2022-2023学年山西省阳泉市平定县张庄中学八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年山西省阳泉市平定县张庄中学八年级（上）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.自新冠肺炎疫情发生以来，全国人民共同抗疫，各地积极普及科学防控知识，下面是科学防控知识的图片，图片上有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.石墨烯是从石墨材料中剥离出来，由碳原子组成的只有一层原子厚度的二维晶体，石墨烯(Graphene)是人类已知强度最高的物质，据科学家们测算，要施加55牛顿的压力才能使0.000001米长的石墨烯断裂，其中0.000001科学记数法表示是。( )
A. 1×10−6B. 10×10−7C. 0.1×10−5D. 1×106
3.下列计算正确的是( )
A. (−12a2b)3=−16a6b3B. (x+y)(−y+x)=y2−x2
C. 2x+3y=5xyD. x6÷x2=x4
4.分式x2−4x+2的值为0，则( )
A. x=2B. x=−2C. x=±2D. x=0
5.一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是( )
A. 55°
B. 60°
C. 65°
D. 75°
6.如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为1800°，那么这个多边形的一个外角是( )
A. 72°B. 60°C. 36°D. 30°
7.如图，△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，若∠B=α，∠C=β，则∠ADC的度数为( )
A. 12(β−α)
B. 180°−12α−12β
C. 90°+12β−12α
D. 90°+12α−12β
8.如图，从边长为(a−4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形(a>0)，剩余部分沿虚线剪下，拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则此长方形的面积为( )
A. (6a+15)cm2B. (6a+9)cm2C. (3a+15)cm2D. (5a+15)cm2
9.如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，AE、BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②CM=CN；③AC=DN.其中，正确结论的个数是( )
A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个
10.如图，∠AOB=150°，OP平分∠AOB，PD⊥OB于点D，PC/​/OB交OA于点C，若PD=3，则OC的长为( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.两根长度分别为3，5的木棒，若想钉一个三角形木架，第三根木棒的长度可以是______.(写一个值即可)
12.分解因式：ax2−6ax+9a= ______ ．
13.如图，已知∠1=∠2，要使△ABE≌△ACE(ASA)，还需添加的条件是：______．
14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=20°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE为____．
15.若t是方程ax2+2x=0(a≠0)的一个根，则Q=(at+1)2的值为______ ．
16.如图，CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，AB=12cm，AC=6cm.动点E从A点出发以3cm/s的速度沿射线AN运动，动点D在射线BM上，随着E点运动而运动，始终保持ED=CB.若点E的运动时间为t s(t>0)，则当t=______秒时，△DEB与△BCA全等．
三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在AC上，且AD=AE．
求证：△BDC≌△CEB．
18.(本小题9分)
如图，在△ABC中，∠C=90°．
(1)用圆规和直尺在AC上作点P，使点P到A、B的距离相等．(保留作图痕迹，不写作法和证明)
(2)当满足(1)的点P到AB、BC的距离相等时，求∠A的度数．
19.(本小题9分)
如图，8×12的长方形网格中，网格线的交点叫做格点，点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：
平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(−3,1)，(−1,4)，
(1)①请在图中画出平面直角坐标系xOy；
②点C的坐标是______，点C关于x轴的对称点C1的坐标是______．
(2)设l是过点C且平行于y轴的直线，
①点A关于直线l的对称点A1的坐标是______；
②在直线l上找一点P，使PA+PB最小，在图中标出此时点P的位置；
③若Q(m,n)为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点Q1的坐标(用含m，n的式子表示)．
20.(本小题9分)
通过使用手机app购票，智能闸机、手持验票机验票的方式，能够大大缩短游客排队购票、验票的等待时间，且操作极其简单，已知某公园采用新的售票、验票方式后，平均每分钟接待游客的人数是原来的10倍，且接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟，求该公园原来平均每分钟接待游客的人数．
21.(本小题9分)
给出如下定义：我们把有序实数对(a,b,c)叫做关于x的二次多项式ax2+bx+c的特征系数对，把关于x的二次多项式ax2+bx+c叫做有序实数对(a,b,c)的特征多项式．
(1)关于x的二次多项式3x2+2x−1的特征系数对为______；
(2)求有序实数对(1,4,4)的特征多项式与有序实数对(1,−4,4)的特征多项式的乘积；
(3)若有序实数对(p,q,−1)的特征多项式与有序实数对(m,n,−2)的特征多项式的乘积的结果为2x4+x3−10x2−x+2，直接写出(4p−2q−1)(2m−n−1)的值为______．
22.(本小题9分)
如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE、GC．
(1)试猜想AE与GC的位置关系和数量关系：______．
(2)将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使点E落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为(1)中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【解答】
解：A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、是轴对称图形，符合题意．
故选：D．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
2.【答案】A
【解析】解：0.000001=1×10−6，
故选：A．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】D
【解析】解：A、积的乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故A错误；
B、(x+y)(−y+x)=x2−y2，故B错误；
C、不是同类项不能合并，故C错误；
D、底数不变指数相减，故D正确．
故选：D．
根据积的乘方，可判断A，根据平方差公式，可判断B，根据合并同类项，可判断C，根据同底数幂的除法，可判断D．
本题考查了平方差公式，平方差公式是两数和乘以这两个数的差等于它们的平方差．
4.【答案】A
【解析】解：∵分式x2−4x+2的值为0，
∴x2−4=0且x+2≠0，
解x2−4=0得x=±2，而x≠−2，
∴x=2．
故选：A．
根据分式的值为零的条件得到x2−4=0且x+2≠0，然后分别解方程与不等式易得x=2．
本题考查了分式的值为零的条件：当分式的分子为零并且分母不为零时，分式的值为零．
5.【答案】D
【解析】由题意可求得∠ACD=30°，利用三角形的外角性质即可求∠α的度数．
解：如图所示：
∵∠ACB=90°，∠A=45°，∠ECD=60°，
∴∠ACD=∠ACB−∠ECD=30°，
∵∠α是△ACD的一个外角，
∴∠α=∠A+∠ACD=75°．
故选：D．
本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
6.【答案】D
【解析】解：设这个多边形的边上为n，
根据题意列方程：(n−2)180°=1800°，
解得n=12，
360°÷12=30°，
故选：D．
根据多边形的内角和公式列方程，求出边数，再根据外角和定理求出这个多边形的一个外角．
本题考查多边形的内角和与外角和，熟练掌握多边形的内角和与外角和公式的应用是解题关键．
7.【答案】D
【解析】【分析】
先根据三角形的内角和定理求得∠BAC，再根据角平分线的定义求得∠BAD，再根据三角形的一个外角等于和它不相邻的内角和求得∠ADC．
此题考查了三角形内角和定理，外角的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
【解答】
解：∵∠B=α，∠C=β，
∴∠BAC=180°−α−β，
∵AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAD=12∠BAC=90°−12(α+β)，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=α+90°−12(α+β)=90°+12α−12β，
故选：D．
8.【答案】A
【解析】解：矩形的面积为：
(a+4)2−(a+1)2
=(a2+8a+16)−(a2+2a+1)
=a2+8a+16−a2−2a−1
=6a+15．
答：长方形的面积是(6a+15)cm2．
故选：A．
利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，解题时注意完全平方公式的运用．
此题考查了图形的剪拼，关键是根据题意列出式子，运用完全平方公式进行计算，要熟记公式．
9.【答案】B
【解析】解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，
∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，
∴∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中
AC=CD∠ACE=∠BCDBC=CE
∴△ACE≌△DCB(SAS)；∴①正确；
∵∠ACD=∠BCE=60°，
∴∠DCE=180°−60°−60°=60°=∠ACD，
∵△ACE≌△DCB，
∴∠NDC=∠CAM，
在△ACM和△DCN中
∠CAM=∠CDNAC=CD∠ACM=∠DCN
∴△ACM≌△DCN(ASA)，
∴CM=CN，AM=DN，∴②正确；
∵△ADC是等边三角形，
∴AC=AD，
∠ADC=∠ACD，
∵∠AMC>∠ADC，
∴∠AMC>∠ACD，
∴AC>AM，
即AC>DN，∴③错误；
故选B．
根据等边三角形性质得出AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，求出∠ACE=∠BCD，根据SAS证△ACE≌△DCB，推出∠NDC=∠CAM，求出∠DCE=∠ACD，证△ACM≌△DCN，推出CM=CN，AM=DN，即可判断各个结论．
本题考查了等边三角形的性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力和辨析能力．
10.【答案】D
【解析】解：∵∠AOB=150°，PC/​/OB交OA于点C，
∴∠PCO=30°，
过P作PE⊥OA于E，
∵PD⊥OB，OP平分∠AOB
∴PE=PD=3，∴∠AOP=∠POD=75°，
∴∠CPD=75°，
∴OC=PC=6，
故选：D．
根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论．
本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角的两边距离相等．
11.【答案】4(答案不唯一)
【解析】解：根据三角形的三边关系，得
第三边应大于两边之差，即5−3=2；而小于两边之和，即5+3=8，
即2<第三边<8，
故第三根木棒的长度可以是4．
故答案为：4(答案不唯一)．
根据三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，进行分析得到第三边的取值范围；再进一步找到符合条件的数值．
本题主要考查了三角形三边关系，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．
12.【答案】a(x−3)2
【解析】解：ax2−6ax+9a
=a(x2−6x+9)--(提取公因式)
=a(x−3)2.--(完全平方公式)
故答案为：a(x−3)2．
先提取公因式a，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
13.【答案】∠BAE=∠CAE
【解析】解：∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠AEC，
在△ABE和△ACE中，
∠BAE=∠CAEAE=AE∠AEB=∠AEC，
∴△ABE≌△ACE(ASA)，
∴∠BAE=∠CAE时，△ABE≌△ACE(ASA)．
故答案为：∠BAE=∠CAE．
根据题意可得∠AEB=∠AEC，又AE公共边，所以根据全等三角形的ASA判定方法即可找到添加的条件．
此题考查三角形全等的判定方法，熟记“两角与夹边对应相等的两三角形全等”是解决问题的关键．
14.【答案】60°
【解析】【分析】
此题主要考查线段的垂直平分线及等腰三角形的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．先根据△ABC中，AB=AC，∠A=20°求出∠ABC的度数，再根据线段垂直平分线的性质可求出AE=BE，即∠A=∠ABE=20°即可解答．
【解答】
解：∵等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°，
∴∠ABC=180°−20°2=80°，
∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，∠A=∠ABE=20°，
∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=80°−20°=60°．
故答案为60°．
15.【答案】1
【解析】解：∵t是方程ax2+2x=0(a≠0)的一个根，
∴at2+2t=t(at+2)=0，
∴t=0或at=−2．
当t=0时，Q=(at+1)2=(0+1)2=1；
当at=−2时，Q=(at+1)2=(−2+1)2=1；
综上所述，Q=(at+1)2的值为1．
故答案是：1．
根据一元二次方程解的定义得到：at2+2t=t(at+2)=0，显然t=0或at=−2，然后代入求值即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
16.【答案】2或6或8
【解析】解：①当E在线段AB上，AC=BE时，△ACB≌△BED，
∵AC=6，
∴BE=6，
∴AE=12−6=6，
∴点E的运动时间为6÷3=2(秒)；
②当E在BN上，AC=BE时，
AE=12+6=18，
点E的运动时间为18÷3=6(秒)；
③当E在线段AB上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，
这时E在A点未动，因此时间为0秒(舍去此情况)；
④当E在BN上，AB=EB时，△ACB≌△BDE，
AE=12+12=24，
点E的运动时间为24÷3=8(秒)，
故答案为：2或6或8．
此题要分两种情况：①当E在线段AB上时，②当E在BN上，再分别分成两种情况AC=BE，AC=BE进行计算即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL(直角三角形)．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
17.【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠DBC=∠ECB，
∵AD=AE，
∴AB−AD=AC−AE，
即DB=EC，
在△DBC和△ECB中，
DB=EC∠DBC=∠ECBBC=CB，
∴△BDC≌△CEB(SAS)．
【解析】根据AB=AC得出∠DBC=∠ECB，利用SAS证明△BDC≌△CEB即可．
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是利用SAS证明△BDC≌△CEB解答．
18.【答案】解：(1)依照题意，画出图形，如图所示．
(2)∵点P到AB、BC的距离相等，
∴PC=PD．
在Rt△BCP和Rt△BDP中，PC=PDBP=BP，
∴Rt△BCP≌Rt△BDP(HL)，
∴BC=BD．
又∵PD垂直平分AB，
∴AD=2BD=2BC．
在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，
∴∠A=30°．
【解析】(1)画出线段AB的垂直平分线，交AC于点P，点P即为所求；
(2)由点P到AB、BC的距离相等可得出PC=PD，结合BP=BP可证出Rt△BCP≌Rt△BDP(HL)，根据全等三角形的性质可得出BC=BD，结合AB=2BD及∠C=90°，即可求出∠A的度数．
本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及解含30°角的直角三角形，解题的关键是：(1)熟练掌握尺规作图；(2)通过证全等三角形找出AB=2BC．
19.【答案】(1)①建立的直角坐标系xOy如图所示；
②(1,2)，(1,−2)；
(2)①(5,1)；
②如上图，点P即为所求；
③Q1(2−m,n)．
【解析】【分析】
本题考查平面直角坐标系、轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
(1)①根据A，B两点坐标作出平面直角坐标系即可；
①根据轴对称的性质解决问题即可；
(2)①利用轴对称的性质解决问题；
②连接BA1交直线l于点P，连接AP，点P即为所求；
③根据轴对称的性质即可解答．
【解答】
解：(1)①见答案；
②由图可知C(1,2)，点C关于x轴的对称点C1的坐标为C1(1,−2)．
故答案为：(1,2)，(1,−2)；
(2)①因为C(1,2)，l是过点C且平行于y轴的直线，
所以直线l上所有点的横坐标均为1，
因为点A的坐标是(−3,1)，
所以设A1的横坐标是a，
则1−(−3)=a−1，解得a=5，
所以点A关于直线l的对称点A1的坐标是A1(5,1)；
故答案为：(5,1)；
②见答案;
③设Q1(x,y)，
则有1−x+1−m=0，y=n，
所以x=2−m，
所以Q1(2−m,n)..
20.【答案】解：设该公园原来平均每分钟接待游客的人数为x人，
由题意可得：600x−5=500010x，
解得：x=20，
经检验，x=20是原方程的解，
答：该公园原来平均每分钟接待游客的人数为20人．
【解析】本题考查了分式方程的应用，找到正确的数量关系是本题的关键．
设该公园原来平均每分钟接待游客的人数为x人，由“接待5000名游客的入园时间比原来接待600名游客的入园时间还少5分钟”列出方程可求解．
21.【答案】解：(1)关于x的二次多项式3x2+2x−1的特征系数对为(3,2,−1)，
故答案为：(3,2,−1)；
(2)∵有序实数对(1,4,4)的特征多项式为：x2+4x+4，
有序实数对(1,−4,4)的特征多项式为：x2−4x+4，
∴(x2+4x+4)(x2−4x+4)
=x4−4x3+4x2+4x3−16x2+16x+4x2−16x+16
=x4−8x2+16；
(3)根据题意得(px2+qx−1)(mx2+nx−2)=2x4+x3−10x2−x+2，
令x=−2，
则(4p−2q−1)(4m−2n−2)=2×16−8−10×4+2+2，
∴(4p−2q−1)(4m−2n−2)=−12，
∴(4p−2q−1)(2m−n−1)=−6，
故答案为：−6．
【解析】【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给x赋予特殊值−2是解题的关键．
(1)根据特征系数对的定义即可解答；
(2)根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可；
(3)根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令x=−2即可得出答案．
22.【答案】AE⊥GC，AE=GC
【解析】解：(1)答：AE⊥GC；
证明：如图1中，延长GC交AE于点H．
在正方形ABCD与正方形DEFG中，
AD=DC，∠ADE=∠CDG=90°
DE=DG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠1=∠2，AE=GC，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠AHG=180°−(∠1+∠3)=180°−90°=90°，
∴AE⊥GC．
故答案为AE⊥GC，AE=GC．
(2)答：成立；
证明：如图2中，延长AE和GC相交于点H．
在正方形ABCD和正方形DEFG中，
AD=DC，DE=DG，∠ADC=∠DCB=∠B=∠BAD=∠EDG=90°，
∴∠1=∠2=90°−∠3；
∴△ADE≌△CDG，
∴∠5=∠4，AE=CG，
又∵∠5+∠6=90°，∠4+∠7=180°−∠DCE=180°−90°=90°，
∴∠6=∠7，
又∵∠6+∠AEB=90°，∠AEB=∠CEH，
∴∠CEH+∠7=90°，
∴∠EHC=90°，
∴AE⊥GC．
(1)观察图形，AE、CG的位置关系可能是垂直，下面着手证明．由于四边形ABCD、DEFG都是正方形，易证得△ADE≌△CDG，则∠1=∠2，AE=CG，由于∠2、∠3互余，所以∠1、∠3互余，由此可得AE⊥GC．
(2)题(1)的结论仍然成立，参照(1)题的解题方法，可证△ADE≌△CDG，得∠5=∠4，AE=CG，由于∠4、∠7互余，而∠5、∠6互余，那么∠6=∠7；由图知∠AEB=∠CEH=90°−∠6，即∠7+∠CEH=90°，由此得证．
本题主要考查旋转的性质以及全等三角形的判定和性质．需要注意的是：旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．