山东省临沂市临沂第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份山东省临沂市临沂第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知空间向量,,m,,若,则( )
A.2B.C.14D.
2、设直线l的斜率为k,且,直线l的倾斜角的取值范围为( )
A.B.
C.D.
3、抛物线的准线方程为,则a的值为( )
A.B.C.D.
4、已知等比数列的前n项积满足,则( ).
A.128B.256C.512D.1024
5、由伦敦著名建筑事务所SteynStudi设计的南非双曲线大教堂惊艳世界,该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品.若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分,且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2,离心率为2,则该双曲线的方程为( )
A.B.C.D.
6、若等差数列的前n项和为,则“,”是“”的( )
A.充要条件B.必要不充分条件
C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件
7、设点P是抛物线:上的动点,点M是圆:上的动点,d是点P到直线的距离,则的最小值是( )
A.B.C.D.
8、已知椭圆与双曲线(,)具有相同焦点,,P是它们的一个交点,且,记椭圆与双曲线的离心率分别为,,则的最小值是( )
A.2B.3C.4D.5
二、多项选择题
9、对于非零空间向量,,,现给出下列命题,其中为真命题的是( )
A.若,则,的夹角是钝角
B.若,,则
C.若,则
D.若,,,则,,可以作为空间中的一组基底
10、已知曲线.( )
A.若,则C是椭圆,其焦点在y轴上
B.若,则C是圆,其半径为
C.若,则C是双曲线,其渐近线方程为
D.若,,则C是两条直线
11、如图,此形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,.设第n层有个球,从上往下n层球的总数为,则( )
A.
B.
C.
D.
12、在棱长为2的正方体,M为底面ABCD的中心,Q是棱上一点,且,,N为线段AQ的中点,则下列命题正确的是( )
A.CN与QM异面
B.三棱锥的体积跟的取值无关
C.不存在使得
D.当时,过A,Q,M三点的平面截正方体所得截面的面积为
三、填空题
13、已知两直线,,若,则实数________.
14、已知数列满足,,则________.
15、已知平面的一个法向量,点在平面内,若点在平面内,则________
16、如图,已知双曲线的左,右焦点分别为,,,P是双曲线右支上的一点,与y轴交于点A,的内切圆在边上的切点为Q,若,则双曲线的离心率是________.
四、解答题
17、如图所示,平行六面体的底面是菱形,,,,,,设,,.
（1）试用,,表示,;
（2）求MN的长度.
18、已知直线经过两条直线和的交点,且与直线垂直.
（1）求直线l的一般式方程;
（2）若圆的圆心为点,直线l被该圆所截得的弦长为,求圆C的标准方程.
19、已知各项均为正数的数列,其前n项和为,.
（1）若数列为等差数列,,求数列的通项公式;
（2）若数列为等比数列,,求满足时n的最小值.
20、如图,在三棱柱中,平面ABC,,,,点D,E分别在棱和棱上,且,,M为棱的中点.
（1）求证:;
（2）求二面角的正弦值;
（3）求直线AB与平面所成角的正弦值.
21、已知数列满足(且),且.
（1）求数列的通项公式;
（2）设数列的前n项和为,求证:.
22、如图,椭圆经过点,离心率,直线l的方程为.
（1）求椭圆C的方程;
（2）AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为,,.问:是否存在常数λ,使得?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
参考答案
1、答案：C
解析：因为空间向量,,m,,
如果,则,
所以,
解得,
所以,
故选:C.
2、答案：D
解析：由题意得:,
因为,且,,
画出的图象如下:
所以
故选:D
3、答案：C
解析：由题意得抛物线的标准方程为,准线方程为,
又准线方程是,所以,
所以.
故选:C
4、答案：C
解析：等比数列的前项积,,,
.
故选:C
5、答案：B
解析：设双曲线的一个焦点为,一条渐近线方程为,
则焦点到渐近线的距离,
所以,即双曲线方程为:.
故选:B
6、答案：C
解析：由,可得单调递增,且公差大于0,
故,,,
即,,即,,因此,
当,时,此时单调递减,则不可能满足,,
因此“,”是“”的充分不必要条件,
故选:C
7、答案：B
解析：由题知圆,
,
为抛物线焦点,为抛物线准线,
则过点P向作垂线垂足为D,如图所示:
则,
根据抛物线定义可知,
,
,
若求的最小值,只需求的最小值即可,
连接与抛物线交于点,与圆交于点,如图所示,
此时最小,为,
,
,,,
.
故选:B
8、答案：B
解析：设P为第一象限的交点,,,
则由椭圆和双曲线的定义可知,
在中由余弦定理得:
即:
,即:
∴
当且仅当,即时,取得最小值为3.
故选:B.
9、答案：BD
解析：A:当,时,显然,因为,所以,的夹角是平角,故本选项命题是假命题;
B:因为,所以,因此本选项命题是真命题;
C:当,,时,显然,但是,因此本选项命题是假命题;
D:假设,,是共面向量,
所以有,显然不可能,所以,,不是共面向量,因此,,可以作为空间中的一组基底,所以本选项命题是真命题,
故选:BD
10、答案：ACD
解析：对于A,若,则可化为,
因为,所以,
即曲线表示焦点在y轴上的椭圆,故A正确;
对于B,若,则可化为,
此时曲线C表示圆心在原点,半径为的圆,故B不正确;
对于C,若,则可化为,
此时曲线C表示双曲线,
由可得,故C正确;
对于D,若,,则可化为,
,此时曲线C表示平行于x轴的两条直线,故D正确;
故选:ACD.
11、答案：ACD
解析：由题意得,,,,…,,
以上个式子累加可得,
又满足上式,所以,
由已知,,,,,
得,故正确;
因为,则,故错误;
由通项公式得,故正确;
由,
得,
故D正确.
故选:.
12、答案：BD
解析：连AC,CQ,则M,N分别为AC,AQ的中点,MN为的中位线.
,则CN,QM共面,A错.
为定值,B对.
如图建系,,,则
,,,
时,,C错.
截面如图所示,图形ACFQ,过Q作AC的垂线垂足为G.
,,
,D对.
故选:BD
13、答案：或
解析：因为,,且,
所以,,即,解得或;
所以,实数或
故答案为:或
14、答案：2
解析：第一步,求不动点,设,令得:,化简得:,显然该方程无解,这种情况下一般是周期不大的周期数列,
我们只需算出前几项,找出规律即可,
由题意,,所以,,,,,,
从而是以6为周期的周期数列,
故.
故答案为:2.
15、答案：
解析：根据题意可得,
因为平面的一个法向量,
所以,解得,
故答案为:
16、答案：3
解析：设的内切圆在边,AP上的切点分别为M,N,
则,,,
又由,可得,则,
则,
又,则,即,
由,可得,即,
则双曲线的离心率,
故答案为:3
17、答案：（1）,
（2）
解析：（1）如图,连接AM,AN,,
,
,,;
（2）由条件得:,,,
,
,
;
综上,,,.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意知,解得,
直线和的交点为;
设直线l的斜率为k,与直线垂直,;
直线l的方程为,化为一般形式为;
（2）设圆C的半径为r,则圆心为到直线的距离为
,由垂径定理得,
解得,
圆C的标准方程为.
19、答案：（1）;
（2）7.
解析：（1）设数列为公差为d的等差数列,由,,
可得,解得,
故.
（2）数列为公比为的等比数列,由,,
可得,即,
则,,
由,即可得:,
则,故n的最小值为7.
20、答案：（1）证明见解析;
（2）;
（3）.
解析：依题意,以C为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图),
可得,,,,
,,,,.
（1）依题意,,,
从而,所以;
（2）依题意,是平面的一个法向量,
,.
设为平面的法向量,
则,即,
不妨设,可得.
,
.
所以,二面角的正弦值为;
（3）依题意,.
由（2）知为平面的一个法向量,于是.
所以,直线AB与平面所成角的正弦值为.
21、答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）因为,所以,
两式相减得,
当时,,又,所以,
所以,
所以是首项为2,公比为2的等比数列,
所以;
（2）证明:,
所以,由,得,
所以,
综上,.
22、答案：（1）
（2）存在
解析：（1）由,在椭圆上得:
①,②
②代入①得,,,,椭圆,
（2）设,则直线BF方程为:,令得,
的斜率联立得.
,,,
故存在符合题意.