江苏省无锡市仓下中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题

这是一份江苏省无锡市仓下中学2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请用2B铅笔把答题卡上相应的选项标号涂黑）
1.抛物线的顶点坐标是（ ）
A.B.C.D.
2.若是一元二次方程的一个解，则的值为（ ）
A.0B.C.2D.
3.如图，是直径，，则为（ ）
A.B.C.D.
4.如图，滑雪场有一坡角的滑雪道，滑雪道长为200米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为多少米.（ ）
A.B.C.D.
5.已知圆锥的底面半径为2，母线长为6，则它的侧面展开图的面积是（ ）
A.12B.24C.D.
6.已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的大致图象可能是（ ）
A.B.C.D.
7.如图，在中，，，记，，则（ ）更多课件 教案 视频 等优质滋源请 家 威杏 MXSJ663
A.9B.12C.16D.20
8.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”.如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接.设，，若正方形与正方形的面积之比为，，则（ ）
A.5B.4C.3D.2
9.二次函数（，，是常数，）的自变量与函数值的部分对应值如下表：
且当时，与其对应的函数值，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内；②和3是关于的方程的两个根；③，其中，正确结论的是（ ）
A.①②③B.①②C.①③D.②③
10.如图，是的直径，点在上，，垂足为，，点是上的动点（不与重合），点为的中点，若在运动过程中的最大值为4，则的值为（ ）
A.B.C.D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11.若的半径为5，，则点与的位置关系是：点在__________.（填“内、上、外”）
12.点是线段的黄金分割点，若，则__________.
13.如图，中，点D、E分别在线段、上，，若，，，则的长是__________.
14.请填写一个常数，使得关于的方程__________有两个不相等的实数根.
15.如图，正五边形的边长为4，以为边作等边，则图中阴影部分的面积为__________.
16.如图，在边长为1的正方形网格中，是的外接圆，点A，B，O在格点上，则的值是__________.
17.如图，已知正方形的边长为4，E是边上的一个动点，，交于，连接，则的最小值是__________.
18.如图所示，已知在平面直角坐标系中，点，点是横轴正半轴上的一个动点，经过原点，且与相切于点.当轴时，点的坐标为__________；当射线与直线相交时，点的横坐标的取值范围是__________.
三、解答题（本大题共10小题，共96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤等）
19.（8分）解方程：（1）；（2）.
20.（8分）计算：（1）；（2）.
21.（8分）已知关于的一元二次方程.
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）如果方程有一个根为正数，求的取值范围.
22.（8分）如图，中，，点在边上，且交于点.
（1）求证：；
（2）若，，是中点，求的长.
23.（10分）如图所示，一轮船由西向东航行，在A处测得小岛P在北偏东的方向上，轮船行驶40海里后到达B处，此时测得小岛P在北偏东的方向上.
（1）求的距离；.
（2）已知小岛周围22海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁的危险.
24.（10分）如图，直线交于A、B两点，是的直径，点为上一点，且平分，过作，垂足为.
（1）求证：为的切线；
（2）若，，求的长.
25.（10分）如图，在的正方形网格中，A、B、C、D均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹.
图1图2图3
（1）在图1中作出边上的点E，使得；
（2）在图2中作出边上的点F（不与点重合），使得；
（3）在图3中作出边上的点G，使得.
26.（10分）为响应“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过，另外三边由长的栅栏围成.设矩形空地中，垂直于墙的边，面积为（如图）.
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若矩形空地的面积为，求x的值；
（3）若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）.问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由.
27.（12分）已知一个直角三角形纸片，其中，，.如图，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点，与边交于点.
备用图备用图备用图
（1）若折叠后使点B与点O重合，则点C的坐标为__________；若折叠后使点B与点A重合，则点C的坐标为__________；
（2）若折叠后点B落在边上的点为，设，，试写出y关于x的函数关系式，并确定y的取值范围；
（3）若折叠后点B落在的x轴上的点为，且使是直角三角形，求出点C的坐标.
28.（12分）如图1，抛物线过，两点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为秒.
图1图2
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，过点作轴于点，交抛物线于点，当时，求四边形的面积；
（3）如图2，动点同时从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向运动，将绕点逆时针旋转得到.
①当点运动到多少秒时，四边形是菱形；
②当四边形是矩形时，将矩形沿轴方向平移使得点落在抛物线上时，直接写出此时点的坐标.
初三年级数学学科阶段性练习
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.）
1.【分析】已知抛物线的顶点式，可直接写出顶点坐标.
【解答】解：由，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，
故选：A.
【点评】本题考查二次函数的性质，记住：顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线.
2.【分析】由题意利用一元二次方程的解的定义，求得的值.
【解答】解：因为是一元二次方程的一个解，
所以，所以，
故选：B.
【点评】本题主要考查二次函数的性质，一元二次方程的解，属于基础题.
3.【分析】求出的度数，根据圆周角定理得出，再求出答案即可.
【解答】解：，，
对的圆心角是，对的圆周角是，
，
故选：C.
【点评】本题考查了圆周角定理，注意：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半.
4.【分析】根据正弦的定义进行解答即可.
【解答】解：，
，
故选：D.
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键.
5.【分析】由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，从而利用扇形的面积公式可计算圆锥的侧面积.
【解答】解：它的侧面展开图的面积.
故选：C.
【点评】本题考查了圆锥的计算，正确记忆圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长是解题关键.
6.【分析】首先根据二次函数图象得出a，c的值，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限.
【解答】解：根据二次函数开口向上则，根据是二次函数顶点坐标的纵坐标，得出，故一次函数的大致图象经过一、三、四象限，
故选：B.
【点评】此题主要考查了二次函数的图象以及一次函数的性质，根据已知得出a，c的符号是解题关键.
7.【分析】证明，根据相似三角形的性质求出，再证明，根据相似三角形的性质计算即可.
【解答】解：，，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
，
故选：C.
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
8.【分析】设，，则，，解直角三角形可得，化简可得，，结合勾股定理及正方形的面积公式可求得；，进而可求解的值.
【解答】解：设，，则，，
，，，
，，，
，，
，
，.
故选：C.
【点评】本题主要考查勾股定理的证明，解直角三角形的应用，利用解直角三角形求得，是解题的关键.
9.【分析】首先根据题意取的中点，根据点的运动轨迹，确定点的运动轨迹，根据，可确定当点D、M、F三点共线时，有最大值4，此时，求出，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，则，联立即可求出半径的值，然后求出的长，利用勾股定理即可求出的长.
【解答】解：如图所示：连接、，取的中点，连接和，设的半径为，
点为的中点，，
点是上的动点（不与重合），点为顶点，
点的运动轨迹是以点圆心，以的长为半径的圆上，
则，
当点D、M、F三点共线时，有最大值4，此时，
，
，，
点为的中点，，
，解得，
，
在中，；
故选：A.
【点评】本题主要考查的是圆的动点综合题型，解题关键是确定点D、M、F三点共线时，有最大值4.
10.【分析】延长交于点，连接，然后根据题意，可以求得的值，再根据圆周角定理可以得到，从而可以得到的值.
【解答】解：延长交于点，连接，
∵是的直径，，
，，，
，
，
的值是.
故选：B.
【点评】本题考查三角形的外接圆和外心、圆周角定理、解直角三角形，解答本题的关键是求出的余弦值.
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）
11.①②
【分析】①根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y轴的交点，即可判断；
②根据二次函数的对称性即可判断；
③根据抛物线的对称轴确定a与b的关系式，再根据已知条件求出a的取值范围即可判断.
【解答】解：①根据图表可知：
二次函数的图象过点，，
对称轴为直线，，
当时，与其对应的函数值，，，
函数图象的顶点在第四象限内；故①正确；
②根据二次函数的对称性可知：
关于对称轴的对称点为，
即和3是关于的方程的两个根，
故②正确；
③对称轴为直线，
，，
当时，与其对应的函数值，
，即，
.
对称轴为直线，二次函数的图象过点，
，当时，，
，
，，
故③错误.
综上所述，正确结论的是①②，
故答案为：①②.
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识.
12.内
【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内判断出即可.
【解答】解：的半径为5，，
，
点与的位置关系是：点在内，
故答案为：内.
【点评】此题主要考查了对点与圆的位置关系的判断.关键要记住若半径为，点到圆心的距离为，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内.
13.
【分析】根据黄金分割的定义得到，把代入计算即可.
【解答】解：点是线段的黄金分割点，
，而，
.
故答案为.
【点评】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短，若较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，即较长线段是整个线段的倍，则这个点叫这条线段的黄金分割点，难度适中.
14.3
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可.
【解答】解：，，
，，，
，解得：，
故答案为：3.
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键.
15.1（答案不唯一）
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的不等式，求解即可得出答案.
【解答】解：，，设常数为，
，.
故答案为：1（答案不唯一）.
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键.
16.
【分析】首先求得正五边形的内角的度数，然后求得扇形的圆心角的度数，利用扇形的面积公式求得阴影部分的面积即可.
【解答】解：在正五边形中，，
是等边三角形，，，
，
故答案为：.
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，掌握多边形的内角和公式，扇形的面积公式是解题的关键.
17.5
【分析】设，，则，，可证明，则，所以，可知的最小值为3，且此时的值最小，根据勾股定理求出的值即可.
【解答】解：设，，
四边形是边长为4的正方形，
，，
，，
，，
，
，，
，整理得，
当时，，
，且，
随的增大而增大，
当最小时，的值最小，此时的值最小，
当时，，
的最小值是5，
故答案为：5.
【点评】此题重点考查正方形的性质、同角的余角相等、相似三角形的判定与性质、勾股定理、二次函数的性质等知识，证明并且根据“相似三角形的对应边成比例”列出函数关系式是解题的关键.
18.（1）（2）
【分析】（1）由与相切，得出，而轴，进而判断出点在轴上，即可得出答案；
（2）由与相切，得出，过点作轴于，过点作轴于，用互余得出，得出比例式即可求出答案；
（3）分当点在第一象限时和当点在第四象限时，找出时，判断出为等腰直角三角形，进而得出，进而得出或，建立方程求出的值，即可得出的分界点，进而得出答案.
【解答】解：（1）轴，，，
与相切，，
轴，点在轴上，
点是圆心，点的横坐标为，
，
故答案为：；
（2）如图，连接，过点作轴于，过点作轴于，
则，，
由（1）知，，
，
，
，，
，轴于，，且点在第一象限内，
，，，
，
轴，，，，
，，
故答案为：，
直线过点，
当是射线与直线相交的分界点，
如图，①当点在第一象限时，过点作轴于，
当时，
由（1）知，，，，
，为等腰三角形，，
，，
，（舍去）或，
由（2）知，；
②当点在第四象限时，过点作轴于，
同①的方法得，，
，，
，（舍去）或，
由（2）知，，，
故答案为：.
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键.
三、解答题（本大题共10小题，共96分.）
19.【分析】（1）运用因式分解法解方程；
（2）运用配方法求解即可.
【解答】解：（1），
，
，，
，；
（2），
，
，
，
，
，.
【点评】本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键.
20.【分析】（1）（2）把特殊角的三角函数值代入原式，根据实数的混合运算法则计算即可.
【解答】解：（1）
；
（2）
.
【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
21.【分析】（1）先计算判别式的意义得到，然后根据判别式的意义得到结论；
（2）先利用求根公式解方程得，，再根据题意得到，从而得到的范国
【解答】（1）证明：，
方程总有两个实数根；
（2），解得，，
方程只有一个根是正数，，
.
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根.
22.【分析】（1）由，可得出，再结合公共角相等，即可证出；
（2）在中，利用勾股定理可求出的长，结合点为线段的中点可求出的长，再利用相似三角形的性质，即可求出的长.
【解答】（1）证明：，，
.
又，
.
（2）解：在中，，，，
.
是中点，.
，，即，
.
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求出的长.
23.【分析】（1）通过计算得到，得到，从而得解；
（2）作于点，解得，进而判定即可；
【解答】解：（1），，
又，，
（海里），
（2）作于点，
在直角中，，
答：若轮船仍向前航行有触礁的危险.
【点评】本题考查了解直角三角形的应用—方位角问题，掌握直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半是解决本题的关键.
24.【分析】（1）连接，证明即可；
（2）证明，解直角三角形求出即可.
【解答】（1）证明：连接.
平分，，
，，
，，
，，
是半径，是切线；
（2）解：是直径，，
，
，
.
【点评】本题考查切线的判定，平行线的判定，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型.
25.【分析】（1）如图1中，取格点M，N，连接交于点E，点E即为所求.
（2）如图2中，取格点T，连接交于点F，连接，点F即为所求.
（3）如图3中，取格点R，连接，得到的中点J，连接交于点G，点G即为所求.
【解答】解：（1）如图1中，点E即为所求.
（2）如图2中，点F即为所求.
（3）如图3中，点G即为所求.
图1图2图3
【点评】本题考查作图—应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型.
26.【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；
（2）构建方程即可解决问题，注意检验是否符合题意；
（3）利用二次函数的性质求出的最大值，设购买了乙种绿色植物棵，购买了丙种绿色植物棵，由题意：，可得，推出的最大值为214，此时，再求出实际植物面积即可判断.
【解答】解：（1），
，，
，.
与之间的函数关系式为.
（2）由题意：，解得，，
时，，不符合题意，舍去，
的值为10.
（3），
时，有最大值，
设购买了乙种绿色植物棵，购买了丙种绿色植物棵，
由题意：，
，
的最大值为214，此时.
需要种植的面积，
丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上.
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.
27.【分析】（1）根据对折得出，根据求出即可；连接，推出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可；
（2）连接，得出，在中，由勾股定理得出方程，由（1）即可得出的范围，求出即可；
（3）根据已知得出，即可得出答案；
（4）连接，设，，求出，推出，得出，求出，在中，由勾股定理得出，求出即可.
【解答】解：（1）如图（1），，延折叠后使点与点重合，
，
的坐标是，
如图（2）连接，
，延折叠后使点与点重合，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，，
解得：，即，
故答案为：，.
（2）如图（3）连接，
延折叠后使点与点重合，
，
在中，由勾股定理得：，，
即，的取值范围是.
（3）当时，.
当时，
（1）（2）（3）（4）（5）
【点评】本题考查了等腰三角形性质，平行线的性质和判定，勾股定理，相似三角形的性质和判定，折叠的性质，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，综合性比较强，有一定的难度，方程思想的运用.
28.【分析】（1）利用待定系数法将B、C两点坐标代入抛物线求解即可.
（2）当时求得长度，并且利用平行线分线段成比例求得点横坐标，代入抛物线解析式求出的纵坐标，从而可求四边形的面积；
（3）①若四边形是菱形，则，可得，即得，可解得答案；
②当四边形是矩形时，只需，从而，利用平行线分线段成比例，求得；将矩形沿轴方向平移时，点落在抛物线的图象上，即.代入解析式即可求得点的坐标.
【解答】解：（1）抛物线的图象过，两点，
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）如图：
，，..
，
当时，，
，，，
，即，
，，
在中，令得，
；
；
（3）①如图：
根据题意得：，，，
将绕点逆时针旋转得到.
，，
四边形是平行四边形，
若四边形是菱形，只需，即，
此时，
在中，，
，解得，
答：当点运动到秒时，四边形是菱形；
②如图：
根据题意得：，，，
绕点逆时针旋转得到，
，，.
四边形是平行四边形.
当四边形是矩形时，只需.
当时，
，，即，
解得：.
当点运动1秒时，四边形是矩形.
，，.x
…
0
1
2
…
…
…
甲
乙
丙
单元（元/棵）
14
16
28
合理用地（/棵）
1