宁夏回族自治区2023-2024学年高二上学期期末测试数学训练卷（三）(含答案)

这是一份宁夏回族自治区2023-2024学年高二上学期期末测试数学训练卷（三）(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知是数列的前n项和,则“是递增数列”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
2、下列求导运算正确的是( )
A. B.
C.D.
3、已知等比数列满足,,则( )
A.2B.1C.D.
4、曲线在点处的切线的斜率为( )
A.3B.-3C.6D.-6
5、已知为等差数列的前n项和,,则( )
A.240B.60C.180D.120
6、数列满足,数列的前n项和为,若,则使不等式成立的n的最小值为( )
A.11B.12C.13D.14
7、已知函数的图象上一点及附近一点,则( )
A.4B.C.D.
8、等比数列的各项均为正数,且,.设,则数列的前n项和( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、设数列的前n项和为,,,则下列说法正确的是( )
A.是等差数列
B.,,成等差数列,公差为-9
C.当或时,取得最大值
D.时,的最大值为32
10、若数列满足,,则称该数列为斐波那契数列.如图所示的“黄金螺旋线”是根据斐波那契数列画出来的曲线.图中的长方形由以斐波那契数为边长的正方形拼接而成,在每个正方形中作圆心角为的扇形,连接起来的曲线就是“黄金螺旋线”.记以为边长的正方形中的扇形面积为,数列的前n项和为.下列结论正确的是( )
A.B.是奇数
C.D.
11、记为数列的前n项和,为数列的前n项积, 已知 ,则下面正确的是( )
A.数列是等差数列
B.的通项公式
C.
D.若且则
12、已知函数是定义在R上的偶函数,是R上的导函数,若,,则下列选项正确的有( )
A.B.
C.D.
三、填空题
13、若函数在点处的导数是-1,那么过点A的切线方程是__________.
14、已知,用数学归纳法证明时,______________.
15、曲线在处的切线的倾斜角为,则____________.
16、已知数列满足,,记数列的前n项和为.若对于任意,不等式恒成立,则实数k的取值范围为____________.
四、解答题
17、求下列函数的导数：
(1);
(2).
18、已知数列满足.
(1)求的通项公式;
(2)若,求数列的前n项和.
19、已知函数.
(1)时,求证：是曲线的一条切线;
(2)若曲线在点处的切线平行于x轴,求实数a的值.
20、设正项数列的前n和为,.
(1)证明：数列为等差数列;
(2)若,求数列的前n项和.
21、国家助学贷款由国家指定的商业银行面向在校全日制高等学校经济困难学生发放.用于帮助他们支付在校期间的学习和日常生活费.从2021年秋季学期起,全日制普通本专科学生每人每年申请贷款额度由不超过8000元提高至不超过12000元,助学贷款偿还本金的宽限期从3年延长到5年.假如学生甲在本科期间共申请到48000元的助学贷款,并承诺在毕业后5年内还清,已知该学生毕业后立即参加工作,第一年的月工资为3000元,第13个月开始,每个月工资比前一个月增加直到8000元,此后工资不再浮动.
(1)学生甲参加工作后第几个月的月工资达到8000元;
(2)如果学生甲从参加工作后的第一个月开始,每个月除了偿还应有的利息外,助学贷款的本金按如下规则偿还：前12个月每个月偿还本金100元,第13个月开始到第59个月每个月偿还的本金比前一个月多30元,第60个月偿还剩余的本金.则他第60个月的工资是否足够偿还剩余的本金.
（参考数据：;;）
22、在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解答.
已知数列的前n项和为,,且满足______,
(1)求数列的通项公式;
(2)在与之间插入n个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,求数列前n项的和.
参考答案
1、答案：B
解析：当是递增数列,则,则,
但是的符号不确定,故充分性不成立;
当时,则,故是递增数列,即必要性成立;
综上,“是递增数列”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
2、答案：B
解析：对于A中,由,所以A错误;
对于B中,由,所以B正确;
对于C中,由,所以C错误;
对于D中,由,所以D错误.
故选：B.
3、答案：C
解析：由题意可得,
所以 ,
故,
故选：C.
4、答案：C
解析：设,
故选：C.
5、答案：D
解析：因为数列为等差数列,所以,
所以,
所以.
故选：D.
6、答案：C
解析：因为,
由等差中项的概念可知为等差数列,
又,其公差为,,
所以,
代入得
解得即n的最小值为13,
故选：C.
7、答案：C
解析：因为,所以,
所以,
所以.
故选：C.
8、答案：B
解析：设等比数列的公比为q,则,则,
所以,,所以,,
因为,可得,所以,,
所以,,
所以,,即数列为等差数列,
所以,,
所以,,
因此,.
故选：B.
9、答案：AC
解析：由,可得：数列是以32为首项,-1为公差的等差数列.
则.
所以
对于选项A：
当时,;
当时,;
.
数列是等差数列,故选项A正确;
对于选项B：
,,
,
则,
所以,,成等差数列,公差为-18,故选项B错误;
对于选项C：,
当或时,最大,故选项C正确;
对于选项D：令,得,,即满足的最大正整数,故选项D错误.
故选：AC.
10、答案：ABD
解析：该数列为1,1,2,3,5,8,13,21,34,···,所以,A正确;
由斐波那契数列得每三个数中,前两个为奇数后一个为偶数,
且,是奇数,B正确;
由,得：,
···,,
累加得,C错;
由,
得：
,
所以,
,D对.
故选：ABD.
11、答案：ABD
解析：由题为数列的前n项积,则,
又因为,,
所以,
则,所以数列是以为公差为等差数列,A正确;
令,得,则,
则,也符合,
所以,所以C错误;
由题意知,
不满足上式,所以,所以B正确;
对于D,若且,
则,得,,,···,,
累乘得
,所以D正确;
故选：ABD.
12、答案：AC
解析：对于A中,由函数是定义在R上的偶函数,且,
可得,所以A正确;
对于B中,由,令,得,所以,
又由,所以,,,
由,可得,故得,
两式相减得,所以函数是周期为4的周期函数,
所以,,
所以,
因为为偶函数,得,所以,
所以为奇函数,则,
因为,所以,且,
所以,又由,所以函数是周期为4的周期函数,
所以,
故,所以B错误;
对于C中,由,所以C正确;
对于D中,由,所以D错误.
故选：AC.
13、答案：
解析：切线的斜率为.
点处的切线方程为,
即.
故答案为：.
14、答案：
解析：因为当时,,
当时,,
所以.
故答案为：.
15、答案：
解析：因为,可得,
由题意可知：,
所以
,
即.
故答案为：.
16、答案：
解析：由题设,而,
则是首项、公比都为2的等比数列,
所以,则,
所以,
则在上恒成立,
要使不等式恒成立,只需,所以实数k的取值范围为.
故答案为：
17、答案：(1)
(2)
解析：（1）.
（2）
18、答案：(1)
(2)
解析：（1）令,得,
当,则：,
得：,解得：,
当时,也满足上式.
综上,.
（2）证明：
由
所以:
故：.
19、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）时,,
则,令,解得,
又,
所以曲线在处的切线方程为,即,
所以是曲线的一条切线;
（2）,
因为曲线在点处的切线平行于x轴,
所以,即,解得,
此时,
所以曲线在点处的切线为,符合题意,
所以.
20、答案：(1)证明见解析
(2)
解析：（1）因为,
所以,
,
所以,
当时,,
两式相减,得,,
当时,满足,
所以,即,
所以,
所以是等差数列.
（2）因为,所以,
所以,
所以,
所以.
21、答案：(1)33;
(2)不能,理由见解析.
解析：（1）设甲参加工作后第个月的月工资达到8000元,
则,可得,,解得,
所以,学生甲参加工作后第33个月的月工资达到8000元.
（2）因为甲前12个月每个月偿还本金100元,第13个月开始到第59个月每个月偿还的本金比前一个月多30元,
所以,从第13个月开始到第59个月偿还的本金是首项为130为首项,以30为公差的等差数列,
所以,前59个月偿还的本金为,
因为第13个月开始,每个月工资比前一个月增加直到8000元,
所以,第60个月的工资为8000元,
因为,因此,甲第60个月的工资不能足够偿还剩余的本金.
22、答案：(1)条件选择见解析,
(2)
解析：（1）若选①,因为,
当时,,两式相减得,
当时,,即,
又,所以,故也满足,
所以是首项为2,公比为2的等比数列,故;
若选②,因为,
当时,
,故,
也满足,故对任意的,;
若选③,因为,当时,,
两式相减可得,即,
当时,,所以,也满足,
所以是首项为2,公比为2的等比数列,故.
（2）在与之间插入n个数,
使这个数组成一个公差为的等差数列,
所以,,所以,,即,
所以,,
,
上式下式可得
,故.