2023-2024学年江苏省镇江市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江苏省镇江市九年级（上）期中数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法中，正确的是( )
A. 同弦所对的圆周角相等B. 三角形的外心到三个顶点的距离相等
C. 长度相等的两条弧是等弧D. 任意三点确定一个圆
3.关于x的一元二次方程x2−bx+c=0的两根分别是4、−2，则b、c的值分别是( )
A. −2、4B. 4、−6C. −2、6D. 2、−8
4.实数a，b，c满足a−b+c=0，则( )
A. b2−4ac>0B. b2−4ac<0C. b2−4ac≥0D. b2−4ac≤0
5.如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是AC的中点，AC与BD交于点E.若E是BD的中点，则AC的长是( )
A. 52 3
B. 3 3
C. 3 2
D. 4 2
6.已知在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，点D是CA延长线上任意一点，作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为( )
A. 3B. 3−1C. 43 3D. 5−1
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.方程x2−1=0的根为______．
8.已知⊙O的半径为5，点A与圆心O的距离为6，则点A在⊙O ______ .(填“内”、“上”或“外”)
9.若x=2是关于x的方程x2+mx+6=0的一个根，则m= ______ ．
10.已知一个扇形的半径为5，圆心角是120°，则该扇形的弧长是______ ．
11.如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D.若AB=9，AC=6，则BD的长是______ ．
12.正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，则该正六边形的面积为______ ．
13.如果关于x的一元二次方程4x2−mx+1=0有相等的实数根，那么m的值是______ ．
14.如图，某圆弧形拱桥的跨度AB=16m，拱高CD=5m，则该拱桥的半径为______ m.
15.如图⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点G，若DG=OB，∠AOC=84°，则∠G= ______ °.
16.某大型商场9月份前三周的营业收入持续上涨，若第1周营业收入为2000万元，前3周的营业总收入为7625万元，设平均每周的增长率为x，则可列方程为______ ．
17.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=130°，若点E在AD上，则∠E的度数为______ ．
18.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AB=10cm，点D从点A出发，沿射线AB以2cm/s的速度移动，移动过程中始终保持DE/​/BC，DF//AC(点E、F分别在射线AC、CB上).以点D为圆心，DE为半径作⊙D，若⊙D上恰好只有两个点到直线BC的距离为3cm，设点D移动的时间为t秒，则t的取值范围是______ ．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题20分)
解下列方程：
(1)(x−1)2−25=0；
(2)x2−3x−2=0；
(3)x2+2x−8=0；
(4)3x(x−4)=2(4−x)．
20.(本小题6分)
如图，线段AB的端点在边长为1的正方形网格的格点上，现将线段AB绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BC．
(1)请你用直尺和圆规在所给的网格中画出线段BC及点A经过的路径；
(2)若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(5,3)，点B的坐标为(1,1)，则点C的坐标为______ ；
(3)线段BA在旋转到线段BC的过程中，线段BA扫过区域的面积为______ ；
(4)若有一张与(3)中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径长为______ ．
21.(本小题7分)
已知关于x的方程x2−(k+4)x+4k=0．
(1)求证：无论k取任意实数值，方程总有实数根；
(2)若等腰△ABC的一边a=3，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求△ABC的周长．
22.(本小题8分)
如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC=CE，BD⊥CD，垂足为D，BD交⊙O于E，连接CE．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若DE=3，DC=4，求OA的长．
23.(本小题6分)
当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段.小亮在直播间销售一种进价为每件15元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系，它们的关系如表：
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)该商家每天想获得2340元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
24.(本小题10分)
已知一次函数y1=kx+2和反比例函数y2=mx相交于点A(1,3)和点B．
(1)m= ______ ，k= ______ ；
(2)连接AO，BO，在反比例函数y2=mx(x>0)的图象上找一点C，使S△ABC=S△ABO，求出点C的坐标；
(3)点P(t,0)为x轴正半轴上任意一点，过点P作x轴的垂线交反比例函数y2=mx和一次函数y1=kx+2分别于点E，F，且满足EP=3EF，求t的值．
25.(本小题10分)
如图，点A是⊙O(半径为r)上的一点．

(1)尺规作图：请你作出⊙O的内接正方形ABCD；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)正方形ABCD的四个顶点将⊙O分成四段弧，将这四段弧沿正方形ABCD的四条边向圆内折叠，则这四段弧折叠后和正方形重叠的图形面积等于______ ；(用含r的代数式表示)
(3)在(1)的条件下，在劣弧BC上任意取一点E，连接AE、BE、CE，请猜想AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由．
26.(本小题11分)
小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
(1)如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数.若以点A为圆心，AB长为半径作辅助圆⊙A，则C，D两点必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，∠BDC是⊙A的圆周角，则∠BDC= ______ °；
【初步运用】：
(2)如图2，在△ABC中，∠A=75°，∠C=60°，AC=4 2，求△ABC的外接圆半径r的值；
【方法迁移】：
(3)如图3，已知矩形ABCD，AB=2，BC=m，M为边CD上的点．
①若满足∠AMB=45°的点M恰好有两个，则m的取值范围为______ ；
②如图4，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=4，点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC=90°，以AC、CD为边作平行四边形ACDE，则CE的最小值为______ ．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、在同圆中，同弦所对的圆周角相等或互补，不符合题意；
B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，不符合题意；
D、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，不符合题意；
故选：B．
利用垂径定理、确定圆的条件、圆周角定理及三角形的外心的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是了解垂径定理、确定圆的条件、圆周角定理及三角形的外心的性质，难度不大．
3.【答案】D
【解析】解：−(−b)1=4+(−2)，
解得b=2；
c1=4×(−2)，
解得c=−8．
故选：D．
根据两根之和等于−ba，两根之积等于ca，列出含有b和c的等式，即可求出答案．
本题考查了一元一次方程中根与系数的关系，关键列出含有b和c的等式来解答．
4.【答案】C
【解析】解：设一元二次方程为ax2+bx+c=0
当x=−1时，原方程化为a−b+c=0
所以一元二次方程为ax2+bx+c=0有实数根，
所以b2−4ac≥0．
故选：C．
根据根的判别式，一元二次方程有实数根时，b2−4ac≥0．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是用特殊值法．
5.【答案】D
【解析】【分析】
连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF=CF，证明△EFD≌△ECB，进而证得DF=BC，根据三角形中位线定理求得OF=12BC=12DF，从而求得BC=DF=2，利用勾股定理即可求得AC．
本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【解答】
解：连接OD，交AC于F，
∵D是AC的中点，
∴OD⊥AC，AF=CF，
∴∠DFE=90°，
∵OA=OB，AF=CF，
∴OF=12BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△EFD和△ECB中，∠DFE=∠BCE=90°∠DEF=∠BECDE=BE,
∴△EFD≌△ECB(AAS)，
∴DF=BC，
∴OF=12DF，
∵OD=3，
∴OF=1，
∴BC=2，
在Rt△ABC中，AC2=AB2−BC2，
∴AC= AB2−BC2= 62−22=4 2，
故选D．
6.【答案】A
【解析】解：连接EF、BD，延长DE交BC于G，如图所示：
∵∠BAC=120°，∠C=30°，DF⊥BC，
∴∠BAD=60°，∠ADF=60°，
当BD⊥AC时，BD最小，
则∠DBG=60°，
∵DE⊥AB，
∴∠ADE=30°，
∴∠BGD=∠C+∠ADE=60°=∠DBG，
∴△BDG是等边三角形，
∴BG=BD，
∵DF⊥BC，
∴BF=GF，
∵DE⊥AB，
∴EF=12BG=GF，
∴△EFG是等边三角形，
∴∠EFG=60°=∠DBG，
∴EF/​/BD，
∴EF⊥AC，此时EF最小=12BG=12BD，
∵∠ABD=90°−60°=30°，
∴AD=12AB=2，BD= 3AD=2 3，
∴EF的最小值=12BD= 3．
故选：A．
延长DE交BC于G，当BD⊥AC时，证明△BDG是等边三角形，得出BF=GF，证明△EFG是等边三角形，得出∠EFG=60°=∠DBG，证出EF/​/AB，得出EF⊥AC，此时EF最小=12BG=12BD，进而求解．
本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
7.【答案】x1=1，x2=−1
【解析】【分析】
此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
直接利用开平方法解方程得出答案．
【解答】解：x2−1=0，
则x2=1，
解得：x1=1，x2=−1．
故答案为x1=1，x2=−1．
8.【答案】外
【解析】解：∵⊙O的半径为5，点A与圆心O的距离为6，5<6，
∴点A在⊙O外．
故答案为：外．
直接根据点与圆的位置关系解答即可．
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有 ①点P在圆外⇔d>r；②点P在圆上⇔d=r； ①点P在圆内⇔d9.【答案】−5
【解析】解：由题意得：把x=2代入方程x2+mx+6=0中得：22+2m+6=0，
解得：m=−5，
故答案为：−5．
根据题意可得：把x=2代入方程x2+mx+6=0中得：22+2m+6=0，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10.【答案】103π
【解析】解：由题意得，扇形的弧长=120π×5180=103π.
故答案为：103π.
利用弧长公式求解即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式l=nπr180．
11.【答案】3
【解析】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC=AP=6，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP=BD，
∴BD=PB=AB−AP=9−6=3．
故答案为：3．
由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC=AP，BP=BD，求出BP的长即可求出BD的长．
本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
12.【答案】54 3
【解析】解：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为6，
而正六边形可以分成六个边长的正三角形，
∴正多边形的半径即为正三角形的边长，
∴正三角形的边长为6，
∴正三角形的高为6×sin60°=3 3，
∴该正六边形的面积为6×12×6×3 3=54 3．
故答案为：54 3．
由于正六边形可以分成六个边长的正三角形，而正多边形的半径即为正三角形的边长，所以首先求出正三角形的面积即可求出正六边形的面积，而正三角形的高可以利用解直角三角形解决问题．
此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题时分别利用三角形的面积公式、解直角三角形、勾股定理及垂径定理等知识．
13.【答案】4或−4
【解析】解：∵关于x的一元二次方程4x2−mx+1=0有相等的实数根，
∴Δ=(−m)2−4×4×1=0，
解得：m=±4，
即m的值可为4或−4，
故答案为：4或−4．
根据关于x的一元二次方程4x2−mx+1=0有相等的实数根，得出Δ=(−m)2−4×4×1=0，解关于m的方程即可．
本题主要考查了根的判别式，解题的关键是根据根的判别式列出关于m的方程．
14.【答案】8.9
【解析】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上，
设圆心是O，半径是r m，连接OA．
根据垂径定理，得：AD=12AB=8m，
在Rt△AOD中，根据勾股定理，得r2=82+(r−5)2，
解得：r=8.9，
即该拱桥的半径为8.9m，
故答案为：8.9．
根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，半径为r m，连接OA.根据垂径定理得AD=8m，再由勾股定理求解即可．
此题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
15.【答案】28
【解析】解：连接OD，
∵DG=OB，OD=OB，
∴DG=OD，
∴∠C=∠DOG，
∴∠CDO=∠G+∠DOG=2∠G，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC=2∠G，
∴∠AOC=∠C+∠G=3∠G，
∵∠AOC=84°，
∴∠G=28°．
故答案为：28．
连接OD，由等腰三角形的性质推出∠C=∠DOG，∠C=∠ODC，由三角形外角的性质推出∠AOC=3∠G，即可求出∠G的度数．
本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，关键是由三角形外角的性质推出∠AOC=3∠G．
16.【答案】2000+2000(1+x)+2000(1+x)2=7625
【解析】解：∵第一周的营业总收入为2000万元，且平均每周的增长率为x，
∴第二周的营业总收入为2000(1+x)万元，第三周的营业总收入为2000(1+x)2万元，
依题意得：2000+2000(1+x)+2000(1+x)2=7625．
故答案为：2000+2000(1+x)+2000(1+x)2=7625．
设平均每周的增长率为x，根据前3周的营业总收入为7625万元，即可得出关于x的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】115°
【解析】解：连接BD，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠C=130°，
∴∠A=180°−130°=50°，
∵AB=AD，
∴∠ABD=180°−50°2=65°，
∵四边形ABDE是⊙O的内接四边形，
∴∠E=180°−65°=115°．
故答案为：115°．
连接BD，先根据圆内接四边形的性质求出∠A的度数，再由等腰三角形的性质求出∠ABD的度数，进而可得出结论．
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
18.【答案】 3−1【解析】解：设直线GH和MN到BC的距离为3cm，
∴GH//BC//MN，CG=CM=3cm，
设直线DF交GH于K，交MN于L，
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠ABC=30°，
∴AC=12AB=5cm，
∵AD=2tcm，
∴AE=12AD=tcm，
∴DE= AD2−AE2= 3tcm，
根据题意得：①当D在边AD上时，⊙D与GH相切，
⊙D恰好有一个点到BC的距离为3cm，
∵AE=tcm，AC=5cm，
∴CE=(5−t)cm=DF，
∴DF−DE<3即5−t− 3t<3，
∴t> 3−1，
②当⊙D与MN相切时，⊙D与BC有2个交点，
∴DE−DF<3即 3t−5+t<3，
∴t<4 3−4，
∴ 3−1故答案为： 3−1首先设直线GH和MN到BC的距离为3cm，先找到两种情况，根据直角三角形的性质，勾股定理分别表示出相关线段的长度，列出不等式即可求出．
本题考查了直线与圆的位置关系，30°角的直角三角形性质，解不等式，勾股定理，圆周角定理，解题关键是从相切入手找到关系．
19.【答案】解：(1)(x−1)2−25=0，
(x−1)2=25，
x−1=±5，
x1=6，x2=−4；
(2)x2−3x−2=0，
Δ=(−3)2−4×1×(−2)=9+8=17，
∴x=3± 172，
∴x1=3+ 172，x2=3− 172；
(3)x2+2x−8=0，
(x−2)(x+4)=0，
x−2=0或x+4=0，
x1=2，x2=−4；
(4)3x(x−4)=2(4−x)，
3x(x−4)+2(x−4)=0，
(x−4)(3x+2)=0，
x−4=0或3x+2=0，
x1=4，x2=−23．
【解析】(1)先移项，再利用直接开方法求出x的值即可；
(2)利用公式法求出x的值即可；
(3)利用因式分解法求出x的值即可；
(4)先移项，再提取公因式即可．
本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法、公式法及直接开方法是解题的关键．
20.【答案】(3,−3) 5π 52
【解析】解：(1)如图，线段BC及AC即为所求．
(2)建立平面直角坐标系如图，
则点C的坐标为(3,−3)．
故答案为：(3,−3)．
(3)由勾股定理得，BA= 42+22=2 5，
∴线段BA扫过区域的面积为90π×(2 5)2360=5π．
故答案为：5π．
(4)设该圆锥底面圆的半径长为r，
∵AC的长为90π×2 5180= 5π，
∴2πr= 5π，
解得r= 52，
∴该圆锥底面圆的半径长为 52．
故答案为： 52．
(1)根据旋转的性质作图即可．
(2)根据点A，B的坐标建立平面直角坐标系，即可得点C的坐标．
(3)利用勾股定理求出BA的长，再利用扇形面积公式计算即可．
(4)利用弧长公式求出AC的长，设该圆锥底面圆的半径长为r，则可列方程为2πr= 5π，求解r的值即可．
本题考查作图−旋转变换、扇形面积公式、弧长公式、圆锥的计算，熟练掌握旋转的性质、扇形面积公式、弧长公式等知识点是解答本题的关键．
21.【答案】证明：(1)∵Δ=b2−4ac=[−(k+4)]2−4×1⋅4k=(k−4)2≥0，
∴无论k取任意实数值，方程总有实数根．
(2)解：①若b=c，
∵方程x2−(k+4)x+4k=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=(k−4)2=0，
解得k=4，
∴此时方程为x2−8x+16=0，解得x1=x2=4，
∵3、4、4能够构成三角形，
∴△ABC的周长为11；
②若b≠c，则b=a=3或c=a=3，即方程有一根为3，
∵把x=3代入方程x2−(k+4)x+4k=0，得9−3(k+4)+4k=0，
解得k=3，
∴此时方程为x2−7x+12=0，
解得x1=3，x2=4，
∵3、3、4n能够构成三角形，
∴△ABC的周长为10；
综上所述，所求△ABC的周长为10或11．
【解析】(1)把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出△≥0可知方程总有实数根．
(2)根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b，c的长，然后求出△ABC的周长．
此题考查了根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
22.【答案】(1)证明：连接OC，

∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∵AC=CE，
∴AC=CE，
∴∠ABC=∠CBE，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠ABC，
∴∠OCB=∠CBE，
∴OC/​/BD，
∴∠OCD=180°−∠BDC=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
(2)解：在Rt△CDE中，DE=3，DC=4，
∴CE= CD2+DE2= 42+32=5，
∵AC=CE，
∴AC=CE=5，
∵四边形ABEC是⊙O的内接四边形，
∴∠A+∠BEC=180°，
∵∠BEC+∠CED=180°，
∴∠A=∠CED，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB=∠CDE=90°，
∴△CDE∽△BCA，
∴ABCE=ACDE，
∴AB5=53，
∴AB=253，
∴OA=12AB=256，
∴OA的长为256．
【解析】(1)连接OC，根据垂直定义可得∠BDC=90°，再根据圆心角、弧、弦的关系可得AC=CE，从而可得∠ABC=∠CBE，再根据等腰三角形的性质可得∠OCB=∠ABC，从而可得∠OCB=∠CBE，进而可得OC/​/BD，然后利用平行线的性质可得∠OCD=90°，即可解答；
(2)在Rt△CDE中，利用勾股定理求出CE=5，从而可得AC=CE=5，然后利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得∠A=∠CED，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠CDE=90°，从而可证△CDE∽△BCA，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)满足一次函数关系y=kx+b，
根据题意可得：20k+b=30025k+b=250，
解得：k=−10b=500，
故y与x之间的函数关系式为：y=−10x+500；
(2)根据题意可得：(−10x+500)(x−15)=2340，
整理得：x2−65x+984=0，
(x−24)(x−41)=0，
解得：x1=41(不合题意，舍去)，x2=24，
答：应将销售单价定为24元．
【解析】(1)直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
(2)直接利用(1)中所求，表示出总利润，进而解方程的得出答案．
本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
24.【答案】3 1
【解析】解：(1)把点A(1,3)分别代入y1=kx+2和y2=mx得，
3=k+2，3=m1，
解得k=1，m=3，
故答案为：3，1；
(2)过原点与直线AB平行的直线解析式为y=x，
解方程组y=xy=3x得x= 3y= 3或x=− 3y=− 3(舍去)，
则C点坐标为( 3, 3)；
把直线y=x+2向上平移2个单位得y=x+4，
解方程组y=x+4y=3x得x=−2+ 7y=2+ 7或x=−2− 7y=2− 7(舍去)，
则C点坐标为( 3, 3)或(−2+ 7,2+ 7).
(3)∵点P(t,0)为x轴正半轴上任意一点，
∴t>0，E(t,3t)，F(t,t+2)．
∴EP=3t；EF=|3t−t−2|．
∵EP=3EF，
∴3t=3×|3t−t−2|，
当3t=3(3t−t−2)时，整理得t2+2t−2=0，
解得t=−1+ 3或t=−1− 3(舍去)，
当3t=3(t+2−3t)时，整理得t2+2t−2=0，
解得t=−1+ 5或t=−1− 5(舍去)，
∴t的值为−1+ 3或−1+ 5．
(1)把点A的坐标分别代入y1=kx+2和y2=mx即可求得k、m的值；
(2)由于S△ABC=S△ABO，而两三角形同底，所以先求出与直线AB平行且到AB的距离等于点O到AB的距离的两条直线y=x和y=x+2，然后分别把它们与反比例函数解析式组成方程组，再解方程组即可得到C点坐标；
(3)根据点P坐标，找到E、F坐标，用两点间的距离公式即可求．
本题是反比例函数与一次函数的相交或平行问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
25.【答案】πr2−2r2
【解析】解：(1)如图所示：正方形ABCD即为所求；
(2)∵AC=2r，
∴AB=BC= 2r，
∴S正方形ABCD=AB2=2r2，
∴四段弧折叠后和正方形重叠的图形面积等于πr2−2r2．
故答案为：πr2−2r2．
(3)CE+ 2BE=AE．
理由：作BF⊥BE交AE于点F，
∵AB=AB，
∴∠AEB=12∠AOB=45°，
∵BE⊥BF，
∴∠FBE=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴BE=BF，EF= 2BE，
∵正方形ABCD，
∴AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABF=∠CBE，
∴△ABF≌△CBE(SAS)，
∴AF=CE，
∵AE=AF+EF，
∴AE=CE+ 2BE．
(1)直接作出直径AC，再过点O作AC的垂线，进而得出答案；
(2)由折叠的性质可知，四段弧折叠后和正方形重叠的图形面积等于圆的面积减去正方形的面积，则可得出答案；
(3)作BF⊥BE交AE于点F，证明△ABF≌△CBE(SAS)，由全等三角形的性质可得出AF=CE，则可得出结论．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的内接三角形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
26.【答案】45 2≤m< 2+1 2 10−2 2
【解析】解：(1)∵AB=AC=AD，
∴B、C、D三点都在以A为圆心，以AB长为半径的圆上，
∵∠BAC=90°，
∴∠BDC=12∠BAC=45°，
故答案为：45；
(2)作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OC．
∴∠B=180°−∠BAC−∠ACB=180°−75°−60°=45°，
∴∠AOC=2∠B=90°，
∵AC=4 2，
∴OA=OC= 22AC=4，
∴△ABC的外接圆的半径为4；
(3)①如图所示，在BC上截取一点F使得BF=BA，连接AF，以AF为直径作圆O，过点F作EF⊥AD交AD于E，过点O作OG⊥EF交EF于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交AD，BC于K、Q，则四边形ABFE为正方形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABE=90°，
∴B在圆O上，AF= AB2+BF2=2 2，
∴OG=OF= 2，
∵OH⊥EF，
∴FH=12EF=12AB=1，
∴OH= OF2−OH2=1，
∴GH=OG−OH= 2−1，
∴BF≤m∴2≤m<2+ 2−1，
即2≤m< 2+1．
故答案为：2≤m< 2+1；
②解：如图，延长AE交BD于点F，连接BE，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴AE/​/CD，AC=ED，∠EAC=∠CDE，
∵∠BAC=90°，AB=AC=4，∠BDC=90°，
∴ED=AB=AC=4，∠BAF+∠CAE=90°，∠CDE+∠EDF=90°，∠AFB=∠CDB=∠DFE=90°，
∴BC= 2AB=4 2，
∴∠BAF=∠EDF，
在△AFB和△DFE中，
∠BAF=∠EDF∠AFB=∠DFEAB=ED，
∴△AFB≌△DFE(AAS)，
∴BF=EF，
∴∠BEF=45°，
∴∠AEB=135°，
∴点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，
连接MB，MA，MC，MC与圆M交于点E′，
则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：
CE′即为CE的最小值，如图，
∴∠AMB=90°，
∵AM=BM，AB=4，
∴∠MBA=45°，BM= 22AB=2 2，
∴∠MBC=90°，
∴在Rt△MBC中，MC= MB2+BC2= (2 2)2+(4 2)2=2 10，
∴CE′=CM−ME′=2 10−2 2，
即CE的最小值为2 10−2 2，
故答案为：2 10−2 2．
(1)根据圆周角定理求解即可；
(2)作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OC.证出∠AOC=2∠B=90°，由直角三角形的性质可得出答案；
(3)①在BC上截取一点F使得BF=BA，连接AF，以AF为直径作圆O，过点F作EF⊥AD交AD于E，过点O作OG⊥EF交EF于H交圆O于G，过点G作圆O的切线分别交AD，BC于K、Q，则当BF≤m②延长AE交BD于点F，根据平行四边形的性质可得AE/​/CD，可得∠AFB=∠BDC=90°，可以证明△AFB≌△DFE，可得∠AEB=135°，点E的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点E所在圆的圆心为M，连接MB，MA，MC，MC与圆M交于点E′，根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得，CE′即为CE的最小值，利用勾股定理可得CM的值，进而可得CE的最小值．
本题考查了圆周角定理，直角三角形斜边上的中线，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．销售单价x(元)
20
25
40
销售量y(件)
300
250
100