河南省商丘市虞城县第一初级中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份河南省商丘市虞城县第一初级中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将答题卡上正确答案的代号字母用2B铅笔涂黑．每小题答对得3分，不答对得0分，共30分）
1. 一元二次方程的根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．熟练掌握直接开平方法解一元二次方程是解题的关键．根据直接开平方法解一元二次方程即可．
【详解】解：，
，
解得，，
故选：B．
2. 一元二次方程的根的判别式的值是（ ）
A. 32B. C. 40D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，熟练掌握是解题的关键．
【详解】∵方程，，
∴，
故选A．
3. 国庆期间，某市一中学发起了“热爱祖国，说句心里话”征集活动．学校学生会主席将征集活动通知发在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发征集活动通知，每个好友转发朋友圈后，再分别邀请n个互不相同的好友将征集活动通知转发朋友圈，以此类推，已知经过两轮转发后，共有人将征集活动通知发在自己的朋友圈，则n所满足的方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据题意正确的列方程是解题的关键．
由题意知，第一轮结束后共有个人，第二轮结束后共有个人，然后列方程，判断作答即可．
【详解】解：由题意知，第一轮结束后共有个人，第二轮结束后共有个人，
依题意得，，
故选：C．
4. 二次函数的图像大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，根据函数解析式可判断出图像的开口方向和顶点坐标即可得出结果．
【详解】解：二次函数，
，
图像开口方向向下，
顶点坐标为，
故选：D．
5. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，若，则（ ）
A. B. 1C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】首先确定点，，的坐标，然后结合列出绝对值方程并求解，即可获得答案．
【详解】解：对于抛物线，令，即有，
∴，
解得，，
∴，两点的坐标为，，
对于抛物线，令，则有，
∴点坐标为，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，经检验，是该方程的解．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、二次函数图像与坐标轴交点、绝对值方程以及分式方程等知识，正确确定点，，的坐标是解题关键．
6. 如图，一边靠墙（墙足够长），其他三边用长的篱笆围成一个矩形花园，这个花园的最大面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，关键在于找出等量关系列出函数解析式．设矩形的宽为，根据矩形的面积公式即可求出函数关系式，再利用配方法求出函数最值．
【详解】解：设矩形的宽为，面积为，根据题意得：
，
∴时，菜园面积最大，最大面积是．
故选：C．
7. 下列四幅图象，其中图象是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义．根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项符合题意；
D、不是中心对称图形，是轴对称图形，故D选项不合题意．
故选：C．
8. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，将绕点O按逆时针方向旋转得到，则点的坐标为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，,根据旋转的性质，得到，计算选择即可．
【详解】∵,根据旋转的性质，
∴点的坐标为，
故选D．
9. 点P是内一点，过点P的最长弦的长为，最短弦的长为，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据直径是圆中最长的弦，可知过点P的最长弦的长为直径；最短弦的长为，即是过点且垂直于过点的直径的弦；根据垂径定理求得的长，再根据勾股定理即可求得的长，根据题意画出图形，正确利用垂径定理和勾股定理是解答本题的关键．
【详解】解：如图所示，于点．
根据题意，得过点P最长弦的长为直径，最短弦的长为，则，
∵，
∴．
根据勾股定理，得．
故选：B．
10. 如图，四边形内接于，点P为边上任意一点（点P不与点A，D重合），连接．若，则的度数可能为（ ）
A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查圆内接四边形，三角形外角的性质．根据圆内接四边形的对角互补，求出，根据三角形的外角，得到，即可．
【详解】解：∵四边形内接于，，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
故选D．
二、填空题（在答题卡相应位置填写最简结果，每小题3分，共15分）
11. 方程的根是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法由直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键.
【详解】解：，
，
，
则或
∴或，
故答案为：或．
12. 二次函数图象的顶点坐标是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由抛物线顶点式y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k),可得抛物线的顶点坐标.
【详解】由抛物线顶点式y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k),可得抛物线的顶点坐标为(2,3).
故答案为
【点睛】本题考查了二次函数图象和性质，熟记抛物线顶点式y=a(x−h)2+k的顶点坐标为(h,k)是解本题的关键.
13. 已知抛物线，当时，随的增大而增大，则的取值范围是______．
【答案】##
【解析】
【分析】此题主要考查了二次函数的图像与性质、解一元一次不等式等知识，根据二次函数解析式得出对称轴为是解题关键．先求得抛物线的对称轴，再由条件可求得关于的不等式，求解即可得答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为，
又∵，
∴抛物线开口向上，
∴该抛物线的图像在对称轴右侧随的增大而增大，
∵当时，随的增大而增大，
∴，
解得．
故答案为：．
14. 如图，△ABC和△DEC关于点C成中心对称，若，，，则的长是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了中心对称的性质，勾股定理等知识，解题的关键是对中心对称性质的应用．根据中心对称的性质及，由勾股定理可求得的长．
【详解】∵与关于点C成中心对称，
∴，
∴，，
∴
由勾股定理得：
故答案为：．
15. 如图，点C，D在以为直径的半圆O上，且，点E是上任意一点，连接，，则的度数为_____________．

【答案】##30度
【解析】
【分析】连接，根据直径所对的角是直角得出的度数，结合已知得出的度数，再根据圆周角定理即可求出最终结果．
【详解】如下图所示，连接

为直径
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，掌握同弧所对圆周角相等是解题的关键．
三、解答题（写出详细解答或论证过程，共75分）
16. 用适当的方法解下列方程
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）或
（4）或
【解析】
【分析】(1)利用直接开平方法计算即可．
(2)利用配方法求解即可．
(3)利用因式分解法法求解即可．
(4)利用因式分解法法求解即可．
本题考查了直接开平方法，配方法，因式分解法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．
【小问1详解】
，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
∵，
∴,
解得．
【小问3详解】
∵，
∴或
解得或．
【小问4详解】
∵,
∴
解得或．
17. 一个二次函数的图象经过点和，最小值为．求这个二次函数的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，可求对称轴为，设所求解析式为，将A的坐标代入，即可求解；求出顶点，由顶点式求解是解题的关键．
【详解】解：对称轴是的垂直平分线 ，
对称轴为，
顶点为，
设所求解析式为，
将A的坐标代入，得：
，
解得：，
这个二次函数的解析式为．
18. 在同一坐标系下，一次函数的图象过抛物线上横坐标为1的点．
（1）求b的值；
（2）抛物线的对称轴与这个一次函数图象的交点记为P．求点P到坐标原点O的距离．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出上横坐标为1的点的坐标，再将此坐标带入，即可得答案；
（2）先求出抛物线的对称轴是，再求出点P的坐标是，最后根据勾股定理即可求出的长
【小问1详解】
解：将代入，得，
的图象过点，
将代入，得 ，
；
【小问2详解】
由（1）知，一次函数得，
抛物线的对称轴是：，
将代入得，
点P的坐标是，
．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的性质，交点坐标，勾股定理，解题的关键是求一次函数和二次函数的交点坐标
19. 宾馆有70个房间供游客居住，当每房间每天定价为180元时，宾馆会住满，每房间每天的定价每增加10元，就会空闲一间房．如果有游客居住，宾馆需对居住的每房间每天支出20元的费用，空闲的房间支出为0元．宾馆经理规定每房间每天定价调整幅度为整十元．
（1）若宾馆经理将每个房间每天定价为x元时，宾馆每天收入记为y元，写出y关于x的函数关系式；
（2）宾馆每天收入能否超过18000元？若能，求出每个房间每天定价是多少元；若不能，请说明理由．
【答案】（1）
（2）能；当每个房间，每天的定价为380~520元范围（不含边界）时，宾馆每天收入能超过18000元
【解析】
【分析】本题考查二次函数的实际应用．
（1）根据定价，得到游客居住的房间数为，再利用定价乘以居住的房间数减去每间房的支出乘以居住的房间数，列出函数关系式即可；
（2）求出利润等于18000元时的的值，根据二次函数的性质，进行求解判断即可．
读懂题意，正确的列出函数关系式，是解题的关键．
【小问1详解】
解：房间定价为x元时，空闲的房间数为个，住客房间个数为
，即；
【小问2详解】
能；
∵，
当时，，
解得：，
∵，
∴抛物线的开口向下，
∴当时，．
20. 如图，为的弦，半径，分别交于点E，F，且．
（1）求证：．
（2）作半径于点M，若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定和性质，
（1）连接、、和，根据题意可证得，得和，进一步得到，即可得出结论；
（2）连接，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【小问1详解】
证明：连接、、和，如下图，
在和中，
，
，
而，，
，
，，
在中，
，
，
．
即．
，
【小问2详解】
连接，如图，
设，则，
．
于点M，
，，
，
在中，有，解得．
∴．
21. 如图，是的直径，C是的中点，于点E，交于点F．
（1）求证：．
（2）若，，求的半径和的长．
【答案】（1）见解析 （2）的半径为，
【解析】
【分析】本题考查了圆的性质，直径所对的圆周角是直角，弧，弦，圆周角之间的关系，熟练掌握性质是解题的关键．
（1）根据直径所对圆周角是直角，余角的性质，弧，弦，圆周角的关系，证明即可．
（2）根据（1）的结论，利用勾股定理，三角形面积不同表示法计算即可．
【小问1详解】
证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵C是的中点，
∴
∴．
∴．
∴．
【小问2详解】
由（1）知
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴．
∴的半径为．
∵，
∴．
22. 如图，的顶点坐标分别为、．．
（1）以点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转得到，请画出；
（2）分别写出三个顶点的坐标；
（3）以点A为旋转中心，将逆时针旋转得到直接写出直线的函数解析式．
【答案】（1）见解析 （2），，
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了旋转作图，运用待定系数法求一次函数解析式．
（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点，然后再顺次连接即可；
（2）根据三个顶点在坐标系中的位置可写出三个顶点的坐标即可；
（3）利用旋转变换的性质分别作出A、B、C的对应点，再运用待定系数法求出的函数解析式即可．
【小问1详解】
如图，即所作：
【小问2详解】
由图可得， ；
小问3详解】
点B旋转到点C的位置，
，
点C旋转后，在A的左边2个单位，上边一个单位，
而，
，
设直线的函数解析式为，
把，代入，得：
，
解得，，
所以，的函数解析式为．
23. 已知抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B左侧）
（1）当时，求y的取值范围；
（2）点P为抛物线上一点，若，求出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）点P的坐标是或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
（1）首先将抛物线配成顶点式，然后根据x的取值范围，从而得出y的取值范围；
（2）根据题意得出长度，然后根据面积求出点P的纵坐标，根据抛物线的解析式求出点P的坐标．
【小问1详解】
的对称轴是直线．