14=b2b13=b3b12=…=b7⋅b8=3，
∴lg3b1+lg3b2+…+lg3b14=lg3(b1b14b2b13…b7⋅b8)=lg337=7
故选D．
根据等比中项的性质可知b1b14=b2b13=b3b12=…=b7⋅b8=3，代入lg3b1+lg3b2+…+lg3b14，根据对数的运算法则即可求的答案．
本题考查等比数列的性质和对数的运算性质，等比中项的性质．若m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，则aman=apaq.是一个基础题，
5.【答案】A
【解析】解：设a=(−3,−4,5)，
∵向量a=(−3,−4,5)的模为|a|= 9+16+25=5 2，
故与向量(−3,−4,5)共线的单位向量是±a|a|，
即(3 210,2 25,− 22)或(−3 210,−2 25, 22)，
故选A．
设a=(−3,−4,5)，求出|a|，再由与a共线的单位向量是±a|a|，求出结果．
本题主要考查两个向量共线的性质，单位向量的定义和求法，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：双曲线的左焦点坐标为：(− 3+p216,0)，
抛物线y2=2px的准线方程为x=−p2，所以− 3+p216=−p2，
解得：p=4，
故选：C．
先根据双曲线的方程表示出左焦点坐标，再由抛物线的方程表示出准线方程，最后根据双曲线x23−16y2p2=1的左焦点在抛物线y2=2px的准线上可得到关系式− 3+p216=−p2，求出p的值．
本小题主要考查双曲线和抛物线的几何性质．
7.【答案】A
【解析】解：∵数列{an}中，a1=2，an+1=an+ln(1+1n)，
即an+1−an=lnn+1n=ln(n+1)−lnn，
故a2−a1=ln2−ln1，
a3−a2=ln3−ln2，
a4−a3=ln4−ln3，
an−an−1=lnn−ln(n−1)，
以上各式相加可得：an−a1=lnn−ln1，
即an=lnn+2，(n=1也成立)．
故选：A．
根据递推关系式得到an+1−an=lnn+1n=ln(n+1)−lnn，再利用累加法求通项即可．
本题主要考查数列递推关系式的应用，考查计算能力，属于中档题．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了空间平行六面体的性质、空间向量基本定理、数形结合方法，属于基础题．
如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，AC1=AB+BC+CC1=AB+BC−C1C，与AC1=xAB+2yBC+3zC1C比较即可得出．
【解答】
解：如图所示，
在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，
AC1=AB+BC+CC1=AB+BC−C1C，
与AC1=xAB+2yBC+3zC1C比较可得：
x=1，2y=1，−1=3z．
则x+y+z=1+12−13=76．
故选：B．
9.【答案】D
【解析】解：依题意知，DB=ABtanα，BC=ABtanβ，
∴DC=DB−BC=ABtanα−ABtanβ=a，
∴AB=asinαsinβsin(β−α)，
故选：D．
先分别在直角三角形中表示出DB，BC，根据DC=DB−BC列等式求得AB．
本题主要考查了解三角形的实际应用．把实际问题转化为三角形的问题，是常用思路．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查抛物线的应用．考查了学生利用抛物线解决实际问题的能力．
先建立直角坐标系，将A点代入抛物线方程求得m，得到抛物线方程，再把y=−3代入抛物线方程求得x0进而得到答案．
【解答】
解：如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x2=my，
将A(2,−2)代入x2=my，
得m=−2
∴x2=−2y，代入B(x0,−3)得x0= 6，
故水面宽为2 6m.
故选：D．
11.【答案】B
【解析】解：对于①，因为a=(1,−1,2)，b=(2,1,−12)，且a⋅b=1×2−1×1−2×(−12)=0，所以a⊥b，所以l⊥m，命题①正确；
对于②，因为a=(0,1,−1)，n=(1,−1,−1)，且a⋅n=0×1+1×(−1)+(−1)×(−1)=0，所以a⊥n，所以l/​/α或l⊂α，命题②错误；
对于③，因为n1=(−2,1,3)，n2=(1,−1,1)，且n1⋅n2=(−2)×1+1×(−1)+3×1=0，所以n1⊥n2，所以α⊥β，命题③错误；
对于④，因为A(1,0,−1)，B(0,−1,0)，C(−1,2,0)，所以AB=(−1,−1,1)，BC=(−1,3,0)，
设平面法向量为n=(x,y,z)，则n⋅AB=−x−y+z=0n⋅BC=−x+3y=0，令x=1，则y=13，z=43，所以n=(1,s,t)=(1,13,43)，所以t=4s，命题④正确．
综上知，正确命题的序号是①④．
故选：B．
根据题意，利用空间向量的数量积判断直线与直线以及直线与平面、平面与平面的位置关系即可．
本题考查了空间向量的应用问题，也考查了直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，是基础题．
12.【答案】C
【解析】【分析】
先设出双曲线右支任意一点坐标，根据到右焦点的距离和到中心的距离相等，利用两点间距离公式建立等式求得x，进而利用x的范围确定a和c的不等式关系，进而求得e的范围，同时根据双曲线的离心率等于2时，右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，所以不能等于2，最后综合求得答案．
本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是求得a和c的不等式关系，考查了学生转化和化归的思想．
【解答】
解：设双曲线右支任意一点坐标为(x,y)则x≥a，
∵到右焦点的距离和到中心的距离相等，
由两点间距离公式：x2+y2=(x−c)2+y2得x=c2，
∵x≥a，∴c2≥a，得e≥2，
又∵双曲线的离心率等于2时，c=2a，此时右支上只有一个点即顶点到中心和右焦点的距离相等，
所以不能等于2
故选C．
13.【答案】∃x0>0，x02+x0+1≤0
【解析】解：命题是全称命题，
则￢p为：∃x0>0，x02+x0+1≤0，
故答案为：∃x0>0，x02+x0+1≤0
根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．
本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．
14.【答案】253或3
【解析】解：当K>5时，e=ca= k−5k= 105，K=253．
当0