2023-2024学年安徽省六安市金安区汇文中学九年级（上）第三次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年安徽省六安市金安区汇文中学九年级（上）第三次月考数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，则tanB的值为( )
A. 33B. 1C. 3D. 2
2.把抛物线y=−2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为( )
A. y=−2(x+1)2+2B. y=−2(x+1)2−2
C. y=−2(x−1)2+2D. y=−2(x−1)2−2
3.已知抛物线y=x2+(m+3)x+m.当x=1时，y>0；当x<−2时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是( )
A. m>−2B. m≥1C. −24.已知在△ABC中，AB=6，AC=9，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD=2.若△ABC和△ADE相似，则AE=( )
A. 5B. 3C. 43D. 3或43
5.如图，⊙O的半径是3，点P是弦AB延长线上的一点，连接OP，若OP=4，∠APO=30°，则弦AB的长为( )
A. 2 5B. 5C. 2 13D. 13
6.已知点P是线段AB的一个黄金分割点(AP>PB)，则PB：AB的值为( )
A. 3− 52B. 5−12C. 1+ 52D. 3− 54
7.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)在反比例函数y=−3x的图象上，若y1A. x18.如图，DE是△ABC的中位线，点F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△CFE的面积为2，则△ABC的面积为( )
A. 18
B. 16
C. 14
D. 12
9.如图OA=OB=OC且∠ACB=30°，则∠AOB的大小是( )
A. 40°
B. 50°
C. 60°
D. 70°
10.如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于( )
A. 3：2：1B. 5：3：1C. 25：12：5D. 51：24：10
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.若yx=2，则x+yx= ______ ．
12.如图，AB、AC是⊙O的两条弦∠A=25°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则∠D的度数是______．
13.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为______．
14.矩形ABCD中，E是AB的中点(如图)，将△BCE沿CE翻折，点B落在点F处，连接AF，如果tan∠DCE=43，那么：
(1)∠AFB= ______ ；
(2)AFCE的比值为______ ．
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
15.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB=8，CD=2，求EC的长．
四、解答题：本题共8小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
计算：3tan60°+(2015−π)0−|− 3|+(−12)−1．
17.(本小题8分)
已知：二次函数y=2x2+bx+c过点(1,1)和点(2,10).求二次函数的解析式，并用配方法求二次函数图象的顶点坐标．
18.(本小题8分)
如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC=8cm，AB=16cm.当AB，BC转动到∠BAE=60°，∠ABC=50°时，求点C到AE的距离．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94， 3≈1.73)
19.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(−2,1)，B(−1,4)，C(−3,3)．
(1)画出△ABC绕点B逆时针旋转90°得到的△A1BC1；
(2)以原点O为位似中心，相似比为12，在y轴的左侧，画出将△ABC放大后的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．
20.(本小题10分)
如图，已知反比例函数y1=mx(m≠0)的图象经过点A(−2,1)，一次函数y2=kx+b(k≠0)的图象经过点C(0,3)与点A，且与反比例函数的图象相交于另一点B．
(1)分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
(2)求点B的坐标．
21.(本小题12分)
如图，已知△ABC中，AB=BC，点E、F在边BC上，满足∠EAF=∠C
求证：(1)BF⋅CE=AB2；
(2)AE2AF2=CEBF．
22.(本小题12分)
如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．
(1)求证：∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，求证：AE=PE．
(3)若PE=4，CD=6，求CE的长．
23.(本小题14分)
如图，已知抛物线与x轴交于A(1,0)和B(−5,0)两点，与y轴交于点C.直线y=−3x+3过抛物线的顶点P．
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若直线x=m(−5①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值；
②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：如图，
∵∠C=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴AB=2AC
∴BC= AB2−AC2= 3AC
∴tanB=ACBC= 33，
故选：A．
画出相应的图形，根据勾股定理和锐角三角函数的意义求解后，再做出判断即可．
本题考查锐角三角函数、勾股定理，掌握锐角三角函数的意义是解决问题的关键．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象与几何变换，图象的平移规律是：左加右减，上加下减．
根据图象右移减，上移加，可得答案．
【解答】
解：把抛物线y=−2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=−2(x−1)2+2，
故选：C．
3.【答案】C
【解析】解：由题意可知，
对称轴x=−m+32，且1+(m+3)+m>0，
∴m>−2，
∵当x<−2时，y的值随x值的增大而减小，
∴−m+32≥−2，
∴m≤1，
∴−2故选：C．
根据当x=1时，y>0得到m>−2，根据当x<−2时，y的值随x值的增大而减小，得到m≤1，最终得到m的取值范围．
本题考查二次函数图象与系数的关系，了解二次函数的增减性与对称轴的关系是关键．
4.【答案】D
【解析】解：①如图所示，△ABC∽△ADE，
∴ABAD=ACAE，AB=6，AC=9，AD=2，
∴AE=AD⋅ACAB=2×96=3；
②如图所示，△ABC∽△AED，
∴ABAE=ACAD，
∴AE=AB⋅ADAC=6×29=43，
综上所述，AE的长为3或43，
故选：D．
根据相似三角形的性质，对应边成比例，由此即可求解．
本题主要考查相似三角形的性质，掌握相似三角形中对应边成比例是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】【分析】
先过O作OC⊥AP，连结OB，根据OP=4，∠APO=30°，求出OC的值，在Rt△BCO中，根据勾股定理求出BC的值，即可求出AB的值．
此题考查了垂径定理，用到的知识点是垂径定理、含30度角的直角三角形、勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形．
【解答】
解：过O作OC⊥AP于点C，连结OB，
∵OP=4，∠APO=30°，
∴OC=12OP=2，
∵OB=3，
∴BC= OB2−OC2= 32−22= 5，
∴AB=2 5．
故选A．
6.【答案】A
【解析】解：根据题意得AP= 5−12AB，
所以PB=AB−AP=3− 52AB，
所以PB：AB=3− 52．
故选A．
把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值 5−12叫做黄金比．
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC)，且使AC是AB和BC的比例中项(即AB：AC=AC：BC)，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点；其中AC= 5−12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
7.【答案】C
【解析】解：∵−3<0，
∴图象位于第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，
又∵y1∴图象在第四象限，
∴0故选：C．
反比例函数的系数为−3<0，在每一个象限内，y随x的增大而增大，根据反比例函数的性质即可解答．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征与反比例函数的性质．注意：反比例函数的增减性只指在同一象限内．
8.【答案】B
【解析】解：连接AF，CD，如图，
∵DE是△ABC的中位线，
∴E是AC中点，D是AB中点，
∴S△AEF=S△CEF=2，
∵F是DE中点，
∴S△ADE=2S△AEF=4，
∵E是AC中点，
∴S△ACD=2S△ADE=8，
∵D是AB中点，
∴S△ABC=2S△ACD=16，
故选：B．
连接AF，由E是AC中点得到S△AEF=S△CEF=2，由F是DE中点得到S△ADE=2S△AEF=4，由DE是△ABC的中位线得到S△ABC=4S△ADE即可求解．
本题考查了三角形线段中点与面积之间的关系，解题的关键是运用数学结合思想找到其中的关系．
9.【答案】C
【解析】解：由OA=OB=OC，得到以O为圆心，OA长为半径的圆经过A，B及C，
∵圆周角∠ACB与圆心角∠AOB都对AB，且∠ACB=30°，
∴∠AOB=2∠ACB=60°．
故选：C．
由OA=OB=OC，得到以O为圆心，OA为半径的圆经过A，B，C，如图所示，利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍即可求出∠AOB的度数．
此题考查了圆周角定理，根据题意作出相应的圆O是解本题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：连接EM，
CE：CD=CM：CA=1：3
∴EM平行于AD
∴△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA
∴HD：ME=BD：BE=3：5，ME：AD=CM：AC=1：3
∴AH=(3−35)ME，
∴AH：ME=12：5
∴HG：GM=AH：EM=12：5
设GM=5k，GH=12k，
∵BH：HM=3：2=BH：17k
∴BH=512K，
∴BH：HG：GM=512k：12k：5k=51：24：10
故选：D．
连接EM，根据已知可得△BHD∽△BME，△CEM∽△CDA，根据相似比从而不难得到答案．
此题主要考查相似三角形的性质的理解及运用．
11.【答案】3
【解析】解：∵yx=2，
∴设x=k，则y=2k(k≠0)，
∴x+yx=k+2kk=3kk=3．
故答案为：3．
根据比例设x=k，则y=2k(k≠0)，然后代入比例式进行计算即可．
本题主要考查了比例的性质，掌握比的基本性质是解题的关键．
12.【答案】40°
【解析】解：连接OC，
∵CD是切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠A=25°，
∴∠COD=2∠A=50°，
∴∠D=90°−50°=40°．
故答案为40°．
由于CD是切线，可知∠OCD=90°，而∠A=25°，利用圆周角定理可求∠COD，进而可求∠D．
本题利用了切线的概念和圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
13.【答案】 55
【解析】解：
连接CE，
∵根据图形可知DC=1，AD=3，AC= 32+12= 10，
BE=CE= 12+12= 2，∠EBC=∠ECB=45°，
∴CE⊥AB，
∴sinA=CEAC= 2 10= 55，
故答案为： 55．
连接CE，求出CE⊥AB，根据勾股定理求出CA，在Rt△AEC中，根据锐角三角函数定义求出即可．
本题考查了勾股定理，锐角三角形函数的定义，等腰三角形的性质，直角三角形的判定的应用，关键是构造直角三角形．
14.【答案】90° 1825
【解析】解：(1)∵E是AB的中点，
∴AE=BE，
由折叠的性质可得：BE=EF，
∴AE=EF=BE，
∴∠EAF=∠EFA，∠EBF=∠EFB，
∵∠EAF+∠EFA+∠EBF+∠EFB=180°，
∴2∠EFA+2∠EFB=180°，
∴∠EFA+∠EFB=90°，即∠AFB=90°，
故答案为：90°；
(2)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB/​/CD，∠ABC=90°，
∴∠DCE=∠BEC，
∵tan∠DCE=43，
∴tan∠BEC=43，
设BE=4x，则BE=3x，
∴CE= BE2+BC2= (3x)2+(4x)2=5x，
∵E是AB的中点，
∴AE=BE=3x，
∴AB=AE+BE=3x+3x=6x，
由折叠的性质可得BF⊥CE，S△BCE=S△FCE，
∴12CE⋅BF=BE⋅BC，即125x⋅BF=3x⋅4x，
∴BF=245x，
由(1)得∠AFB=90°，
∴AF= AB2−BF2= (6x)2−(245x)2=185x，
∴AFCE=185x5x=1825，
故答案为：1825．
(1)由E是AB的中点及折叠的性质可得AE=EF=BE，由等边对等角可得∠EAF=∠EFA，∠EBF=∠EFB，再由三角形内角和定理可得∠EFA+∠EFB=90°，从而得到答案；
(2)由矩形的性质可得∠DCE=∠BEC，从而得到tan∠BEC=43，设BE=4x，则BE=3x，BE=5x，AB=6x，由折叠的性质可得BF⊥CE，S△BCE=S△FCE，从而得到12CE⋅BF=BE⋅BC，求得BF=245x，由勾股定理可得AF=185x，由此即可得到答案．
本题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、正切的定义、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
15.【答案】解：连接BE，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC=BC=12AB=12×8=4，
设AO=x，则OC=OD−CD=x−2，
在Rt△ACO中，∵AO2=AC2+OC2，
∴x2=42+(x−2)2，解得 x=5，
∴AE=10，OC=3，
∵AE是直径，
∴∠ABE=90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE=2OC=6，
在Rt△CBE中，CE= CB2+BE2= 42+62=2 13．
【解析】由OD⊥AB，根据垂径定理得到AC=BC=12AB=4，设AO=x，则OC=OD−CD=x−2，在Rt△ACO中根据勾股定理得到x2=42+(x−2)2，解得x=5，则AE=10，OC=3，再由AE是直径，根据圆周角定理得到∠ABE=90°，利用OC是△ABE的中位线得到BE=2OC=6，然后在Rt△CBE中利用勾股定理可计算出CE．
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理、圆周角定理．
16.【答案】解：3tan60°+(2015−π)0−|− 3|+(−12)−1
=3 3+1− 3−2
=2 3−1．
【解析】分别根据特殊角的三角函数值、零指数幂、绝对值和负整数指数幂的运算法则求解各数，然后加减运算即可．
本题考查实数的混合运算，熟记特殊角的函数值是关键．
17.【答案】解：把(1,1)和(2,10)代入y=2x2+bx+c得：
2+b+c=1,8+2b+c=10,
解得：b=3c=−4，
∴二次函数的解析式为：y=2x2+3x−4，
y=2x2+3x−4，
=2(x2+32x+916)−98−4，
=2(x2+32x+916)−418，
=2(x+34)2−418，
∴二次函数的顶点坐标为(−34,−418).
【解析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、以及二次函数解析式的三种形式．
将(1,1)和(2,10)代入y=2x2+bx+c求得b，c的值，再用配方法求得顶点式，从而得出顶点坐标．
18.【答案】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM于D，
在Rt△ABM中，∠A=60°，AB=16cm，
∴BM=AB⋅sinA
=16× 32
=8 3(cm)，
∵∠ABM=90°−60°=30°，∠ABC=50°，
∴∠CBD=50°−30°=20°，
∴∠BCD=90°−20°=70°，
在Rt△BCD中，BC=8cm，∠BCD=70°，
∴BD=BC⋅sin70°
≈8×0.94
=7.52(cm)，
CN=DM=BM−BD
=8 3−7.52
≈6.3(cm)，
答：点C到AE的距离约为6.3cm．
【解析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系分别求出BM、BD，进而求出CN即可．
本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提．
19.【答案】解：(1)如图，△A1BC1为所作；
(2)如图，△A2B2C2为所作，点A2的坐标(−4,2)．

【解析】本题考查了作图−位似变换，作图−旋转变换，
(1)利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A1、C1即可得到△A1BC1；
(2)延长OA到A2使OA2=2OA，延长OB到B2使OB2=2OB，延长OC到C2使OC2=2OC，从而得到△A2B2C2，再写出点A2的坐标．
20.【答案】解：(1)∵点A(−2,1)在反比例函数y1=mx的图象上，
∴1=m−2，即m=−2，
又A(−2,1)，C(0,3)在一次函数y2=kx+b图象上，
∴−2k+b=1b=3即k=1b=3，
∴反比例函数与一次函数解析式分别为：y=−2x与y=x+3；
(2)由y=x+3y=−2x得x+3=−2x，即x2+3x+2=0，
∴x=−2或x=−1于是x=−2y=1或x=−1y=2，
∴点B的坐标为(−1,2)．
【解析】(1)反比例函数y1=mx的图象经过点A(−2,1)，代入就可求出解析式，同理一次函数经过点A(−2,1)，C(0,3)，根据待定系数法就可求出函数解析式；
(2)求两个函数的交点就是解两个函数解析式组成的方程组．
本题主要考查了待定系数法求函数解析式，以及函数图象上的点与解析式的关系，图象上的点一定满足函数解析式．
21.【答案】证明：(1)∵AB=BC，
∴∠B=∠C，
∵∠EAF=∠C，
∴∠B=∠EAF，∠AEC=∠B+∠BAE=∠EAF+∠BAE=∠BAF，
∴△ABF∽△ECA，
∴ABCE=BFAC，
∴BF⋅EC=AB⋅AC=AB2；
(2)∵∠B=∠EAF，∠AFE=∠BFA，
∴△AEF∽△BAF，
∴AFBF=EFAF，
∴AF2=BF×EF，
同理：△AEF∽△CEA，
∴AECE=EFAE，
∴AE2=CE×EF，
∴AE2AF2=CEBF．
【解析】(1)证明△ABF∽△ECA，得出ABCE=BFAC，即可得出结论；
(2)证明△AEF∽△BAF，得出AFBF=EFAF，即AF2=BF×EF，同理△AEF∽△CEA，得出AECE=EFAE，即AE2=CE×EF，即可得出结论．
本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OA，如图，
∵PA为⊙O的切线，
∴AO⊥PA，
∴∠OAE+∠PAE=90°．
∵DE是⊙O的直径，
∴∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°．
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠AED，
∴∠ADE=∠PAE；
(2)证明：由(1)知：∠ADE=∠PAE=30°，
∵∠DAE=90°，
∴∠AED=90°−∠ADE=60°．
∵∠AED=∠PAE+∠APE，
∴∠APE=∠PAE=30°，
∴AE=PE；
(3)解：设CE=x，则DE=CD+CE=6+x，
∴OA=OE=6+x2，
∴OC=OE−CE=6−x2，
OP=OE+PE=14+x2．
∵PA、PB为⊙O的切线，
∴PA=PB，PO平分∠APB，
∴PO⊥AB．
∵PA为⊙O的切线，
∴AO⊥PA，
∴△OAC∽△OPA，
∴OAOC=OPOA，
∴6+x26−x2=14+x26+x2，
即：x2+10x−24=0．
解得：x=2或−12(不合题意，舍去)，
∴CE=2．
【解析】(1)连接OA，利用切线的性质定理，圆周角定理，同圆的半径相等，等腰三角形的性质和等角的余角相等解答即可；
(2)利用(1)的结论，直径所对的圆周角为直角，三角形的外角的性质和等腰三角形的判定定理解答即可；
(3)CE=x，则DE=CD+CE=6+x，OA=OE=6+x2，OC=OE−CE=6−x2，OP=OE+PE=14+x2，利用相似三角形的判定与性质得出比例式即可求得结论．
本题主要考查了圆的切线的性质，切线长定理，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，连接OA是解决此类问题常添加的辅助线．
23.【答案】解：(1)∵抛物线与x轴交于A(1,0)和B(−5,0)两点，
∴抛物线对称轴为直线x=1−52=−2，
在y=−3x+3中，令x=−2得y=9，
∴抛物线顶点为(−2,9)，
设抛物线函数解析式为y=a(x+2)2+9，
将A(1,0)代入得：
0=9a+9，
解得a=−1，
∴抛物线函数解析式为y=−(x+2)2+9=−x2−4x+5；
(2)①如图：

在y=−x2−4x+5中，令x=0得y=5，
∴C(0,5)，
由B(−5,0)，C(0,5)得直线BC解析式为y=x+5，
∴E(m,−m2−4m+5)，F(m,m+5)，
∴EF=−m2−4m+5−(m+5)=−m2−5m=−(m+52)2+254，
∵−1<0，
∴当m=−52时，EF取最大值254，
∴m的值为−52，EF的最大值为254；
②∵E(m,−m2−4m+5)，F(m,m+5)，C(0,5)，
∴EF2=(m2+5m)2，EC2=m2+(m2+4m)2，FC2=2m2；
若EF=EC，则(m2+5m)2=m2+(m2+4m)2，
解得m=0(E与C重合，舍去)或m=−4，
∴E(−4,5)；
若EF=FC，则(m2+5m)2=2m2，
解得m=0(舍去)或m= 2−5或m=− 2−5(不符合题意，舍去)，
∴E( 2−5,−2+6 2)；
若EC=FC，则m2+(m2+4m)2=2m2，
解得m=0(舍去)或m=−3或m=−5(不符合题意，舍去)，
∴E(−3,8)；
综上所述，E的坐标为(−4,5)或( 2−5,−2+6 2)或(−3,8)．
【解析】(1)由抛物线与x轴交于A(1,0)和B(−5,0)两点，得抛物线对称轴为直线x=1−52=−2，即可得抛物线顶点为(−2,9)，设抛物线函数解析式为y=a(x+2)2+9，将A(1,0)代入可得a=−1，故抛物线函数解析式为y=−(x+2)2+9=−x2−4x+5；
(2)①求出C(0,5)，得直线BC解析式为y=x+5，故E(m,−m2−4m+5)，F(m,m+5)，得EF=−m2−4m+5−(m+5)=−(m+52)2+254，根据二次函数性质可得答案；
②由E(m,−m2−4m+5)，F(m,m+5)，C(0,5)，得EF2=(m2+5m)2，EC2=m2+(m2+4m)2，FC2=2m2；分三种情况列方程可解得答案．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用．