黑龙江省哈尔滨市博雅中学2023-2024学年七年级上学期期中试数学试题（解析版）

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一、选择题（每题3分，共30分）
1. 下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元一次方程的概念，根据一元一次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是熟记一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元一次方程．
【详解】、是一元一次方程，符合题意；
、中左边分母中含有分母，不一元一次方程，不符合题意；
、未知数的最高次数为，不是一元一次方程，不符合题意；
、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
故选：．
2. 下列图中，与属于对顶角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对顶角的定义逐一判断即可求解．
【详解】解：A．与不属于对顶角，故A选项不符合题意；
B．与属于对顶角，故B选项符合题意；
C．与不属于对顶角，故C选项不符合题意；
D．与不属于对顶角，故D选项不符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了对顶角的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
3. 下列等式变形中，结果不正确的是（ ）．
A. 如果，那么B. 如果，那么
C. 如果，那么D. 如果，那么
【答案】D
【解析】
【分析】根据等式的性质逐项判断即得答案．
【详解】解：A、如果，那么，故本选项变形正确，不符合题意；
B、如果，那么，故本选项变形正确，不符合题意；
C、如果，那么，故本选项变形正确，不符合题意；
D、如果，当时，不能得出，故本选项变形错误，符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了等式的性质：等式的两边都加上或减去同一个数或式，所得结果仍是等式；等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式．
4. 在下列实例中，属于平移过程的有（ ）
①时针运行的过程；②电梯上升的过程；③地球自转的过程；④小汽车在平直的公路行驶．
A. 个B. 个C. 个D. 个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平移，运用平移的定义即可判断即可，解题的关键是熟记平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动．
【详解】时针运转过程，属于旋转；
电梯上升过程，属于平移；
地球自转过程，属于旋转；
火车直线行驶的过程，属于平移；
则平移过程的有个，
故选：．
5. 如图，直线，若，则是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线的性质的运用，利用平行线的性质得出，再利用邻补角的定义得出即可，熟练利用平行线的性质是解题关键．
【详解】如图，
∵直线，
∴，
∵，
∴，
故选：．
6. 粉刷一个房间甲单独做4天完成，乙单独做6天完成，丙单独做12天完成．甲先单独做2天后有事离开，接下来乙、丙共同完成，则乙、丙合作所需要的天数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】设乙、丙合作所需要的天数为x天，根据 “甲的工作量+乙、丙的工作量=1”列方程求解即可．
【详解】解：设乙、丙合作所需要的天数为x天，
甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为，
根据题意得：，
解得x=2，
即乙、丙合作所需要的天数为2天，
故选B．
【点睛】题目主要考查一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．
7. 如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，∠EOC=70°，则∠BOD的度数等于（ ）
A. 20°B. 30°C. 35°D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】根据角平分线定义求出∠AOC=∠EOC=35°，根据对顶角的定义即可求出∠BOD的度数．
【详解】解：∵OA平分∠EOC，∠EOC=70°，
∴∠AOC=∠EOC=35°，
∴∠BOD=∠AOC=35°．
故选：C．
【点睛】本题考查了对顶角、角平分线定义的应用，关键是求出∠AOC的度数．
8. 一架飞机在两城间飞行，顺风航行要5.5小时，逆风航行要6小时，风速为24千米/时，设飞机无风时的速度为每小时x千米，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设飞机在无风时飞行速度为x千米/时，则飞机顺风飞行的速度为（x+24）千米/时，逆风飞行的速度为 （x-24）千米/时，列出方程5.5•（x+24）=6（x-24）即可
【详解】解：设飞机在无风时的飞行速度为x千米/时，则飞机顺风飞行的速度为（x+24）千米/时，逆风飞行的速度为 （x-24）千米/时，
根据题意得5.5•（x+24）=6（x-24）．
故选C．
【点睛】本题考查一元一次方程的简单应用，本题关键在于能够弄清楚顺风速度、逆风速度、飞行速度三者的关系
9. 如图，将一条两边互相平行的纸带折叠，下列正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，先根据已知条件画出图形，再根据平行线的性质证出，再由折叠性质证出，最后按照证出的和的关系式，根据各个选项的中的已知条件，求出∠1的度数，进行判断即可.解题关键是正确识别图形，找出角与角的关系.
【详解】如图，
由平行线的性质可得：，
由折叠性质可得：，即，
∴,
∴
、若，则，，此选项错误，不符合题意；
、若，则，，此选项错误，不符合题意；
、若，则，，此选项错误，不符合题意；
、若，则，，此选项正确，符合题意；
故选：．
10. 下列命题中：（1）点到直线距离是指这点到直线的垂线段；（2）两直线被第三条直线所截，同位角相等；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．其中假命题的个数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查判断命题的真假，根据点到直线的距离，平行线的性质，垂直的概念，平行公理，逐一进行判断即可，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
【详解】（）点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，故（）是假命题；
（）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；故（）是假命题；
（）同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（）是假命题；
（）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（）是假命题；
综上假命题有个，
故选：．
二、填空题（每题3分，共24分）
11. 已知关于x的方程5xm+2+3=0是一元一次方程，则m=________．
【答案】-1
【解析】
【分析】
【详解】由题意得：m+2=1，
解得：m=﹣1，
故答案为﹣1．
12. 如图，直线a、b相交，∠1=36度，则∠2=________度．
【答案】144
【解析】
【分析】根据邻补角的定义即可解答.
【详解】解：∵直线a、b相交，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1=36°，
∴∠2=180°－36°=144°.
故答案为144.
13. 指出命题“两直线平行，同位角柤等”的题设________．
【答案】两直线平行
【解析】
【分析】根据命题的题设和结论的定义进行解答即可．
【详解】解：根据题意可得：
命题“两直线平行，同位角柤等”的题设为：两直线平行，
故答案为：两直线平行．
【点睛】本题考查了命题的题设和结论的定义，命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，熟练掌握命题的题设和结论的定义，是解题的关键．
14. 当________时，整式与互为相反数；
【答案】0
【解析】
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出方程，求出方程的解即可得到x的值．
【详解】解：∵代数式与2x +1互为相反数，
∴+2x +1=0，
解得x=0.
故答案为：0.
【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及相反数，熟练掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．
15. 七年级男生入住的一楼有间房间，如果每间住6人，恰好空出一间；如果每间住5人就有4人没有房间住，则的值为_________．
【答案】10
【解析】
【分析】利用学生数不变这一等量关系列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：设共有x间，依题意得：
．
解得
所以x的值是10，
故答案为：10
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是弄清两种不同的住法的总人数不变．
16. 如图，将三角板与两边平行的直尺（）贴在一起，使三角板的直角顶点C（）在直尺的一边上，若，则的度数等于________．
【答案】35
【解析】
【分析】根据平行线的性质和直角三角形两锐角互余即可求得
【详解】
故答案为：35°．
【点睛】本题考查了平行线的性质和直角三角形两锐角互余，熟练以上知识是解题的关键．
17. 两个角和的两边互相平行，且一个角比另一个角的多，则这个角的度数为___________度．
【答案】或
【解析】
【分析】由题意得，分两种情况：①两个角相等；②两个角互补．
【详解】解：由题意得：，
①当时，得，
解得：，则；
②当时，得，
解得：，则；
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解答的关键是明确题意，分两种情况讨论．
18. 如图1，当光线在空气进入水中时，会发生折射，满足入射角与折射角的度数比为，如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气进入水中，两条入射光线与水平面夹角度数分别为x，y，在水中两条折射光线的夹角度数为，则______．（用含x，y的式子表示）．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质，能够正确的识别图形，找出角与角之间的关系．先过点，，分别作水平线的垂线，证明，根据平行线的性质证明，由，则，，进而求解．
【详解】如图所示：过点，，分别作水平线的垂线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案：．
三．解答题：（共66分）
19. 解方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【解析】
【分析】（）方程移项合并，把系数化为，即可求出解；
（）方程去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解；
（）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解；
（）方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解；
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法与步骤是解题的关键．
【小问1详解】
解：，
，
；
【小问2详解】
解：，
，
，
；
【小问3详解】
解：，
，
，
，
；
【小问4详解】
解：，
，
，
，
．
20. 如图，的三个顶点都在每格为1个单位长度的格点上，请将先向下平移三个单位长度后再向右平移四个单位长度后得到．
（1）画出平移后的图形；
（2）在（1）的条件下，连接、，直接写出三角形的面积为______．
【答案】（1）作图见解析；
（2）的面积为．
【解析】
【分析】（）根据平移的性质作图即可；
（）利用三角形面积公式计算即可；
此题考查了作图——平移，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【小问1详解】
如图，即为所求；
【小问2详解】
如图，
的面积为．
21. 完成下面推理过程，在括号内的横线上填空或填上推理依据．
如图，已知：，，，求证：．
证明：
_______（ ）
_______（ ）
即，
．
，
___________．
_______（ ）
．
【答案】，两直线平行，内错角相等；，垂直的定义，，，内错角相等，两直线平行
【解析】
【分析】根据平行线的判定和性质，进行作答即可．
【详解】证明：，
（两直线平行，内错角相等），
，
（垂直定义），
即，
．
，
．
（内错角相等，两直线平行），
．
故答案为：，两直线平行，内错角相等；，垂直的定义，，，内错角相等，两直线平行
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
22. 某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天可生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母．为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
【答案】分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母．
【解析】
【详解】试题分析：根据“一个螺钉要配两个螺母”，生产螺母的数量应是螺钉的2倍，所以本题中的等量关系是：每人每天平均生产螺钉的个数×生产螺钉的人数×2=每人每天平均生产螺母的个数×生产螺母的人数．据此等量关系式可列方程解答．
试题解析：解：设应分配x名工人生产螺钉，则生产螺母的工人应是（22﹣x）名，根据题意得：1200x×2=2000×（22﹣x），解得：x=10，22﹣x=22﹣10=12（名）．
答：应该分配10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母．
点睛：本题的关键是根据“一个螺钉要配两个螺母”，生产螺母的数量应是螺钉的2倍，找出题目中的等量关系，再列方程解答．
23. 小丽同学解方程，去分母时，方程右边的忘记乘以6，因此求得方程解为．试求的值，并求出方程正确的解．
【答案】，
【解析】
【分析】把代入方程，解方程求得的值，然后把的值代入方程，解方程求得的值．
【详解】解：按小丽同学的操作去分母得：，
把代入方程：，
解得：，
把代入方程得：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
解得：．
【点睛】本题考查解一元一次方程，方程的解，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．
24. 如图，直线与相交于点O，是的角平分线，，，．
（1）求的度数；
（2）与是否相等，请说明理由；
（3）直接写出图中的所有余角．
【答案】（1）；
（2）相等，理由见解析；
（3），，．
【解析】
【分析】（）直接利用垂直的定义结合对顶角的定义得出的度数；
（）分别求出与的度数进而得出答案．
（）依据是的平分线，，，即可得到图中的所有余角；
此题考查了垂线的定义以及角平分线的定义和对顶角定义，正确把握相关定义是解题关键．
【小问1详解】
∵，
∴，
又∵与是对顶角，
∴，
∴；
【小问2详解】
相等，理由：
∵与是对顶角，
∴，
∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴，
∴，
而，
∴；
【小问3详解】
∵是的平分线，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴图中的所有余角为，，．
25. 平价商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为50％；乙种商品每件进价50元，售价80元.
（1）甲种商品每件进价为______元，每件乙种商品利润率为_____；
（2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求购进甲种商品多少件？
（3）在“元旦”期间，该商场只对甲乙两种商品进行如下的优惠促销活动：
按上述优惠条件，若小聪第一天只购买乙种商品，实际付款360元，第二天只购买甲种商品实际付款432元，求小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
【答案】（1）40，60%；（2）40件；（3）13或14件
【解析】
【分析】（1）根据等量关系：利润率=利润÷成本，即可求得结果；
（2）设能购进甲种商品x件，根据甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元即可列方程求解；
（3）先求得第一天只购乙种商品的数量，再设第二天只购甲种商品x件，根据第二天只购买甲种商品实际付款432元即可列方程求解.
【详解】（1）甲种商品每件进价为60÷1.5=40元，每件乙种商品利润率为（80-50）÷50=60%；
（2）设能购进甲种商品x件
依题意得40x+50(50-x)=2100，解得x=40
答：能购进甲种商品40件；
（3）第一天只购乙种商品，则：360÷80=4.5 件（不合题意，舍去）或360÷（80×0.9）=5件
设第二天只购甲种商品x件
依题意有：0.9×60x=432或0.8×60x=432
解得x=8或x=9
答：小聪这两天在该商场购买甲、乙两种商品一共13或14件.
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列出方程，再求解
26. 已知：直线与直线内部有一个点，连接．
（1）如图，当点在直线上，连接，若，求证：；
（2）如图，当点在直线与直线的内部，点在直线上，连接，若，求证：；
（3）如图，在（）的条件下，、分别是、的角平分线，和相交于点G，和直线相交于点，当时，若，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析； （3）.
【解析】
【分析】（）过点作，推出，进而得，根据平行公理的推论即可得证；
（）分别过点和点作，，推出，进而得，根据平行公理的推论即可得证；
（）过点作，同（）（）理证明，设，，，则，结合角平分线得，用含的式子代替，，代入即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，过点作，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，分别过点和点作，，
∴，，
∵， 即，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
如图，过点作，
由 () 得，
∴，，，
∴，
设，，，则，
∵ 、分别是、的角平分线，
∴，
∵，
∴，
由 () 得，
∴，
∵，
∴，打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过380元
不优惠
超过380元，但不超过500元
售价打九折
超过500元
售价打八折